Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Đinh Tiên Hoàng (Ninh Bình) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

\[250^\circ  = \frac{{250.\pi }}{{180}} = \frac{{25\pi }}{{18}}\](rad)

Chọn A

Mệnh đề A sai vì \(\sin (\pi  + \alpha ) =  - \sin \alpha .\)

Chọn C

Độ dài cung tròn \(l = R\alpha  = 6.\frac{\pi }{8} = \frac{{3\pi }}{4}cm\)

Chọn D

\(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = 60^\circ  + k360^\circ \\\alpha  = 120^\circ  + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên ta chọn \(\alpha  = 120^\circ .\)

Chọn B

\(\sin 4a = 2\sin 2a.\cos 2a\)

Chọn D

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\)

Chọn A

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\)

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\).

Chọn B

\[ - 1 \le \cos (2023x - \frac{\pi }{3}) \le 1 \Rightarrow  - 5 \le 5\cos (2023x - \frac{\pi }{3}) \le 5 \Rightarrow  - 5 \le y \le 5\].

Vậy tập giá trị của hàm số là \[\left[ { - 5;5} \right]\].

Chọn A

Điều kiện: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,,k \in \mathbb{Z}\].

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B

Hàm \(y = \sin 4x\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\).

Hàm \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

Hàm \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Chọn D

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Tập nghiệm \(S = \left\{ {\alpha  + k2\pi ;\pi  - \alpha  + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Chọn C

Phương trình \(\cos 2x = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1\).

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm.

Chọn B

\(\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn B

\[h\left( t \right) = 5 \Leftrightarrow 5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 5 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{5}t = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy 2 lần sóng đạt đỉnh cách nhau khoảng thời gian là \[\left( {\frac{5}{2} + 10.1} \right) - \left( {\frac{5}{2} + 10.0} \right) = 10\] giây.

Chọn A

\({u_{10}} = \frac{2}{{10 + 1}} = \frac{2}{{11}}\).

Chọn D

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\], có \[{u_2} - {u_1} = \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^1}}} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{1}{n}\], có \[{u_2} - {u_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\], có \[{u_2} - {u_1} = 1 - \frac{6}{4} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\], có

 \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2 - \frac{3}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( {2 - \frac{3}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{n + 1}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{3}{{(n + 1)(n + 2)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]

Vậy dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] tăng.

Chọn B

\({u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\).

\({u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}\).

Chọn A

\({u_4} = 9 \Leftrightarrow {u_1} + 3d = 9 \Leftrightarrow 3 + 3d = 9 \Leftrightarrow d = 2\).

Chọn D

\({u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 6 \Leftrightarrow {u_1} + 2.( - 2) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 10\).

\({u_{10}} = {u_1} + 9d = 10 + 9.( - 2) =  - 8\).

Chọn C

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 48\\{u_{11}} = 83\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 48\\{u_1} + 10d = 83\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13\\d = 7\end{array} \right.\).

Chọn A

\({u_3} = 8 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 8 \Leftrightarrow {u_1} + 2.( - 3) = 8 \Leftrightarrow {u_1} = 14\).

\({S_6} = 6{u_1} + \frac{{6.5}}{2}.d = 6.14 + \frac{{6.5}}{2}.( - 3) = 39.\)

Chọn C

Dãy đáp án A có \(\frac{{ - 8}}{4} \ne \frac{{ - 16}}{{ - 8}} \Rightarrow \)Không là cấp số nhân.

Dãy đáp án B có \(\frac{{22}}{2} \ne \frac{{222}}{{22}} \Rightarrow \)Không là cấp số nhân.

Dãy đáp án C có \(\frac{6}{3} = \frac{{12}}{6} = \frac{{24}}{{12}} = 2 \Rightarrow \)Dãy này là cấp số nhân.

Chọn A

Công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5\).

Chọn B

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} =  - 3\\{x_4} =  - 27\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}.q =  - 3\\{x_1}.{q^3} =  - 27\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x_1}.{q^3}}}{{{x_1}.q}} = \frac{{ - 27}}{{ - 3}} \Rightarrow {q^2} = 9 \Rightarrow q =  \pm 3\)

\(q = 3 \Rightarrow {x_1} =  - 1\).

\(q =  - 3 \Rightarrow {x_1} = 1\)

Chọn C

Số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) sau 6 tháng gửi:

\(100.{\left( {1 + \frac{{0,4}}{{100}}} \right)^6} \approx 102424128\) đồng.

Chọn C

C sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì không thể xác định duy nhất một mặt phẳng.

