Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 chuyên Hùng Vương - Phú Thọ có đáp án

a) Cho phương trình \({x^2} - 8x + 4 - 8m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2}.\)

b) Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\) và \(a + b - c = \sqrt 3 .\) Tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt {{a^2} + 1}  + 3bc.\)

a) Xác định các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c.\) Biết \(P\left( { - 2} \right) =  - 29,\,\,P\left( 1 \right) =  - 5\) và\(\,P\left( 3 \right) = 1.\)

b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho \(24.\)

a) Giải phương trình: \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5}  = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right).\)

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {146;2022} \right).\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox.\) Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH.\) (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) (\(R > R'\) và \[O,{\rm{ }}O'\] thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(AB\)). Đường thẳng \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(M,\) đường thẳng \(AO'\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(N\) và \(D\) (\(C,\,\,D,\,\,M,{\rm{ }}N\) khác \(A\)). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD;\,\,H\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM.\)

a) Chứng minh rằng năm điểm \(M,\,\,N,\,\,O,\,\,K,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCD;\)\(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B;\) \(P\) là giao điểm của \(AE\) và \[HD;{\rm{ }}F\] là giao điểm của \(BH\) với \(\left( I \right)\,\)(\(F\) khác \(H\)); \(Q\) là giao điểm của \(CF\) với \(BP.\) Chứng minh rằng \(BP = BQ.\)

c) Chứng minh rằng \(\widehat {IBP} = 90^\circ .\)

Cho \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^4}}} + \frac{{{y^4}}}{{{{\left( {y + z} \right)}^4}}} + \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {z + x} \right)}^4}}}.\)