Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Hà Nam có đáp án

Cho biểu thức \(S = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt {ab}  + 1}} + \frac{{\sqrt {ab}  + \sqrt a }}{{1 - \sqrt {ab} }} + 1} \right):\frac{{a + \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt {ab} }}{{1 - ab}}\)

 với \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,{a^2} + {b^2} > 0\) và \(ab \ne 1.\) 

1. Rút gọn biểu thức \(S.\)

2. Tính giá trị của biểu thức \(S\) khi \(a = 3 + 2\sqrt 2 \) và \(b = 11 - 6\sqrt 2 .\)  

1. Giải phương trình  \({x^2} + x + 4 - \left( {2 + x} \right)\sqrt {{x^2} - x + 4}  = 0.\)

2. Giải hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 - 2\sqrt {2xy + x - 4y - 2}  = 0\\\sqrt {x - 2}  + 3\sqrt {2y + 1}  = 4.\end{array} \right.\)

Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\) Trên \(\Delta \) lấy điểm \(M\) sao cho \(MA > R.\) Qua \(M\) vẽ tiếp tuyến \(MC\) \((C\) thuộc đường tròn \((O),\)\(C\) khác \(A).\) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\) và \(AM.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(O\) và vuông góc với \[AB.\] Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(BC.\)

1. Chứng minh \(OM{\rm{//}}BN\) và \(MC = NO.\)

2. Gọi \(Q\) là giao điểm của \(MB\) và \(CH,\) \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(OM.\) Chứng minh đường thẳng \(QK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\)

3. Gọi \(F\) là giao điểm của \(QK\) và \(AM,\) \(E\) là giao điểm \(CD\) và \(OM.\) Chứng minh tứ giác \(FEQO\) là hình bình hành. Khi \(M\) thay đổi trên \(\Delta ,\) tìm giá trị lớn nhất của \(QF + EO.\) 

1. Giải phương trình \({x^3} + {y^2} - x + 3z = 2021\) với \(x,\,\,y\) và \(z\) là các số nguyên.

2. Cho hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng \(1.\) Bên trong hình vuông người ta lấy tùy ý \(2021\) điểm phân biệt \({A_1},\,\,{A_2},...,\,\,{A_{2021}}\) sao cho \(2025\) điểm  \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,{A_1},\,\,{A_2},...,\,\,{A_{2021}}\)  không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng từ \(2025\)  điểm trên luôn tồn tại \(3\) điểm là 3 đỉnh của hình tam giác có diện tích không quá \(\frac{1}{{4044}}.\) 

Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng

\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)