Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bắc Ninh có đáp án

Chọn B

Ta có:

\(\widehat {xAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn .

Chọn D

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 3}\\{x - y = 3}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6\\y = 3 - 2x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {2\,;\, - 1} \right)\).

Chọn D

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Ta có: \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Chọn B

Căn bậc hai số học của \(25\) là \(\sqrt {25}  = 5\).

Chọn A

Hàm số \(y = {x^2}\) là một parabol có bề lõm quay lên phía trên vì \(a = 1 > 0\)

Với \(x = 1\) thì \(y = 1\) nên đồ thị hàm số đi qua \(\left( {1\,;\,1} \right)\)

Vậy đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên phía trên và đi qua \(\left( {1\,;\,1} \right)\).

Chọn D

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Ta có:

\( \bullet \) \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\)\( \Rightarrow AB = \frac{{AC}}{{\tan B}}\)\( = 6:\frac{3}{4} = 8{\rm{cm}}\)

\( \bullet \) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {100}  = 10{\rm{cm}}\).

Chọn D

Ta có: \(\sqrt {3 - x} \)  xác định \( \Leftrightarrow 3 - x \ge 0\)\( \Leftrightarrow  - x \ge  - 3\)\( \Leftrightarrow x \le 3\)

Vậy biểu thức \(\sqrt {3 - x} \) có điều kiện xác định là \(x \le 3\).

Chọn A

Ta có: \(\sqrt {{3^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} \)\( = \left| 3 \right| + \left| { - 3} \right| = 3 + 3 = 6\).

Chọn B

Hàm số \(y = \left( {m + 5} \right)x - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m + 5 > 0\)\( \Leftrightarrow m >  - 5\).

Chọn A

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với chiều cao tương ứng: \(MN \cdot MP = MK \cdot NP\) Vậy hệ thức sai là \(MK \cdot KP = MN \cdot MP\).

Chọn D

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Ta có:

\( \bullet \) \(A{H^2} = BH \cdot CH\)\( \Rightarrow CH = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{6^2}}}{4} = 9{\rm{cm}}\)

\( \bullet \) \(BC = BH + CH = 4 + 9 = 13{\rm{cm}}\).

Chọn D

Thay \(x =  - 2\) vào biểu thức \(M\) ta được: \(M = \frac{{\sqrt {7 - \left( { - 2} \right)} }}{{\sqrt { - 2 + 3} }} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 1 }} = \frac{3}{1} = 3\)

Vậy khi \(x =  - 2\) thì biểu thức \(M\) có giá trị bằng \(3\).

Chọn A

Bán kính đáy là \(R = 12:2 = 6{\rm{cm}}\)

Diện tích hình tròn đáy là \(S = \pi {R^2} = \pi  \cdot {6^2} = 36\pi {\rm{cm}}\)

Thể tích của hộp sữa là \(V = Sh = 36\pi  \cdot 18 = 648\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Chọn B

Thay \(x = 2y\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2y + y = 3\\m \cdot 2y - y = 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\\left( {2m - 1} \right)y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2m - 1 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2m = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Vậy khi \(m = 2\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \({x_0} = 2{y_0}\).

Chọn C

\( \bullet \) Khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\) thì \(2x - y = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \ne 1\) nên \(\left( {2\,;\,2} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

\( \bullet \) Khi \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right.\) thì \(2x - y = 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 =  - 2 - 3 =  - 5 \ne 1\) nên \(\left( { - 1\,;\,3} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

\( \bullet \) Khi \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right.\) thì \(2x - y = 2 \cdot \left( { - 1} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 2 + 3 = 1\) nên \(\left( { - 1\,;\, - 3} \right)\) là nghiệm của phương trình.

\( \bullet \) Khi \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 2\end{array} \right.\) thì \(2x - y = 2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 2} \right) =  - 4 + 2 =  - 2 \ne 1\) nên \(\left( { - 2\,;\, - 2} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Chọn C

Đường thẳng \(y = ax + b\) với \(a \ne 0\) thì \(a\) được gọi là hệ số góc.

Vậy hệ số góc của đường thẳng \(y = \frac{3}{2} - x\) là \( - 1\).

Chọn C

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\). Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\).

Vậy hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 3}\\{2x + y = 1}\end{array}} \right.\) là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: \({x^2} =  - 3x + 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0\)

Vì \(1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0\) nên phương trình có nghiệm \(x = 1\); \(x =  - 4\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =  - 4\); \({x_2} = 1\). Vậy \(T = 2{x_1} + 3{x_2} = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot 1 =  - 8 + 3 =  - 5\).

