Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bắc Giang có đáp án
25 câu hỏi
Đường thẳng \(d:y = 4x + 1\) và parabol \(\left( P \right)\):\(y = {x^2}\) có số điểm chung là
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Chọn D
Phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\) có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]. Giá trị của biểu thức \(A = {x_1} + {x_2}\) là
\(3\).
\( - 4\).
\( - 3\).
\(4\).
Chọn C
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có\[AB = 24,{\rm{ }}AC = 18\]. Chu vi đường tròn ngoại tiếp\(\Delta ABC\) bằng
\(30\pi .\)
\(225\pi .\)
\(60\pi .\)
\(15\pi .\)
Chọn A
Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\) có \[AB = 3cm\]và \[\widehat B = 60^\circ \]. Độ dài cạnh \[AC\]bằng
\[\sqrt 3 cm\].
\[6\sqrt 3 cm\].
\[2\sqrt 3 cm\]
\[3\sqrt 3 cm\].
Chọn D
Cho \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\), có \(AB = 12cm\),\(AC = 16cm\). Độ dài đường cao kẻ từ \(A\)của \(\Delta ABC\) là
\(9,6cm.\)
\(4,8cm.\)
\(15cm.\)
\(10cm.\)
Chọn A
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = 10cm\),\(AB\)là một dây cung của đường tròn \(\left( C \right)\), gọi \(H\)là trung điểm của \(AB\). Biết \(AB = 16cm\), độ dài đoạn thẳng \(OH\) bằng
\(5cm\).
\(8cm\).
\(6cm\).
\(3cm\).
Chọn C
Một người thợ điện cần căng dây điện qua khu vực có một cây cau thẳng đứng. Để đảm bảo dây điện không vướng vào cây, người đó sử dụng thước ngắm có góc vuông đo chiều cao của cây như hình bên. Biết khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là \(3,6m\) và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là \(1,6m\). Với các kích thước trên, người thợ đo được khoảng cách từ điểm cao nhất của cây đến mặt đất theo phương vuông góc là (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
\(16m\).
\(10m\).
\(9m\).
\(4m\).
Chọn B
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \) là
\(2\sqrt 2 \).
\(2\sqrt 2 - 2\).
\( - 2\).
\(2\).
Chọn A
Với \(x \ge 4\), kết quả rút gọn của biểu thức\(\sqrt {25x - 100} \)là
\(5\sqrt {x - 2} \).
\( - 5\sqrt {x - 4} \).
\(25\sqrt {x - 4} \).
\(5\sqrt {x - 4} \).
Chọn D
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = x + 1\).
\(y = {x^2}\).
\(y = - 2{x^2}\).
\(y = - 3x + 2\).
Chọn A
Hàm số \(y = - 5{x^2}\) nghịch biến khi
\(x \in \mathbb{R}\).
\(x > 0\).
\(x = 0\).
\(x < 0\).
Chọn B
Điều kiện của \[x\] để biểu thức \(A = \sqrt {x + 2} \) có nghĩa là
\(x \le - 2\).
\(x \ge - 2\).
\(x \le 2\).
\(x \ge 2\).
Chọn B
Cho \(x\) không âm và \[\sqrt x = 3\], giá trị của \(x\)là
\(9.\)
\(18.\)
\(3.\)
\(81\).
Chọn A
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + ky = 6\\x + 2y = 2\end{array} \right.\)vô số nghiệm khi
\[k = 3\] .
\[k = 1\;\].
\[k = 6\].
\[k = - 3\].
Chọn C
Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\2x - y = 4\end{array} \right.\] có nghiệm là \[\left( {{x_0};\,.{y_0}} \right)\]. Giá trị của biểu thức \[2{x_0} + {y_0}\] bằng
\( - 1.\)
\( - 3.\)
\(0\).
\(3.\)
Chọn C
Cho đường tròn \(\left( {O;3} \right)\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(OM = 5\). Từ \(M\) kẻ cát tuyến \(MAB\) với \(\left( {O;3} \right)\) (\[A\] và \[B\]là các giao điểm). Tích \(MA.MB\) bằng
\[15\].
\[9\].
\[25\].
\(16\).
