Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Ngũ Hành Sơn (Đà Nẵng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

Góc lượng giác tia đầu là \[Ou\]; tia cuối là \[Ov\]quay theo chiều dương có số đo là

sđ Ou,Ov=60°+k.360°.

Chọn B

Ta có  \(180^\circ  = \pi \left( {radian} \right) \Rightarrow 250^\circ  = \frac{{25\pi }}{{18}}\left( {radian} \right)\)

Chọn A

Cung có số đo \[\frac{\pi }{{16}}\](radian) tương ứng số đo là \(n = \frac{{180}}{{16}} = \frac{{45}}{4} = 11,25^\circ \)

Độ dài l của cung tròn trên là: \(l = 2\pi .R.\frac{n}{{360}} = 2\pi .20.\frac{{11,25}}{{360}} = \pi .\frac{{11,25}}{9} \approx 3,93\) (cm).

Chọn B

Với góc lượng giác \[\alpha \] với \[ - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\]thì \[\sin \alpha  < 0.\]

Chọn A

Với góc \(\alpha \)thỏa \[0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\]thì \(\cos \alpha  > 0\)

Ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)mà \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn B

Ta có \[cos\left( {\pi  + \alpha } \right) = cos\left( {\pi  - \left( { - a} \right)} \right) =  - cos\left( { - \alpha } \right) =  - cos\alpha \]nên khẳng định câu B sai.

Chọn D

Ta có \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\]nên công thức câu D đúng.

Chọn C

Ta có \(cos2\alpha  = 2co{s^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{8}\).

Chọn D

Tập xác định của hàm số \[y = \cos x\] bằng \[\mathbb{R}.\]

Chọn D

Chỉ có hàm số \(y = \cos x\)là hàm số chẵn vì ta có \(\cos x = cos\left( { - x} \right)\)\(\forall x \in R\)\(\)

Chọn B

Hàm số \(y = \sin 3x\)tuần hoàn với chu kì \[T = \frac{{2\pi }}{3}.\]

Chọn C

Hàm số \[y = \frac{{\sin x}}{{\cos x - 1}}\]xác định \( \Leftrightarrow \cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow x \ne k2\pi \)(với \(k \in Z\))

Vậy tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\sin x}}{{\cos x - 1}}\]là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Chọn B

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{ R}}\)nên \(0 \le 1 - \sin x \le 2{\rm{  }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}\)

Chọn D

Phương trình x=α°+k360°x=180°−α°+k360°(k∈ℤ).

Chọn A

Phương trình \[\cot x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\]\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Chọn C

Phương trình \[\cos x = \frac{m}{2}\]vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{2} > 1\\\frac{m}{2} <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\).

Chọn C

    Ta có \[2\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \sin x = sin\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

Xét \[ - \pi  \le \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - 1 \le \frac{1}{6} + 2k \le 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}\].

Mà \(k \in Z \Rightarrow k = 0\)nên \(x = \frac{\pi }{6}\)thỏa mãn .

Xét \(k \in Z \Rightarrow k = 0\)\[ - \pi  \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - 1 \le \frac{5}{6} + 2k \le 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} \le k \le \frac{1}{{12}}\]

Mà \(k \in Z \Rightarrow k = 0\)nên \(x = \frac{{5\pi }}{6}\)thỏa mãn.

Vậy phương trình \[2\sin x = 1\] có \(2\)nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\pi } \right]\].

Chọn D

Xét dãy số \[13;11;8;7;5.\]ta thấy \({u_1} = 13 > {u_2} = 11 > {u_3} = 8 > {u_4} = 7 > {u_5} = 5\)

Do đó dãy số \[13;11;8;7;5\]là dãy số giảm.

Chọn B

Từ công thức của dãy số trên ta có \({u_3} = {u_2} + {u_1} = 1 + 1 = 2\).