Chọn C

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: \( - x + 1 = 2x + 4\)

\( \Leftrightarrow  - x - 2x = 4 - 1\)\( \Leftrightarrow  - 3x = 3\)\( \Leftrightarrow x =  - 1\)\( \Rightarrow y = 1 + 1 = 2\)

Vậy giao điểm của đồ thị hai hàm số là \(P\left( { - 1\,;\,2} \right)\).

Chọn D

Do \(\sin B = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \widehat B = 60^\circ \)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat C = 90^\circ  - \widehat B = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AH = HC\tan C = 6\tan 30^\circ  = 2\sqrt 3 {\rm{cm}}\).

Chọn A

Điểm \(E\left( {1\,;\,2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\)\( \Leftrightarrow 2 = a \cdot {1^2}\)\( \Leftrightarrow a = 2\)

Vậy khi \(a = 2\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(E\left( {1\,;\,2} \right)\).

Chọn B

Đường thẳng \(y = 6 - 2\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = 6 - 2x - 2\)\( \Leftrightarrow y =  - 2x + 4\)

Đường thẳng \(y = ax + b\) (\(a \ne 0\)) và \(y = a'x + b'\) (\(a' \ne 0\)) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

Do đó, đường thẳng song song với đường thẳng \(y =  - 2x + 1\) là đường thẳng \(y = 6 - 2\left( {x + 1} \right)\).

Chọn A

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 7}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\y = 2 - x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\). Tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(x_0^2 - y_0^2 = {3^2} - {\left( { - 1} \right)^2} = 9 - 1 = 8\).

Chọn B

Thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 6\pi  \cdot 3 = 6\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Chọn B

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{2} \ne \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\m \ne \frac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = 4\)

Vậy khi \(m = 4\) thì hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn A

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}}  = \left| {3 - 2x} \right| = \left| {2x - 3} \right|\).

Chọn D

\( \bullet \) Khi \(x =  - 1\) thì \(y = 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 =  - 2 - 3 =  - 5\) nên đồ thị hàm số không đi qua các điểm \(\left( { - 1\,;\,1} \right)\) và \(\left( { - 1\,;\, - 1} \right)\).

\( \bullet \) Khi \(x = 1\) thì \(y = 2 \cdot 1 - 3 =  - 1\) nên đồ thị hàm số đi qua \(\left( {1\,;\, - 1} \right)\) và không đi qua \(\left( {1\,;\,1} \right)\).

Chọn D

Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( { - 1\,;2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 2 = 4\\ - 1 + b \cdot 2 =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 6 = 4\\ - 1 + 2b =  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 2\\2b =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( { - 1\,;2} \right)\).

Chọn C

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mx - y = 3}\\{3x + my = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 3\\3x + m\left( {mx - 3} \right) = 4\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 3x + {m^2}x - 3m = 4\)\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 3} \right)x = 3m + 4\)

Vì \({m^2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\)

Khi đó: \(x = \frac{{3m + 4}}{{{m^2} + 3}}\)\( \Rightarrow y = m \cdot \frac{{3m + 4}}{{{m^2} + 3}} - 3\)\( \Leftrightarrow y = \frac{{3{m^2} + 4m}}{{{m^2} + 3}} - \frac{{3{m^3} + 9}}{{{m^2} + 3}}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{{4m - 9}}{{{m^2} + 3}}\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 4 > 0\\4m - 9 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m >  - 4\\4m < 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{ - 4}}{3}\\m < \frac{9}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < m < \frac{9}{4}\)

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2} \right\}\)

Vậy số các giá trị nguyên của \(m\) là \(4\).

Chọn C

\( \bullet \) Với \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ - 2}}{m}\) (do \(m \ne 0\)) nên \(A\left( {\frac{{ - 2}}{m}\,;\,0} \right)\)\( \Rightarrow OA = \left| {\frac{{ - 2}}{m}} \right| = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\left| m \right|}} = \frac{2}{{\left| m \right|}}\)

\( \bullet \) Với \(x = 0\) thì \(y = 2\) nên \(B\left( {0\,;\,2} \right)\)\( \Rightarrow OB = \left| 2 \right| = 2\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên diện tích \(\Delta OAB\) là \(S = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{\left| m \right|}} \cdot 2 = \frac{2}{{\left| m \right|}}\)

Do đó, diện tích \(\Delta OAB\) bằng \(3\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{\left| m \right|}} = 3\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow m =  \pm \frac{2}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) để diện tích \(\Delta OAB\) bằng \(3\).

