Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 An Giang có đáp án

\[\frac{2}{{\sqrt 2 }}x + \sqrt 2 x = 4\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{2}x + \sqrt 2 x = 4\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 x + \sqrt 2 x = 4\]

\[\frac{2}{{\sqrt 2 }}x + \sqrt 2 x = 4\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}x + 2x = 4\sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow 2x + 2x = 4\sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 4\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{4}{{2\sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow 4x = 4\sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \sqrt 2 \]

Giải phương trình \[{x^4} - 18{x^2} + 81 = 0\]

Đặt \[t = {x^2}\] phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}{t^2} - 18t + 81 = 0\\\Delta ' = {9^2} - 81 = 0\end{array}\]

Phương trình có nghiệm kép \[t = - \frac{{b'}}{a} = 9\]

Với \[t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\]

Vậy phương trình có hai nghiệm \[x = 3;x = - 3\]

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\2x - 4y = 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = - 4\\2x - 4y = 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\10y = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\y = - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3\left( { - 2} \right) = - 2\\y = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(x = 4;y = - 2\)

\(y = f\left( x \right) = {x^2}\)

Bảng giá trị

Vẽ đồ thị như hình bên

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

\[{x^2} = 3ax - {a^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + {a^2} = 0\left( * \right)\]

Ta có \[\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4{a^2} = 5{a^2}\]

Do \[\Delta > 0\]với mọi \[a \ne 0\], nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm, hay đồ thị hai hàm số luôn có hai giao điểm.

Gọi \[{x_1},{x_2}\]  là hai nghiệm của phương trình (∗) ta được 

Và \[{x_1} + {x_2} = 3a;{x_1}{x_2} = {a^2}\]và

\[{y_1} = 3a{x_1} - {a^2};{y_2} = 3a{x_2} - {a^2}\]

\[{y_1} + {y_2} = 3a\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{a^2} = 9{a^2} - 2{a^2} = 7{a^2}\]

(Hoặc \[{y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2{a^2} = 7{a^2}\])

\[{y_1} + {y_2} = 28 \Leftrightarrow 7{a^2} = 28 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2\]

Vậy \[a = \pm 2\] thỏa đề bài

\[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\]

Với \[\]\[m = 0,5\]phương trình trở thành \[{x^2} - x - 2 = 0\]

do  \[a - b + c = 0\]nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = - 1;{x_2} = - \frac{c}{a} = 2\].

Để phương trình \[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\]có hai nghiệm trái dấu thì \[a.c < 0\]

\[ \Leftrightarrow 1.(2m - 3) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\]

Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \](góc nội tiếp chắn nửa đường  tròn)

(hình vẽ cho câu a, 0,25đ)

\[\widehat {BOD} = 90^\circ \](giả thiết)

\[ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOD} = 180^\circ \]Vậy tứ giác  nội  tiếp

Tam giác \[APO\]vuông tại \[A\], áp dụng định lý Pitago ta có

\[P{O^2} = P{A^2} + O{A^2} \Rightarrow P{A^2} = P{O^2} - O{A^2}\]

\[P{A^2} = {4^2} - {2^2} = 12\]

\[PA = 2\sqrt 3 \,\,cm\]

Mặt khác \[\tan \widehat {APO} = \frac{{OA}}{{AP}} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow \widehat {APO} = 30^\circ \] hay \[\widehat {APC} = 30^\circ \]

Xét hai tam giác \[PBA\]và \[PAC\]có 

Góc \[P\]chung 

\[\widehat {PAB} = \widehat {PCA}\]

(cùng chắn cung) 

Vậy hai tam giác \[PBA\] và \[PAC\]đồng dạng, khi đó

\[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] 

\[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] và \[\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\]

Nhân hai biểu thức ta được

\[\frac{{PB}}{{PA}}.\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.\frac{{BA}}{{AC}} = {\left( {\frac{{BA}}{{AC}}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\]

Gọi \[x\]là số năm kể từ khi vào trường (\[x > 0\]). 

Chiều cao của cây bạch đàn theo số năm là \[y = \;x + 1{\rm{ }}(m)\] 

Chiều cao của cây phượng theo số năm là \[y = 0,5x + 3{\rm{ }}(m)\]

Cây Bạch đàn cao hơn cây phượng khi 

 \[x + 1 > 0,5x + 3\]

\[ \Leftrightarrow 0,5x\; > 2 \Leftrightarrow x\; > 4\] 

Vậy sau 4 năm thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng.