Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa có đáp án
5 câu hỏi
a) Cho các số thực \(a,b\) không âm thỏa mãn điều kiện \((a + 2)(b + 2) = 8\). Tính giá trị của biểu thức:
\(P = ab + 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - \sqrt {2\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right)} } \).
b) Cho các số hữu tỉ \[a,b,c\]đôi một phân biệt. Đặt \(B = \sqrt {\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}} \). Chứng minh rằng \(B\) là số hữu tỉ.
1) Giải phương trình: \(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 9x + 18} \right) = 168{x^2}\).
2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = y + \frac{1}{{{y^2} + 1}}}\\{{x^2} + 2x\sqrt {y + \frac{1}{y}} = 8x - 1}\end{array}} \right.\).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \({x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6 = 0\).
b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho \(\frac{{{p^2} - p}}{2} - 1\) là lập phương của một số tự nhiên.
Cho hai đường tròn \((O)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn tâm \(O\) cắt đường tròn tâm \(O'\) tại \(P(P \ne A)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn tâm \(O'\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(Q(Q \ne A)\). Gọi \(I\) là điểm sao cho tứ giác \(AOI{O^\prime }\) là hình bình hành và \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\).
a) Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\). Từ đó suy ra tứ giác \(ADPQ\) nội tiếp?
b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(PQ\). Chứng minh \(\widehat {ADP} = \widehat {QDM}\).
c) Giả sử hai đường thẳng \[IB\]và \[PQ\] cắt nhau tại \(S\). Gọi \(K\) là giao điểm của \[AD\] và \[PQ\]. Chứng minh:\(\frac{2}{{SK}} = \frac{1}{{SP}} + \frac{1}{{SQ}}\).\(\)
Cho bảng kẻ ô vuông kích thước \(8 \times 8\) gồm có 64 ô vuông con (như hình vẽ bên). Người ta đặt 33 quân cờ vào các ô vuông con của bảng sao cho mỗi ô vuông con có không quá một quân cờ. Hai quân cờ được gọi là "chiếu nhau" nếu chúng nằm cùng một hàng hoặc nằm cùng một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt luôn tồn tại ít nhất 5 quân cờ đôi một không chiếu nhau.
