Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Quảng Bình có đáp án

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - x - 3}}{{x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\) (với \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\)).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

a) Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - m + 1\) (với \[m\] là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \sqrt 3 .\)

b) Giải phương trình \(8\sqrt {5x + 1}  + 6\sqrt {2x + 3}  = 7x + 29.\)

Cho ba số thực \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z \in \left[ {5;7} \right].\) Chứng minh rằng

\(\sqrt {xy + 1}  + \sqrt {yz + 1}  + \sqrt {zx + 1}  > x + y + z.\)

Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho hai số \({n^2} - 2n - 7\) và \({n^2} - 2n + 12\) đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AE.\) Gọi \(D\) là một điểm bất kì trên cung  không chứa điểm \(A\) (\(D\) khác \(B\) và \(E\)). Gọi \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) lên các đường thẳng \(BC,{\rm{ }}CA\) và \(AB.\)  

a) Chứng minh ba điểm \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) thẳng hàng.

b) Chứng minh \(\frac{{AC}}{{DI}} + \frac{{AB}}{{DK}} = \frac{{BC}}{{DH}} \cdot \)

c) Gọi \(P\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) chứng minh đường thẳng \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(DP.\)