\({u_4} = {u_3} + {u_2} = 2 + 1 = 3\); \({u_5} = {u_4} + {u_3} = 3 + 2 = 5\).

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số đó là \[1;1;2;3;5.\]\

Chọn B

Công thức tổng quát của dãy số gồm các số chính phương tăng dần là

\[{u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\]

Chọn B

Xét dãy số \[ - 1;1;3;5;7\]ta có \({u_1} =  - 1;{u_2} = 1;{u_3} = 3;{u_4} = 5;{u_5} = 7\)

Nhận xét \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = {u_5} - {u_4} = 2\)nên dãy số \[ - 1;1;3;5;7\]là cấp số cộng

Chọn C

Ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\)nên khẳng định C là đúng.

Chọn D

Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)\( = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right]\)

Thay vào ta có

\(561 = \frac{n}{2}\left[ {2 + 4.\left( {n - 1} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 561 = 0\)

Giải ra ta được  \(n = 17\).

Vậy cần lấy ra \(17\) số hạng đầu tiên của cấp số đó để được tổng là \[561\].

Chọn A

Vì ba số \[x + 1;{\rm{ }}2x + 1;{\rm{ }}x + 7\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

\(2(2x + 1) = x + 1 + x + 7\) \( \Leftrightarrow 4x + 2 = 2x + 8\)\( \Leftrightarrow x = 3\)

Chọn C

Xét dãy số \[3;6;12;24\]ta có \({u_1} = 3;{u_2} = 6;{u_3} = 12;{u_4} = 24\)

Khi đó nhận xét \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 2\)nên dãy \[3;6;12;24\]là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).

Chọn D

Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_n} = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right)\).

Hay \[{S_n} = \frac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\].

Chọn B

Ta có \({u_3} = {u_2}.q =  - 6q > 0 \Rightarrow q < 0\)

Mà \({u_6} = {u_2}.{q^4} \Rightarrow  - 486 =  - 6.{q^4}\)\( \Rightarrow {q^4} = 81 \Rightarrow q =  - 3\)( vì \(q < 0\))

Lời giải

Chọn A

Vì \[x;{\rm{ }}x + 6;{\rm{ }}y\]là ba số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân có công bội \(q = 2\)nên ta có

\(x + 6 = 2x\)và \(y = 2\left( {x + 6} \right)\)\( \Leftrightarrow x = 6\) và \(y = 2\left( {6 + 6} \right) = 24\)\(\)

Chọn D

Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả \(5\)nhóm.

Chọn C

Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\)được tính là: \[\frac{{a + b}}{2}\].

Chọn B

Trong mỗi khoảng điểm kiểm tra; giá trị đại diện là trung bình cộng của hai giá trị đầu mút nên ta có bảng sau

Điểm	1	3	5	7	9
Số học sinh	1	5	9	14	7

Điểm trung bình của 36 học sinh lớp 11 A là:

\(\frac{{1.1 + 5.3 + 9.5 + 14.7 + 7.9}}{{36}} \simeq 6,2\).

Chọn D

Cỡ mẫu là: \(n = 10 + 15 + 18 + 20 + 23 = 86\)hay \(n\) là số chẵn

Gọi \({x_1};{x_2};.....;{x_{309}}\)là thời gian ngủ của 86 học sinh và giả sử dãy này được xếp theo thứ tự tăng dần

Do đó trung vị là: \(\frac{{{x_{43}} + {x_{44}}}}{2}\).

Do hai giá trị \({x_{43}};{x_{44}}\)đều thuộc nhóm \(\left[ {6;\;7} \right)\)do đó nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là  \[\left[ {6;7} \right)\].

Chọn C

Cỡ mẫu là: \(n = 54 + 78 + 120 + 45 + 12 = 309\).

