Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Dân tộc nội trú (Cà Mau) năm 2023-2024 (có đáp án)
33 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Biết \(\cot x = \frac{1}{2}.\) Giá trị của biểu thức \(\frac{{4\sin x + 5\cos x}}{{2\sin x - 3\cos x}}\) bằng
117
29
13
59
Chọn C
Ta có:
\(\frac{{4\sin x + 5\cos x}}{{2\sin x - 3\cos x}} = \frac{{4\frac{{\sin x}}{{\sin x}} + 5\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{2\frac{{\sin x}}{{\sin x}} - 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{4 + 5\cot x}}{{2 - 3\cot x}} = \frac{{4 + 5.\frac{1}{2}}}{{2 - 3.\frac{1}{2}}} = \frac{{13}}{1} = 13.\)
Tìm tập giá trị của hàm số\(y = 3\sin 2x - 1.\)
-4;2.
-3;1 .
-2;2
-4;-2.
Chọn A
Ta có \( - 4 \le 3\sin 2x - 1 \le 2\)
Tìm nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k.2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k.2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k.2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k.\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Chọn B
Ta có \(1 + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k.2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Tính giá trị \(\tan \frac{\pi }{{12}}.\)
\(\sqrt 3 + 1.\)
\(2 - \sqrt 3 .\)
\(\sqrt 3 - 1.\)
\(2 + \sqrt 3 .\)
Chọn D
Áp dụng công thức, ta có :
\(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan (\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{{{(\sqrt 3 - 1)}^2}}}{{3 - 1}} = 2 - \sqrt 3 .\)
Cho \[\cos x = - \frac{5}{{13}}({90^0} < x < {180^0})\]. Tính giá trị lượng giác của \(\sin x\)
sin x = -1213.
\[\sin x = - \frac{{\sqrt {194} }}{{13}}.\]
\[\sin x = \frac{{\sqrt {194} }}{{13}}.\]
\[\sin x = \frac{{12}}{{13}}.\]
Chọn D
Ta có :
\[\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {( - \frac{5}{{13}})^2} = 1 \Leftrightarrow si{n^2}x = \frac{{144}}{{169}}\\ \Rightarrow sinx = \frac{{12}}{{13}}({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow sinx > 0).\end{array}\]
Một đường tròn có bán kình \(15m\). Tìm độ dài \(l\) của cung trên đường tròn lượng giác có số đo \(\alpha = {36^0}\)
\(l = 5\pi \)
\(l = 15\pi \).
\(l = \pi \).
\(l = 3\pi \).
Chọn D
Ta có \[l = R.\alpha = 15.\frac{{36}}{{180}}\pi = 15.\frac{\pi }{5} = 3\pi .\]
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin 2x\)
\(y = \cot 5x\).
\(y = \tan 4x\).
\(y = \cos 3x\).
Chọn D
Giả sử vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right).\)Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 tới 6 giây, vật đi qua ví trí cân bằng bao nhiêu lần?
\(5\)lần.
\(8\)lần.
\(7\)lần.
\(6\)lần.
Chọn B
Vật đi qua vị trí cân bằng khi và chỉ khi
\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k.\pi \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5}(k \in \mathbb{Z}).\)
Vì xét trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây nên ta có
\(0 \le t \le 6 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{30}}{\pi } - 2 \approx 7,55.\)
Vì \(k\)là số nguyên nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}.\) Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 8 lần.
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau \(n\) tháng được cho bởi công thức \({A_n} = 100{(1 + \frac{{0,06}}{{12}})^n}.\)Tìm số tiền ông An nhận được sau một năm.
\[106,17\]triệu đồng.
\[104,591\]triệu đồng.
\[103\]triệu đồng.
\[112,716\]triệu đồng.
Chọn A
Số tiền ôn An nhận được sau 1 năm la : \({A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} \simeq 106,17\) triệu đồng.
Tính giá trị biểu thức \(A = \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\).
\(\frac{{\sqrt 3 + 2}}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 - 2}}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 - 2}}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 3 + 2}}{4}.\)
Chọn C
Ta có:
\[\begin{array}{l}A = \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \left( {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{ - 2\pi }}{{12}} + \cos \frac{{12\pi }}{{12}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{6} + \cos \pi } \right) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right).\end{array}\]
Biết \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\). Giá trị \[\cos 2\alpha \] bằng
\(\frac{8}{7}.\)
\(\frac{7}{8}.\)
\( - \frac{7}{8}.\)
\( - \frac{8}{7}.\)
Chọn B
Ta có \[\cos 2\alpha = 1 - 2si{n^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{1}{{16}} = \frac{7}{8}.\]
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn\(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
\(3.\)
\(4.\)
\(2.\)
\(1.\)
Chọn A
\(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k.2\pi \)
Ta thấy \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k.2\pi \)
\(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}.\) Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi công thức tổng quát \({u_n} = 3 + 4{n^2},n \in {N^*}\). Khi đó \({u_5}\) bằng
\(503\).
