Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 trường THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) năm 2025-2026 có đáp án
7 câu hỏi
Cho đơn thức: \[A = \left( { - \frac{3}{4}{x^4}{y^2}} \right).\left( {8x{y^3}} \right)\]
1) Thu gọn rồi tìm bậc, hệ số của đơn thức \(A\)
2) Tính giá trị của đơn thức \(A\), biết \(x = 2;y = - 1\).
1) Ta có \[A = \left( { - \frac{3}{4}{x^4}{y^2}} \right).\left( {8x{y^3}} \right) = - 6{x^5}{y^5}.\]
Đơn thức \(A\) có hệ số \[ - 6\] và bậc 10.
2) Thay \(x = 2\) và \(y = - 1\) vào đơn thức A đã thu gọn, ta được:
\(A = - 6.{\left( 2 \right)^5}.{\left( { - 1} \right)^5} = 192.\)
Thực hiện phép tính
(a) \(5a{b^3}\left( {2{a^2}b - {a^3} + \frac{1}{5}{a^2}} \right)\)
(b) \(2xy\left( {{x^2} - y} \right) + x\left( {2{y^2} - y} \right) - 2{x^3}y - 1\)
(c) \[\left( {{x^3}y + 4{x^2}{y^2} - 5{x^2}{y^3}} \right):xy - x\left( {x - 4{y^2}} \right)\]
a) \(5a{b^3}\left( {2{a^2}b - {a^3} + \frac{1}{5}{a^2}} \right)\)
\( = 10{a^3}{b^4} - 5{a^4}{b^3} + {a^3}{b^3}\).
b) \(2xy\left( {{x^2} - y} \right) + x\left( {2{y^2} - y} \right) - 2{x^3}y - 1\)
\( = 2{x^3}y - 2x{y^2} + 2x{y^2} - xy - 2{x^3}y - 1\)
\( = - xy - 1\)
c) \[\left( {{x^3}y + 4{x^2}{y^2} - 5{x^2}{y^3}} \right):xy - x\left( {x - 4{y^2}} \right)\]
\[ = {x^2} + 4xy - 5x{y^2} - {x^2} + 4x{y^2}\]
\[ = 4xy - x{y^2}\]
Tìm \(x\), biết:
(a) \(2\left( {x - 3} \right) - 4x = 0\)
(b) \[x\left( {x + 15} \right) + x\left( {x-1} \right) = 2{x^2} + 7\]
(c) \(\left( {3x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = 4\)
a) \(2\left( {x - 3} \right) - 4x = 0\)
\(2x - 6 - 4x = 0\)
\( - 2x = 6\)
\(x = - 3\)
b) \(x\left( {x + 15} \right) + x\left( {x - 1} \right) = 2{x^2} + 7\)
\({x^2} + 15x + {x^2} - x = 2{x^2} + 7\)
\(14x = 7\)
\(x = \frac{1}{2}\)
c) \(\left( {3x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = 4\)
\((6{x^2} - 5x - 6) - (3{x^2} - x - 10) = 4\)
\(6{x^2} - 5x - 6 - 3{x^2} + x + 10 = 4\)
\(3{x^2} - 4x = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{4}{3}\)
Một khu vườn sinh thái của một trường (được mô tả như hình bên), biểu thức \(A = 7{x^2}y + 4x{y^2} + 2xy + 3\)\(\left( {{m^2}} \right)\) biểu thị diện tích của khu vườn. Biểu thức \(B = 3{x^2}y + x{y^2} + 2xy + 1\) \(\left( {{m^2}} \right)\)biểu thị tổng diện tích chỗ ngồi nghỉ và lối đi.
(a) Tính diện tích khu vườn của nhà trường khi \(x = 2\); \(y = 1\).
(b) Tính diện tích trồng rau của nhà trường (biểu diễn dưới dạng đa thức rút gọn).
a) Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = {7.2^2}.1 + {4.2.1^2} + 2.2.1 + 3 = 43.\)
Vậy diện tích khu vườn của nhà trường khi \(x = 2;y = 1\) là \(43\;{m^2}\).
b) Diện tích trồng rau là:
\(A - B = \left( {7{x^2}y + 4x{y^2} + 2xy + 3} \right) - \left( {3{x^2}y + x{y^2} + 2xy + 1} \right)\)
\( = 7{x^2}y + 4x{y^2} + 2xy + 3 - 3{x^2}y - x{y^2} - 2xy - 1\)
\( = 4{x^2}y + 3x{y^2} + 2\) (\({m^2}\))
Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành \[EFGH\] với \[M\] là giao điểm của hai đường chéo (Hình bên). Cho biết \(EF = 40\;m\), \(EM = 36\;m\), \(HM = 16\;m\). Tính độ dài cạnh \[HG\] và độ dài hai đường chéo.
