Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Ngô Sĩ Liên (Bắc Giang) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn D

Chu kỳ của hàm số \(y = \sin \omega x\) là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\), suy ra chu kỳ của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\) là  \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \).

Chọn D

A. Hàm số \(y = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\) .

TXĐ:  + \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.

           + Xét \(f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) - {\cos ^2}\left( { - x} \right) = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x = f\left( x \right)\). Hàm số chẵn.

B. Hàm số \(y = \sin 2x\) là hàm số lẻ.

TXĐ:  + \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.

           + Xét \(f\left( { - x} \right) = \sin 2\left( { - x} \right) =  - \sin 2x =  - f\left( x \right)\). Hàm số lẻ.

C. Hàm số \(y = \cot 2x\) là hàm số lẻ.

TXĐ:  + \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là tập đối xứng.

           + Xét \(f\left( { - x} \right) = \cot 2\left( { - x} \right) =  - \cot 2x =  - f\left( x \right)\). Hàm số lẻ.

D. Hàm số \(y = \tan x\)+2023 là hàm số chẵn.

TXĐ:  + \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là tập đối xứng.

          + Xét \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + 2023 =  - \tan x + 2023 \ne f\left( x \right)\).

\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + 2023 =  - \tan x + 2023 \ne  - f\left( x \right)\).Hàm số không chẵn, không lẻ.

Chọn C

A. \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)                 

B. \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi .\)

C. \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \)  nên C sai.                            

D. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)

Chọn C

Từ hình vẽ

\(\sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\sin \frac{\pi }{2} = 1 \Rightarrow y = \sin x \in \left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right]\).

Chọn B

Từ hình vẽ ta kết luận

Chọn D

Đồ thị hàm \[y = \cos x\].

Nhận xét: Thay toạ độ các điểm có toạ độ \(\left( { - \pi ; - 1} \right),\left( {0;1} \right),\left( {\pi ; - 1} \right)\) hàm số nào thoả mãn thì đó là hàm số cần tìm.

Chọn D

Chọn C

A. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b.\cos a\).                 

B. \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).

C. \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên công thức ở đáp án C sai                                                          

D. \(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).

Chọn D

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB{\rm{//CD}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d,S \in d,d{\rm{//}}AB{\rm{,}}CD\\\end{array}\) .

Chọn A

\(x \in \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{4} + 8\pi ;\frac{\pi }{4} + 8\pi } \right)\) nên ta chỉ cần xét trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).

Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).

Nhận xét: Dùng MTCT

Chọn D

Phương trình: \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 6,n = 1\).

Suy ra \(m - n = 5\).

Chọn C

\(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3 = 1 - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 3 =  - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 4\).

Đặt : \(t = \sin x\). Khi đó \(x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

Do đó GTNN và GTLN của hàm số đã cho bằng GTNN, GTLN của hàm số \(f\left( t \right) =  - 2{t^2} + 3t + 4\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

Ta có BBT trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)của hàm số \(f\left( t \right) =  - 2{t^2} + 3t + 4\).

Suy ra \(M = \frac{{41}}{8},m = 5\), do đó \(8M + m = 8.\frac{{41}}{8} + 5 = 46\).

Chọn C

A. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.

     Mệnh đề sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đã cho hoặc có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó.

B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.

     Mệnh đề sai vì ba giao tuyến song song hoặc đồng qui.

C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với ít nhất 1 trong hai đường thẳng đó.

     Mệnh đề đúng vì nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đã cho hoặc có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó.

D. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đôi một song song.

Mệnh đề sai vì ba giao tuyến song song hoặc đồng qui.

Chọn B

Ta có hình vẽ, với Q là trung điểm SC. Hạ GR song song với BH.

Suy ra H là trọng tâm tam giác SMQ. Khi đó \(\frac{{SI}}{{SG}} = \frac{{SH}}{{SR}} = \frac{{\frac{2}{6}SE}}{{\frac{8}{9}SE}} = \frac{3}{8} \Rightarrow a = 3,b = 8\).

Do đó \(a + b = 11.\)

Chọn A

Phương trình \(\sin 2x = m - 2\)  có nghiệm khi \( - 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2,m\in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Có 3 giá trị cần tìm.

Hàm số \(\,y = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}\) xác định \( \Leftrightarrow \sin x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne k\pi \,(k \in \mathbb{Z})\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

2/

\(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

a)Xét hai mp phân biệt \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)có

+ S là một điểm chung.

+ Trong mp (ABCD) : AC cắt BD tại I, dễ thấy I là điểm chung thứ 2.

Vậy \(\left( {SAC} \right)\)  \( \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)

b) Xét hai mp phân biệt \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có

+ S là một điểm chung.

    + AD//BC, \(AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\)

  Vậy \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường thẳng qua S và song song với AD ( hoặc //BC).

c)Theo a) \(\left( {SAC} \right)\) \( \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)

Trong mp (SBD) : BM cắt SI tại K

Dễ thấy K là giao điểm của BM với  (SAC)

Biến đổi \(y\,\, = \,1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2 =  - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3\).

Đặt \(t\, = \,\sin x\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)Ta được hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y\,\, = \, - {t^2} + 2t + 3\) trên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Kết luận \(Maxy = 4\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

\(Min\,y = 0\) khi \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

Trong \(\left( {ABCD} \right),MN \cap AC = E\). Suy ra \(E \in \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\), \(SO \cap PE = I\). Do đó \(I \in SO\) và \(I \in \left( {MNP} \right)\). Vậy \(I = SO \cap \left( {MNP} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(OK\parallel SA,K \in PE\). Suy ra \(\frac{{OK}}{{SP}} = \frac{{OI}}{{IS}}\) (1).

Mặt khác \(OK\parallel AP\) nên \(\frac{{OK}}{{AP}} = \frac{{EO}}{{EA}} = \frac{1}{3}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{OI}}{{SI}} = \frac{1}{3}\) (do \(PA = PS\)) \( \Rightarrow \frac{{SI}}{{IO}} = 3\). KL.