Gọi \({x_1};{x_2};.....;{x_{309}}\)là mức giá mua nhà của 309 khách hàng và giả sử dãy này được xếp theo thứ tự tăng dần

Trung vị là \({x_{155}} = {Q_2}\)

Tứ phân vị thứ 3 là \({Q_3} = \frac{{{x_{232}} + {x_{233}}}}{2}\)

Do \({x_{232}};{x_{233}}\)đều thuộc nhóm \[\left[ {18;22} \right)\]do đó nhóm này chứa \({Q_3}\).

Chọn C

Tần số lớn nhất là \(14\)nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm \(\left[ {3;3,5} \right)\).

Chọn D

Nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt) là nhóm \[\left[ {156;159} \right)\]

Độ dài của nhóm là: \(h = 159 - 156 = 3\).

Ta có \({a_3} = 156;{m_3} = 40;{m_2} = 13;{m_4} = 21\)

Khi đó Mốt là

\[{M_o} = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{\left( {{m_3} - {m_2}} \right) + \left( {{m_3} - {m_4}} \right)}}.h\]\(\)

\[\begin{array}{l} = 156 + \frac{{40 - 13}}{{40 - 13 + 40 - 21}}.3\\ \simeq 157,76\end{array}\]

Ta có \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\cos \alpha  - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2}\)

Vì góc \(\alpha \)thỏa mãn \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)nên ta có \(cos\alpha  < 0\)

Mặt khác lại có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1 \Rightarrow cos\alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)( vì \(\cos \alpha  < 0\))

Thay\(\sin \alpha  =  - \frac{4}{5} \Rightarrow cos\alpha  =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  = \frac{{ - 3}}{5}\)

Từ đó thay \(\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}\) và \(cos\alpha  = \frac{{ - 3}}{5}\)ta được \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \)\(\frac{{\cos \alpha  - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2} = \frac{{4\sqrt 3  - 3}}{{10}}\).

Ta có : \({u_2} = {u_1}.q\)và \({u_3} = {u_1}.{q^2}\)và \({u_4} = {u_1}.{q^3}\)

Thay vào ta có \({u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26\)và \({u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 52 \Leftrightarrow {u_1}\left( {{q^2} + q + 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 52\)

\( \Leftrightarrow 26\left( {q - 1} \right) = 52 \Leftrightarrow q - 1 = 2 \Leftrightarrow q = 3\)

Mặt khác: \({u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26 \Leftrightarrow {u_1}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) = 26 \Leftrightarrow {u_1} = 2\).

Nên \({u_5} = {u_1}.{q^4} = {2.3^4} = 162\).

Gọi \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\)là số ngày mỗi hs nuôi heo đất để số tiền đạt được là \[5658800\]

Xét cấp số cộng \[{u_n}\left( {n \in {N^*}} \right)\]với \({u_1} = 2000;d = 200\)\(\)

Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right] = \frac{{5658800}}{{43}}\)( vì lớp 11 A có tổng cộng 43 học sinh mà mỗi học sinh sau n ngày đều có số tiền nuôi heo đất là \(\) )

Hay là \(\frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right] = 131600\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {4000 + \left( {n - 1} \right).200} \right) = 131600\\ \Leftrightarrow 100{n^2} + 1900n - 131600 = 0\end{array}\)

Giải phương trình ta được \(n = 28\)( loại đi \(n = - 47\)vì \(n \in {N^*}\))

Vậy sau \(28\)ngày thì số tiền nuôi heo đất của lớp 11 A thu được là \[5658800\] đồng.

Phương trình \(\left( {2\cos x + \sin x - \cos 2x} \right)\cos x = 1 + \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x + \sin x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right).\cos x = 1 + \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right).\cos x + 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = 1 + \sin x\)

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\1 + \sin x - 2{\cos ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = - 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + l2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \end{array} \right.\)(với \[k;k;m;n \in Z\])\(\)

Kết luận: \(x = k2\pi \);\[x = \frac{{ - \pi }}{2} + l2\pi \];\[x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \];\[x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \]là các nghiệm của phương trình