Vì \[EFGH\] là hình bình hành
Suy ra \(HG = EF = 40\,\left( m \right)\) (tính chất hình bình hành)
\(M\) là trung điểm của \(EG\) và \(HF\) (tính chất)
Do đó \(EG = 2.EM = 2.36 = 72\left( m \right)\); \(HF = 2.HM = 2.16 = 32\left( m \right)\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)), có \(AH\) là đường cao. Từ H kẻ \(HD\) vuông góc với \(AB\) (\(D \in AB\)) và \(HE\) vuông góc với \(AC\) (\(E \in AC\)).
(a) Tứ giác \(ADHE\) là hình gì? Vì sao?
(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AK\). Chứng minh tứ giác \(DHKE\) là hình bình hành.
(c) Kẻ đường trung tuyến \(AM\), \(DE\) cắt \(AM\)ở \(Q\). Chứng minh \(\Delta AEQ\) vuông ở \(Q\).
a) \(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))
\(\widehat {HDA} = 90^\circ \) (vì \(HD\) vuông góc với \(AB\))
\(\widehat {HEA} = 90^\circ \) (vì \(HE\) vuông góc với AC)
Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.
b) Vì tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(DH = AE\) (tính chất)
Mà \(AE = EK\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AK\)) suy ra \(DH = EK\).
Xét tứ giác \(DHKE\) có:
\(DH = EK\) (chứng minh trên)
\(DH{\rm{ // }}EK\) (vì \(ADHE\) là hình chữ nhật)
Suy ra \(DHKE\) là hình bình hành.
c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có:
\(AM\) là đường trung tuyến suy ra M là trung điểm của BC suy ra
\(MB = MC = \frac{1}{2}BC\) và \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Xét \(\Delta MAC\) có: \(MA = MC\)(chứng minh trên)
Suy ra \(\Delta MAC\) cân tại M.
Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\) hay \(\widehat {QAE} = \widehat {MCA}\) (1)
Vì tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DHA} = \widehat {DEA}\) hay \(\widehat {DHA} = \widehat {QEA}\) (2)
Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {DHB} = 90^\circ \) (3)
Vì \(HD{\rm{ // }}AC\) nên \(\widehat {DHB} = \widehat {MCA}\) (đồng vị) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta QEA\) có \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} + \widehat {AQE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AQE} = 90^\circ \).
Vậy \(\Delta AEQ\) vuông ở \(Q\).
Bác nông dân làm một hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường. Bác chỉ làm ba mặt vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 180 m lưới sắt để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Hỏi diện tích lớn nhất bác có thể rào là bao nhiêu?
Gọi \(x\)(m) là chiều sâu của khu vườn (vuông góc với bờ tường),
\(L\)(m) là chiều dài song song với bờ tường.
Theo hình vẽ: hàng rào gồm 2 cạnh sâu và 1 cạnh dài, nên ta có:
\(2x + L = 180\) suy ra \(L = 180 - 2x.\)
Diện tích khu vườn là:
\(A = x \times L = x\left( {180 - 2x} \right) = 180x - 2{x^2}\)
\( = - 2{\left( {x - 45} \right)^2} + 4050.\)
\({A_{{\rm{max}}}} = 4050\,\,{\rm{\;khi}}\,\,\;x = 45\).
Thay \(x = 45\;\)vào \(L = 180 - 2x\):
\(L = 180 - 2 \times 45 = 90.\) Diện tích lớn nhất: \({A_{{\rm{max}}}} = L \cdot x = 90 \cdot 45 = 4050\,\left( {{m^2}} \right).\)
Kết luận: Bác nông dân có thể rào được diện tích lớn nhất là 4050 m² khi:
• Chiều sâu khu vườn \(x = 45\,m\).
• Chiều dài song song với tường \(L = 90\,m\).
Bạn có thích hoạt động này không?
