Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Lào Cai có đáp án

a) Cho biểu thức \[A = \left( {\frac{{a\sqrt a  - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a  + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right)\,\,:\,\,\left( {\frac{{a + 2}}{{a - 2}}} \right)\] với \[a\, > \,0\,;\,\,\,a\,\, \ne \,\,1\,;\,\,a\,\, \ne \,\,2\]. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(a\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

b) Cho \[x = 1 + \sqrt {2021} \] . Tính giá trị biểu thức:

\[{x^5} - 2{x^4} - 2021{x^3} + 3{x^2} + 2018x - 2021.\]

1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20 km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3 km/h. Tính vận tốc dự định của người đó.

2) Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\] (trong đó \(m\) là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm \[{x_1};\,\,{x_2}\] với mọi \(m\).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm \[{x_1};\,\,{x_2}\] thỏa mãn điều kiện:

\[\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\,\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1} \right)\,\, < \,\,0.\]

Cho tam giác nhọn \[\Delta \,ABC\] không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh \[BC\,,\,\,CA\,,\,\,AB\] lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng:

          a) \[A{F^2} = AP.AD\].

          b) Tứ giác PQID nội tiếp và \[N{B^2} = NM.NA.\]

          c) QA là phân giác của \[\widehat {\,PQ{T_\,}\,}\].

          d) \[\widehat {\,AD{F_\,}\,} = \widehat {\,QD{E_\,}\,}\].

a) Cho hai số thực dương \[x;y\] thỏa mãn: \[x + y\,\, \le \,\,\frac{2}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[A = 53x + 53y\,\, + \,\,\frac{1}{{{x^2}}}\, + \,\,\frac{1}{{{y^2}}}\].

b) Cho ba số thực dương \[x;y\,,\,z\] thỏa mãn: \[{x^2} + {y^2}\,\, + {z^2} \ge \,\,3\]. Chứng minh rằng:

\[\left( {{x^4} + {y^4}\,\, + {z^4}} \right)\,\, + \,\,\left( {{x^3} + {y^3}\,\, + {z^3}} \right) \ge \,\,3\, + x + y + z\].

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên \[\left( {x\,\,;\,\,y} \right)\] thỏa mãn phương trình:

\[{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2\left( {xy + 1} \right)\]

b) Cho \[p\] là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương \[x\,\,;\,\,y\] thỏa mãn \[{x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8.\] Tìm giá trị lớn nhất của \[p\].