Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Ngô Sĩ Liên (Bắc Giang) năm 2023-2024 (có đáp án)
30 câu hỏi
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm tuần hoàn chu kỳ \(T\) bằng
\(\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(3\pi \).
\(2\pi \).
Chọn D
Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] như hình vẽ. Vị trí tương đối của \[a\] và \[b\]là![Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] như hình vẽ. Vị trí tương đối của \[a\] và \[b\]là A. trùng nhau B. song song nhau. C. chéo nhau. D. cắt nhau. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/1-1764084630.png)
trùng nhau
song song nhau.
chéo nhau.
cắt nhau.
Chọn C
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\left| {{\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi \left| {{\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left| {{\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {{\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Chọn A
ĐK: \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
TXĐ là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi \left| {{\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Các nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]là
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Chọn C
Phương trình: \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực \(a,b\)?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b + \sin a\cos b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Chọn C
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\]có \[N\] là trung điểm của \[SB\], giao điểm của \[DN\]và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là
điểm \(K\) (với \(O\)là trung điểm của \(AC\)và \(\left\{ K \right\} = SO \cap DN\) ).
trung điểm của \(SC\).
điểm \(N\).
điểm \(K\) (với \(O\)là giao điểm của \(AC\)và \(BD\)và \(\left\{ K \right\} = SO \cap DN\) ).
Chọn D
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(\left\{ K \right\} = SO \cap DN\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SO \subset \left( {SAC} \right)\\K = SO \cap DN\end{array} \right. \Rightarrow DN \cap \left( {SAC} \right) = K\).
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\).
Chọn A
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow D = \)\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x.\cos x\).
\(\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x.\cos x\).
\(\cos 3x - \cos x = - 2\sin 2x.\sin x\).
\(\sin 3x - \sin x = - 2\sin 2x.\sin x\).
Chọn D
\(\sin 3x - \sin x = - 2\sin 2x.\sin x\) sai vì \(\sin 3x - \sin x = 2\cos 2x.\sin x\).
Phương trình \(2\sin 2x + 3 = 5\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
\(2\).
\(0\).
\(3\).
\(1\).
Chọn D
Phương trình: \(2\sin 2x + 3 = 5 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \in \frac{\pi }{4} + k\pi \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\). Có 1 nghiệm thoả mãn.
Chu kỳ của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\)là số nào sau đây?
\[0\].
\(\pi \).
\[2\pi \].
\[4\pi \].
Chọn D
Chu kỳ của hàm số \(y = \sin \omega x\) là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\), suy ra chu kỳ của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\) là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \).
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số \(y = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin 2x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cot 2x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \tan x\)+2023 là hàm số chẵn.
Chọn D
A. Hàm số \(y = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\) .
TXĐ: + \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
+ Xét \(f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) - {\cos ^2}\left( { - x} \right) = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x = f\left( x \right)\). Hàm số chẵn.
B. Hàm số \(y = \sin 2x\) là hàm số lẻ.
TXĐ: + \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
+ Xét \(f\left( { - x} \right) = \sin 2\left( { - x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\). Hàm số lẻ.
C. Hàm số \(y = \cot 2x\) là hàm số lẻ.
TXĐ: + \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là tập đối xứng.
+ Xét \(f\left( { - x} \right) = \cot 2\left( { - x} \right) = - \cot 2x = - f\left( x \right)\). Hàm số lẻ.
D. Hàm số \(y = \tan x\)+2023 là hàm số chẵn.
TXĐ: + \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là tập đối xứng.
+ Xét \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + 2023 = - \tan x + 2023 \ne f\left( x \right)\).
\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + 2023 = - \tan x + 2023 \ne - f\left( x \right)\).Hàm số không chẵn, không lẻ.
Phương án nào sau đây là sai?
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
Chọn C
A. \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
B. \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
C. \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) nên C sai.
D. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
Khi \(x\) thay đổi trong \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) thì \(y = \sin x\) lấy mọi giá trị thuộc
\(\left[ {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\).
\(\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\)
\(\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right]\).
\(\left[ { - 1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\).
Chọn C
Từ hình vẽ
\(\sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\sin \frac{\pi }{2} = 1 \Rightarrow y = \sin x \in \left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right]\).
Cho đường thẳng \[a\] nằm trên \[mp\left( P \right),\] đường thẳng \[b\] cắt \[\left( P \right)\] tại \[O\] và \[O\] không thuộc \[a\].Vị trí tương đối của \[a\] và \[b\] là
song song nhau.
chéo nhau.
cắt nhau.
trùng nhau.
Chọn B
Từ hình vẽ ta kết luận
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành như hình vẽ.
Giao điểm của đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là
trung điểm của đoạn \(AC\).
điểm \(D\).
không tồn tại.
điểm \(B\).
Chọn A
Gọi \(O = BD \cap AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \cap AC = O\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \cap \left( {SAC} \right) = O\).
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số nào?
\[y = 1 + \sin x\].
\[y = \sin x\].
\[y = 1 - \sin x\].
\[y = \cos x\].
Chọn D
Đồ thị hàm \[y = \cos x\].
Nhận xét: Thay toạ độ các điểm có toạ độ \(\left( { - \pi ; - 1} \right),\left( {0;1} \right),\left( {\pi ; - 1} \right)\) hàm số nào thoả mãn thì đó là hàm số cần tìm.
Cho tứ diện\[ABCD\]. Gọi \[M;{\rm{ }}N\]lần lượt là trung điểm của \[AB\]và\[CD\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\]qua \[MN\]và cắt \[AD;{\rm{ }}BC\]lần lượt tại \[P\]và\[Q\]. Biết \[MP\]cắt \[NQ\]tại\[I\]. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
\[I;A;C\;\].
\[I;C;D\].
\[I;A;B\;\].
\[I;B;D\;\].
