Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc có đáp án

a) Giải phương trình \[4{x^2} - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \].

b) Giải phương trình \[{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 5\].

c) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} + {y^2} + x + y = 8\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\].

a) Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\]. Chứng minh rằng \[xyz\] chia hết cho 24.

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \[(a;b;c)\] sao cho \[{\left( {a + b + c} \right)^2} - 2{\rm{a}} + 2b\] là số chính phương.

Cho các số dương \[a;b;c\] thỏa mãn \[\sqrt {a + b + ab + 1} + c = 6\]. Chứng minh rằng:

a) \[a + b + 2c \ge 10\].

b) \[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\].

Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng AD tại M (M không trùng với A và D, D nằm giữa A và M), đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường thẳng BC tại điểm N (N không trùng với B và C, B nằm giữa C và N). Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm P, đường thẳng EN cắt đường thẳng FM tại điểm Q. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn.

b) PQ song song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE, AMF, CEN cùng nằm trên một đường thẳng cố định.

c) Các đường thẳng MN, BD, EF đồng quy tại một điểm.

Thầy Quyết viết các số nguyên 1, 2, 3,…., 2021, 2002 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số như sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số như vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số.

a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021.

b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006.