Chọn D
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(y = 2x + m\) đi qua điểm \(M\left( {2{\rm{ }}; - 1} \right)\) khi tham số \(m\) nhận giá trị là
\(m = 4.\)
\(m = - 5.\)
\(m = 3.\)
\(m = 5.\)
Chọn B
Cặp số \[\left( {{x_0};\,.{y_0}} \right)\]nào dưới đây là nghiệm của phương trình \(2x - y = 2\)?
\[\left( { - 3;4} \right)\].
\[\left( {3; - 4} \right)\].
\[\left( {3;4} \right)\].
\[\left( {4;3} \right)\].
Chọn C
Hàm số \(y = \left( {2023 - m} \right){x^{}} + 2022\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) với giá trị của thỏa mãn
\(m < 2023\).
\(m > 2023\).
\(m \ge 2023\).
\(m \le 2023\).
Chọn B
Giá tiền điện hàng tháng ở nhà Việt được tính theo 4 mức như sau: mức 1: tính cho 100KW đầu tiên; mức 2: tính cho số KW điện từ 101KW đến 150KW, mỗi KW ở mức 2 đắt hơn 200 đồng so với mức 1; mức 3: tính cho số KW điện từ 151KW đến 200KW, mỗi KW ở mức 3 đắt hơn 200 đồng so với mức 2; mức 4: từ KW thứ 201 tính chung 1 giá, mỗi KW ở mức 4 đắt hơn so với mức 3 là 100 đồng. Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng. Biết tháng vừa rồi nhà Việt dùng hết 205KW điện và phải trả \(464200\)đồng. Số tiền nhà Việt phải trả cho mỗi KW điện ở mức 1 là (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
\(2106\) đồng.
\[2264\]đồng.
\(2100\)đồng.
\(1900\) đồng.
Chọn D
a) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 9\\x - 3y = 10\end{array} \right.\].
b) Rút gọn biểu thức \(Q = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \,\, - \,\,1}}\,\, + \,\,\frac{1}{{x\,\, - \,\,\sqrt x }}} \right)\,:\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x \,\, + \,\,1}}\,\, - \,\,\frac{2}{{1 - x}}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\).
c) Biết đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(y = x + 2023\).
Tìm các hệ số \(a\) và \(b\)?
a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 9\\x - 3y = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 9\\x = 3y + 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {3y + 10} \right) - 2y = 9\\x = 3y + 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = - 21\\x = 3y + 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là \((x;y) = (1; - 3)\).
b)\(\begin{array}{l}Q = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right]\\\end{array}\)
\(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\end{array}\)
\(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)\)
\(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
Vậy với \(x > 0\)và \(x \ne 1\) thì \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
c)Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = x + 2023\) nên ta có \(a = 1;{\rm{ }}b \ne 2023\)
Đường thẳng \(y = 1.x + b\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\) nên ta có \(1 = 1.2 + b \Leftrightarrow b = - 1\) (thỏa mãn điều kiện \(b \ne 2023\))
KL: Vậy \(a = 1;{\rm{ }}b = - 1.\)
Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\] \(\left( 1 \right)\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\)khi \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = - 4\).
a)Với \(m = 2\)ta có phương trình \({x^2} - 6x + 8 = 0\)
Giải phương trình được nghiệm \(x = 2;{\rm{ }}x = 4\)
b)Ta có \[{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\]\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2m\end{array} \right.\)
Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\)có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \ne 1\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = - 4\) nên ta có\(\left[ \begin{array}{l}\left| 2 \right| - \left| {2m} \right| = - 4\\\left| {2m} \right| - \left| 2 \right| = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| m \right| = 3\\\left| m \right| = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3\,\left( {TM} \right)}\\{m = - 3\,\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\), (\(\left| m \right| = - 1\)vô nghiệm)
KL:
Trong dịp Tết trồng cây đầu năm, ban tổ chức dự kiến trồng \(80\)cây xanh. Tuy nhiên, đến ngày tổ chức có \(4\)người không thể tham gia trồng cây nên mỗi người còn lại phải trồng thêm \(1\) cây để hoàn thành công việc. Biết số cây mỗi người trồng được chia đều bằng nhau. Hỏi lúc đầu ban tổ chức dự kiến có bao nhiêu người tham gia trồng cây?