Chọn D
![Chọn D Đồ thị hàm \[y = \cos x\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/8-1764085284.png)
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b.\cos a\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
Chọn C
A. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b.\cos a\).
B. \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
C. \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên công thức ở đáp án C sai
D. \(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là hình bình hành. Gọi đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BC\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AD\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BD\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(DC\).
Chọn D
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB{\rm{//CD}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d,S \in d,d{\rm{//}}AB{\rm{,}}CD\\\end{array}\) .
Với \(x \in \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right)\), mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến.
Hàm số\(y = \cot x\) nghịch biến.
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến.
Hàm số \(y = \tan x\) nghịch biến.
Chọn A
\(x \in \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{4} + 8\pi ;\frac{\pi }{4} + 8\pi } \right)\) nên ta chỉ cần xét trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
Nhận xét: Dùng MTCT
Nghiệm của phương trình\(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) có dạng \[x = - \frac{\pi }{m} + \frac{{k\pi }}{n}\], với \(k \in \mathbb{Z}\) và \(m\), \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó \(m - n\) bằng
\(3\).
\( - 5\).
\( - 3\).
\(5\).
Chọn D
Phương trình: \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 6,n = 1\).
Suy ra \(m - n = 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3\). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\). Biểu thức \(8M + m\) bằng
45.
47.
46.
48.
Chọn C
\(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3 = 1 - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 3 = - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 4\).
Đặt : \(t = \sin x\). Khi đó \(x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Do đó GTNN và GTLN của hàm số đã cho bằng GTNN, GTLN của hàm số \(f\left( t \right) = - 2{t^2} + 3t + 4\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Ta có BBT trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)của hàm số \(f\left( t \right) = - 2{t^2} + 3t + 4\).
Suy ra \(M = \frac{{41}}{8},m = 5\), do đó \(8M + m = 8.\frac{{41}}{8} + 5 = 46\).
Hãy chọn phương án đúng?
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với ít nhất 1 trong hai đường thẳng đó.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
Chọn C
A. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.
Mệnh đề sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đã cho hoặc có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó.
B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.
Mệnh đề sai vì ba giao tuyến song song hoặc đồng qui.
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với ít nhất 1 trong hai đường thẳng đó.
Mệnh đề đúng vì nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đã cho hoặc có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó.
D. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
Mệnh đề sai vì ba giao tuyến song song hoặc đồng qui.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SA\), \(N\) là điểm thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(NC = 4NS\), \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(SG\) với mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\). Biết rằng \(\frac{{SI}}{{SG}} = \frac{a}{b}\) trong đó \(a,b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b\).
12.
11.
13.
10.
Chọn B
Ta có hình vẽ, với Q là trung điểm SC. Hạ GR song song với BH.
Suy ra H là trọng tâm tam giác SMQ. Khi đó \(\frac{{SI}}{{SG}} = \frac{{SH}}{{SR}} = \frac{{\frac{2}{6}SE}}{{\frac{8}{9}SE}} = \frac{3}{8} \Rightarrow a = 3,b = 8\).
Do đó \(a + b = 11.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\sin 2x = m - 2\) có nghiệm?
3
2
4
1
Chọn A
Phương trình \(\sin 2x = m - 2\) có nghiệm khi \( - 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2,m\in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).
Có 3 giá trị cần tìm.
Tìm tập xác định của các hàm số
1) \(\,y = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}\)
2) \(y = \tan 2x + 4\cos x + 3\).
Hàm số \(\,y = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}\) xác định \( \Leftrightarrow \sin x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne k\pi \,(k \in \mathbb{Z})\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
2/
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \cos 2x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Giải phương trình \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0\).
\(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành.
a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
c)M là 1 điểm bất kỳ trên SD, tìm giao điểm của đường thẳng BM với (SAC).
a)Xét hai mp phân biệt \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)có
+ S là một điểm chung.
+ Trong mp (ABCD) : AC cắt BD tại I, dễ thấy I là điểm chung thứ 2.
Vậy \(\left( {SAC} \right)\) \( \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)
b) Xét hai mp phân biệt \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có
+ S là một điểm chung.
+ AD//BC, \(AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\)
Vậy \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường thẳng qua S và song song với AD ( hoặc //BC).
c)Theo a) \(\left( {SAC} \right)\) \( \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)
Trong mp (SBD) : BM cắt SI tại K
Dễ thấy K là giao điểm của BM với (SAC)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số\(y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2\).
Biến đổi \(y\,\, = \,1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2 = - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3\).
Đặt \(t\, = \,\sin x\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)Ta được hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\).
Lập bảng biến thiên của hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\) trên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Kết luận \(Maxy = 4\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(Min\,y = 0\) khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC,CD,SA\). Hãy tìm điểm \(I\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với đường thẳng \(SO\). Từ đó hãy tính tỷ lệ \(\frac{{SI}}{{IO}}\).
Trong \(\left( {ABCD} \right),MN \cap AC = E\). Suy ra \(E \in \left( {SAC} \right)\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\), \(SO \cap PE = I\). Do đó \(I \in SO\) và \(I \in \left( {MNP} \right)\). Vậy \(I = SO \cap \left( {MNP} \right)\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(OK\parallel SA,K \in PE\). Suy ra \(\frac{{OK}}{{SP}} = \frac{{OI}}{{IS}}\) (1).
Mặt khác \(OK\parallel AP\) nên \(\frac{{OK}}{{AP}} = \frac{{EO}}{{EA}} = \frac{1}{3}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{OI}}{{SI}} = \frac{1}{3}\) (do \(PA = PS\)) \( \Rightarrow \frac{{SI}}{{IO}} = 3\). KL.
