Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 25)
12 câu hỏi
Cho hai biểu thức :
P=a−9a−3 và Q=3a−3+2a+3+a−5a−3a−9 với a≥0,a≠9
a) Khi a = 81, tính giá trị biểu thức P .
a) a = 81 (TMĐKXĐ) suy ra a=9
b) Rút gọn biểu thức Q
b) Biến đổi Q=3(a+3)+2(a−3)+a−5a−3a−9Rút gọn được Q=aa−9
c) Với a > 9, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = P.Q
c) Biến đổi P.Q=aa−3=a+3+9a−3=(a−3)+9a−3+6Đánh giá được (a−3)+9a−3≥2(a−3).9a−3=6 (vì a > 9)Từ đó minA = 12 <=> a = 36 (TMĐKXĐ)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai đội công nhân làm chung một công việc và dự định 12 ngày thì hoàn thành xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày, thì đội I được điều động đi làm việc khác. Đội II tiếp tục làm nốt phần việc còn lại. Khi làm một mình, do cải tiến cách làm, năng suất cảu đội II tăng gấp đôi, nên đội II đẫ hoàn thành xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm mọt mình thì sau thời gian bao lâu sẽ hoàn thành công việc trên?
Gọi thời gian đội I làm một mình (với năng suất ban đầu ) để hoàn thành công việc là x ( đơn vị ngày, x > 12 )
Gọi thời gian đội II làm một mình (với năng suất ban đầu ) để hoàn thành công việc là y ( đơn vị ngày, y > 12 )
Mỗi ngày đội I làm được 1x ( công việc )
Mỗi ngày đội II làm được 1y ( công việc )
8 ngày làm được 812=23 ( công việc )
Năng suất mới của đội II là 2y ( CV/ngày )Lập luận để có được hệ phương trình 23+2y.72=11x+1y=112Giải hệ phương trình được nghiệm x = 28 , y = 21 (t/m đk)Kết luận : Với năng suất ban đầu, để hoàn thành công việc, đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày.
Giải hệ phương trình: 2x−2−3y−1=11x−2+1y−1=2
ĐKXĐ : y≠1x≠2
Đặt ẩn phụ 1x−2=u; 1y−1=y đưa về hệ 2u−3v=1u+v=2
Giải được u=75; v=35
Trả lại ẩn ban đầu và giải được x=197; y=83(TMĐK)Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất (197;83)
Cho parabol (P):y=x2và đương thẳng (d):y=(2m+1)x−2m (x là ẩn, m là tham số )
a) Khi m = 1. Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) .
Lập luận để có khi m = 1 thì hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình x2−3x+2=0
Giải phương trình được nghiệm x1=1; x2=2
Tiếp tục xác định đúng tung độ giao điểm y1=1; y2=4
KL: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: M(1;1) N(2;4)
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1;y1); B(x2;y2)
Sao cho biểu thức T=x12+x22−x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của pt: (*)⇔x2−(2m+1)x+2m=0
Tính được Δ=(2m−1)2
+) (P) và (d)cắt nhau tại hai điểm phân biệt <=> PT(*) có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔m≠2
+) Khi đó ta có T=x12+x22−x1x2=x12+x22+2x1x2−3x1x2=(x1+x2)2−3x1x2
Áp dụng hệ thức vi-et cho phương trình (*) ta có x1x2=2mx1+x2=2m+1 Thay vào biểu thức T
T=(2m+1)2−3.2mT=4m2−2m+1=(2m-12)2+34≥34
Lập luận dẫn đến Tmin=34khi m=14 (TMĐK)
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (BC là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I∈AB,K∈AC)
a) Chứng minh: tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn
Lập luận được AIM=AKM=900
⇒AIM+AKM=1800
=> Tứ giác AIMK nội tiếp đường trònđường kính AM
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P ∈ BC). Chứng minh: MPK⏜=MBC⏜
Tứ giác CPMK có MPC=MKC=900(gt)
Suy luận được CPMK là tứ giác nội tiếp.
Suy luận được ⇒MPK=MCK (1)
Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK = MBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn MC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MPK = MBC (3)
c) Chứng minh rằng: MI.MK = MP2
C/m tương tự câu b) ta có BPMI là tứ giác nội tiếp
Suy ra MIP = MBP = MBC (4).Từ (3) và (4) suy ra MPK = MIPTương tự: MKP = MPI => MPL ~ △MIP⇒MPMK=MIMP⇒MI.MK=MP2
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Từ câu c) suy ra MI.MK.MP = MP3. Do đó MI.MK.MP lớn nhất <=> MP lớn nhất (5)
Gọi H là hình chiếu của O trên BC => OH là hằng số ( do BC cố định ).
Gọi D là giao điểm của MO và BC
Ta có: MP≤MD; OH≤OD
MP+OH≤MD+OD=MO⇒MP+OH≤R⇒MP≤R−OH.
Do đó MP lớn nhất =R−OH⇔O,H,Mthẳng hàng (M nằm chính giữa cung nhỏ BC) (6).Từ (5) và (6) => max(MI.MK.MP) = (R - OH)3 <=> M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Cho ba số x, y, z không âm và x2+y2+z2≤3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=1(x+1)2+4(y+2)2+8(z+3)2
Theo bất đẳng thức Cô Si ta có:
(x2+1)+(y2+4)+(z2+1)≥2x+4y+2z⇒3y+6≥2x+4y+2z (vì (x2+y2+z2≤3y)
⇒6≥2x+y+2z
Với hai số a, b > 0 chứng minh được 1a2+1b2≥8(a+b)2
Do đó:
P=1(x+1)2+1(y2+1)2+8(z+3)2≥8(x+1+y2+1)2+8(z+3)2≥64.4(2x+y+2z+10)2≥256(6+10)2=1
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1
Vậy GTNN của P = 1 khi và chỉ khi x=1;y=2,z=1