Gọi số người dự kiến tham gia trồng cây ban đầu của ban tổ chức là \(x\)(người) \(x > 4,x \in {\mathbb{N}^*}\). |
Theo dự định, mỗi người phải trồng số cây là \(\frac{{80}}{x}\)(cây). Sau khi giảm đi \(4\)người thì mỗi người phải trồng số cây là \(\frac{{80}}{{x - 4}}\)(cây). |
Theo bài ra, ta có phương trình: \(\frac{{80}}{{x - 4}} - \frac{{80}}{x} = 1\) |
Biến đổi được về phương trình \({x^2} - 4x - 320 = 0\) Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = 20\\x = - 16\end{array} \right.\) Đối chiếu điều kiện của \(x\), ta được \(x = 20\). KL: |
Cho \(\Delta ABC\)có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AD,\,BF,CE\)của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(BEHD\) nội tiếp một đường tròn.
b) Kéo dài \(AD\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(K\). Kéo dài \(KE\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(I\). Gọi \(N\)là giao điểm của \(CI\)và \(EF\). Chứng minh \(C{E^2} = CN.CI\).
c) Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M\). Gọi \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\). Chứng minh ba điểm \(M,\,N,\,P\) thẳng hàng.
a)Chỉ ra được \(\widehat {BEH} = {90^{\rm{o}}}\)
Chỉ ra được \(\widehat {BDH} = {90^{\rm{o}}}\)
Suy ra tứ giác \(BEHD\) có \(\widehat {BEH}\, + \widehat {BDH}\, = {180^{\rm{o}}}\) và \(\widehat {BEH}\), \(\widehat {BDH}\) là hai góc ở vị trí đối diện nhau
Kết luận tứ giác \(BEHD\) nội tiếp được trong một đường tròn.
b)Ta có \(\widehat {CIK} = \widehat {CAK}\) (cùng bằng )
Chỉ ra tứ giác \(AEHF\) nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \)) \( \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {FEH}\).
Suy ra \(\widehat {CIE} = \widehat {NEC}\)
Chỉ ra hai tam giác \(CIE\) và \(CEN\) đồng dạng theo trường hợp góc – góc
\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CN}} = \frac{{CI}}{{CE}} \Rightarrow C{E^2} = CN.CI\) (đpcm)
Chỉ ra \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\).
Chỉ ra \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BEFC\).
Mà hai tứ giác \(AEHF\)và \(BEFC\)có hai điểm chung là \(EF\)nên \(PM\)đi qua trung điểm của \(EF\,\left( 1 \right)\)
Gọi \(Q\) là hình chiếu của \(E\) trên \(AC\). Xét \(\Delta EAC\)vuông tại \(E\), có \(EQ\) là đường cao nên \(C{E^2} = CQ.CA\)
Theo b) ta có \(C{E^2} = CN.CI\) nên \(CN.CI = CQ.CA \Rightarrow \frac{{CN}}{{CQ}} = \frac{{CA}}{{CI}}\)
Suy ra hai tam giác \(CNQ;\,CAI\) đồng dạng (chung góc \(C\) và tỉ số bằng nhau)
\( \Rightarrow \widehat {CQN} = \widehat {CIA}\). Mà \(\widehat {CIA} = \widehat {CBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) \( \Rightarrow \widehat {CQN} = \widehat {CBA}\)
Do tứ giác \(BEFC\)nội tiếp nên \(\widehat {QFN} = \widehat {EBC}\) (Cùng bù với góc \(\widehat {CFE}\))
Suy ra \(\widehat {CQN} = \widehat {FQN} = \widehat {QFN} \Rightarrow NQ = NF\)
Chỉ ra \(\widehat {NQE} = \widehat {QEN}\) (Tương ứng phụ với hai góc bằng nhau \(\widehat {FQN};\,\widehat {QFN}\)) \( \Rightarrow NQ = NE\)
Do đó \(NE = NF\)hay \(N\) là trung điểm của \(EF\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra ba điểm \(M,\,N,\,P\) thẳng hàng.
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \[a + b + c = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \sqrt {3a + bc} + \sqrt {3b + ac} + \sqrt {3c + ab} \).
Với điều kiện \(a + b + c = 3\) ta có \(3a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c)\) Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\sqrt {3a + bc} = \sqrt {(a + b)(a + c)} \le \frac{{a + b + a + c}}{2} = \frac{{2a + b + c}}{2}\) Tương tự ta có \(\sqrt {3b + ca} \le \frac{{a + 2b + c}}{2}\) \(\sqrt {3c + ab} \le \frac{{a + b + 2c}}{2}\) |
Suy ra \(A \le \frac{{4(a + b + c)}}{2} = 2(a + b + c) = 6\) Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 3\\a + b = b + c = c + a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) bằng \(6\) khi \(a = b = c = 1\). |