Chọn C

Tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y = x + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(\left( {1\,;\,3} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3 = \left( {{m^2} + 1} \right) \cdot 1 + m\)\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\)

Vì \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình có nghiệm \({m_1} = 1\); \({m_2} =  - 2\)

Với \({m_1} = 1\) thì \(\left( {{d_3}} \right)\): \(y = 2x + 1\) \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) trùng \(\left( {{d_2}} \right)\) \( \to \) loại

Với \({m_2} =  - 2\) thì \(\left( {{d_3}} \right)\): \(y = 5x - 2\) \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) khác \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) khác \(\left( {{d_2}} \right)\) \( \to \) thỏa mãn

Vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A

Hệ phương trình xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\y \ge 1\end{array} \right.\)

Khi đó, hệ phương trình đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{6}{{x + 2}} + 3\sqrt {y - 1}  = 9}\\{\frac{1}{{x + 2}} - 3\sqrt {y - 1}  =  - 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{{x + 2}} = 7\\\sqrt {y - 1}  = 3 - \frac{2}{{x + 2}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\\sqrt {y - 1}  = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y - 1 = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện xác định)

Tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{y_0} = 2\end{array} \right.\). Vậy \({x_0} + {y_0} =  - 1 + 2 = 1\).

Với \(x \ge 0\); \(x \ne 4\). Ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{x}{{4 - x}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

\(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)\)

\(A = \frac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2 + x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)\)

\(A = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}}\)\( = \sqrt x \)

Vậy với \(x \ge 0\); \(x \ne 4\) thì \(A = \sqrt x \).

a)Thay \(m = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình: \({x^2} + 2x - 3 = 0\)

Vì \(1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\); \({x_2} =  - 3\)

Vậy khi \(m = 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\); \({x_2} =  - 3\).

b)Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1 \cdot \left( {m - 3} \right)\)\( = {m^2} - 2m + 1 - m + 3\)\( = {m^2} - 3m + 4\)

Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 4 \ge 0\)\( \to \) nghiệm đúng với mọi \(m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\) với mọi \(m\)

Theo định lí Vi-et, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\)

Hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) đối nhau \( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy khi \(m = 1\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm đối nhau.

Gọi số hàng ghế lúc đầu trong phòng họp là \(x\) (\(x\) nguyên dương)

Số ghế trong một hàng lúc đầu là \(\frac{{165}}{x}\)

Số hàng ghế trong phòng họp khi họp là \(x + 1\)

Số ghế trong một hàng khi họp là \(\frac{{208}}{{x + 1}}\)

Theo đề bài, ta có phương trình \(\frac{{208}}{{x + 1}} - \frac{{165}}{x} = 2\)

Biến đổi phương trình ta được: \(2{x^2} - 41x + 165 = 0\)

Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 15\) (thỏa mãn); \({x_2} = 5,5\) (loại)

Vậy lúc đầu phòng họp có \(15\) hàng ghế và mỗi hàng có \(\frac{{165}}{{15}} = 11\) ghế.

a)Học sinh vẽ đúng hình để làm được ý a)

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {IHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)

Ta có: \(\widehat {IHC} + \widehat {BDC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(IHCD\) nội tiếp.

b)Ta có:  \(\left( 1 \right)\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 2 \right)\)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\); \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BDA\) có: \(\widehat {ABD}\) chung; \(\widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

 (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\)\( \Rightarrow A{B^2} = BI \cdot BD\)

c)Do \(BM = AB\), mà \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\) nên \(B{M^2} = BI \cdot BD\)\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta BDM\) có: \(\widehat {DBM}\) chung; \(\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

 (c-g-c) \( \Rightarrow \widehat {BMI} = \widehat {BDM}\)

\( \Rightarrow BM\) là tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\)

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) thuộc đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\)

Do \(A\); \(B\); \(C\) cố định nên \(M\) cố định và đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\) cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\).

Từ \({x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 64z \le 0\)\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 72z - \left( {8x + 8y + 8z} \right) \le 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 72z \le 8\left( {x + y + z} \right)\) hay \(x + y + z \ge \frac{{{x^2} + {y^2} + 72z}}{8}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\( \bullet \) \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\( \bullet \) \(2xy + 72z \ge 2\sqrt {2xy \cdot 72z}  = 24\sqrt {xyz} \)

Do đó: \({x^2} + {y^2} + 72z \ge 2xy + 72z \ge 24\sqrt {xyz} \)\( \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + 72z}}{8} \ge 3\sqrt {xyz} \)

\( \Rightarrow x + y + z \ge 3\sqrt {xyz} \) hay \(\frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt {xyz} \)

Dấu  xảy ra khi \(x = y = z = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{{72}}{{17}}\\z = \frac{{144}}{{289}}\end{array} \right.\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.