Chọn C

Chọn B

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là \(SO\) với \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\).

Chọn A

Chọn D

Chọn B

Do \(IJ\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(IJ{\rm{ // }}AC\).

Chọn D

Ta có \(M \in (\alpha ) \cap (SCD)\).

Hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((SCD)\) lần lượt chứa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song.

Suy ra \((\alpha ) \cap (SCD) = l\) với \(l\) đi qua \(M\) và \(l{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}CD\).

Trong mặt phẳng \((SCD):l \cap SD = N\).

\( \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAD) = AN\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) trùng với \(AN\) với \[N \in SD:MN//AB\].

Chọn B

Khi \[d\,//\,\left( \alpha  \right)\] thì vẫn tồn tại đường thẳng \[b \subset \left( \alpha  \right)\] sao cho \[b\] và \[d\] không song song.

Chọn D

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\).

Vậy mệnh đề D sai.

Chọn C

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(IJ\) và song song với \(AB\)

Suy ra \(\left( P \right)\) cắt \(BD,BC\) lần lượt tại \(M,N\) sao cho

 \(IN{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}JM\).

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là tứ giác \(IJMN\).

Nhận xét: tứ giác \(IJMN\) là hình thang cân có 2 đáy \(IN{\rm{ //  }}JM\) và

\(IN = \frac{1}{2}AB = 2;{\rm{ }}JM = \frac{1}{3}AB = \frac{4}{3}\).

\(IJ = MN = \sqrt {B{M^2} + B{N^2} - 2BM.BN.\cos {{60}^0}}  = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}\).

Ta có \[JH\] là đường cao của hình thang cân \(IJMN \Rightarrow JH = \sqrt {I{J^2} - I{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {51} }}{3}\)

Diện tích hình thang cân \(IJMN\): \({S_{IJMN}} = \frac{1}{2}\left( {JM + IN} \right)JH = \frac{{5\sqrt {51} }}{9}\)

\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).

\[\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{7\sqrt 2 }}{{10}}\].

a)\[2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = cos\frac{\pi }{3}\]

   \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

b) Tìm số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {\pi ;22\pi } \right]\] của phương trình:

\[\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{{3\pi }}{4} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Tìm  được số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {\pi ;22\pi } \right]\]là:  42 nghiệm.

a) Trong mặt phẳng \((ABCD)\): gọi \[J = CM \cap BD\].

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSC} \right)\) và \(\left( {BDS} \right)\) là \[SJ\].

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(E\) là giao điểm của \(MN\) và \(AC\); \(I\) là giao điểm của \(EQ\) và \(SO.\)

Do \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,BD\) nên giao tuyến \(\left( {MNQ} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(I\) và song song với \(BD\). \(R,\) \(P\) lần lượt là các giao điểm của \(d\) với \(SB\) và \(SD.\)

Gọi \(K\) trên cạnh \(SO\) sao cho \(\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{1}{3}.\)

Khi đó \(KQ\,\,{\rm{//}}\,\,OC \Rightarrow KQ\,\,{\rm{//}}\,\,EO.\)

Ta có \(\frac{{KQ}}{{OC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{KQ}}{{OE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IQ}}{{IE}} = \frac{{KI}}{{I{\rm{O}}}} = \frac{2}{3}.\)

Ngoài ra \(\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{PR}}{{BD}} = \frac{3}{5};\frac{{MN}}{{BD}} = \frac{1}{2}.\)

Gọi \({h_1}\), \({h_2}\) lần lượt là chiều cao của \(\Delta PQR\) kẻ từ \(Q\) và hình thang \(MNPR.\) Khi đó \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = \frac{{IQ}}{{IE}} = \frac{2}{3}.\)

Do đó \(\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{MNPR}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_1}.PR}}{{\frac{1}{2}{h_2}.\left( {MN + PR} \right)}} = \frac{4}{{11}} \Rightarrow t = \frac{4}{{15}}.\)

Gọi lương tháng thứ \(n\) của người đó là \({A_n}\). Ta có\({A_1} = 6\).

Lương tháng sau hơn tháng trước \(0,2\) triệu nên ta có\(\left\{ {{A_n}} \right\}\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({A_1} = 6\) và công sai \(d = 0,2\).

Số hạng tổng quát của dãy số là \({A_n} = {A_1} + \left( {n - 1} \right)d\,\,\,\,\left( {n > 1} \right)\).

Vậy tới tháng thứ 7, người đó nhận được lương là \({A_7} = {A_1} + 6d = 6 + 6.0,2 = 7,2\).