Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 chuyên Thái Bình có đáp án

1. Cho \(f(x) = {x^2} - 3x - 5\) có hai nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Đąt \(g(x) = {x^2} - 4\). Tính giá trị của \(T = g\left( {{x_1}} \right) \cdot g\left( {{x_2}} \right)\).

2. Cho \(a,b,c\) la các số thực khác 0 và thóa mân \((a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \) 1. Chứng minh rằng \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0\).

1. Giải phương trình \(4\sqrt {x + 3}  + 4\sqrt x  = 3x + 9\).

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 33}  + 3\sqrt {2x + y - 1}  = 3x + y + 6}\end{array}} \right.\).

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(S\) là giao điểm của các đường thằng \(BC\) và \(EF\), gọi \(M\) là giao điểm khác \(A\) của \(SA\) và đường tròn \((O)\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AEHF\) nội tiếp và \(HM\) vuông góc với \(SA\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng \(SH\) vuông góc với \(AI\).

c) Gọi \(T\) là điểm nằm trên đoạn thằng \(HC\) sao cho \(AT\) vuông góc với \(BT\). Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(SMT\) và \(CET\) tiếp xúc với nhau.

Giả sử \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(n(n + 1) + 7\) không chia hết cho 7. Chứng minh rằng \(4{n^3} - 5n - 1\) không là số chính phương.

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}}\).