\(23.\)
\( - 97.\)
\(103.\)
Chọn D
Ta có: \({u_n} = 3 + 4{n^2},n \in {N^*}\)
\( \Rightarrow {u_5} = 3 + {4.5^2} = 103.\)
Tìm tập xác định của hàm số\(y = \frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
Tập xác định của hàm số là \(1 + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k.2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\({u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
Chọn C
Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 2 - 2 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 2}}{{n + 1}} - \frac{3}{{n + 1}} = \frac{{2(n + 1)}}{{n + 1}} - \frac{3}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}} > 0\)
Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn của góc có số đo \(\frac{\pi }{2}\) là
\(A'\).
\(B'\).
\(B\).
\(A\).
Chọn C
Nghiệm của phương trình \(\tan 3x = \tan x\) là
\(x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}.\)
Chọn A
Ta có: \(\tan 3x = \tan x \Leftrightarrow 3x = x + k.\pi \Leftrightarrow 2x = k.\pi \Leftrightarrow x = k.\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 2,{u_2} = 8\). Công sai của cấp số cộng bằng
\(d = 10\)
\(d = 6.\)
\(d = 4.\)
\(d = 16.\)
Chọn B
Ta có : \({u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 8 = 2 + d \Leftrightarrow d = 6.\)
Cho cấp số công \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5{u_5} = 28\\{S_4} = 14\end{array} \right.\). Số hạng đầu \({u_1}\)của cấp số cộng bằng
\({u_1} = 2.\)
\({u_1} = 6.\)
\({u_1} = 8.\)
\({u_1} = - 3.\)
Chọn C
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5({u_1} + 4d) = 28\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5{u_1} + 20d = 28\\\frac{4}{2}(2{u_1} + 3d) = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{u_1} + 20d = 28\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3.\end{array} \right.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(q = 2\) và \({u_1} = - 3\). Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân đó là
\({S_5} = - 486.\)
\({S_5} = - 96.\)
\({S_5} = 162.\)
\({S_5} = - 93.\)
Chọn D
Ta có: \({S_5} = {u_1}.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = ( - 3).\frac{{1 - {2^5}}}{{1 - 2}} = - 93.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và công bội \(q = - 2\). Số hạng thứ \(7\) của cấp số nhân đó là
\(192.\)
\( - 384.\)
\( - 192.\)
\(384.\)
Chọn A
Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có: \({u_7} = {u_1}.{q^{7 - 1}} = 3.{\left( { - 2} \right)^6} = 192\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 81\) và \({u_4} = 3\). Công bội \(q\) của cấp số nhân là
\( - \frac{1}{3}.\)
\( - 3.\)
\(3.\)
\(\frac{1}{3}.\)
Chọn D
Ta có: \({u_4} = {u_1}.{q^3} \Leftrightarrow 3 = 81.{q^3} \Leftrightarrow {q^3} = \frac{1}{{27}} = {(\frac{1}{3})^3} \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3,d = 3\). Tổng 8 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
\(108\)
\(27\)
\(105\)
\(111.\)
Chọn A
Ta có: \({S_8} = \frac{8}{2}(2{u_1} + 7d) = 4(2.3 + 7.3) = 108.\)
Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm công việc công ty?
\(229,73\) triệu đồng.
\(208,373\) triệu đồng.
\(218,791\) triệu đồng.
\(241,217\) triệu đồng.
Chọn A
Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n. Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân có \({u_1} = 180\) và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05.\)Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là \({u_6} = {u_1}.{q^5} = 180.{(1,05)^5} \approx 229,73\)(triệu đồng).
Khảo sát học sinh xem ti vi trong 1 ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau 
Giá trị đại diện nhóm \(\left[ {60;80} \right)\)là
\(40.\)
\(70.\)
\(60.\)
\(30.\)
Chọn D
Ta có nhóm đại diện \(\frac{{60 + 80}}{2} = 70.\)
Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận bóng đá giải ngoại Anh được cho trong bảng thống kê sau:
Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trên trận đấu này.
\(\overline x = 7,48.\)
\(\overline x = 7,5.\)
\(\overline x = 7,15.\)
\(\overline x = 7,05.\)
Chọn A
Ta có \(\overline x = \frac{{3.2 + 5.5 + 7.6 + 9.9 + 11.3}}{{2 + 5 + 6 + 9 + 3}} = 7,48.\)
Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận bóng đá giải ngoại Anh được cho trong bảng thống kê sau: 
Tìm trung vị của mẫu số liệu .
\({M_e} \simeq 7,38.\)
\({M_e} \simeq 7,83.\)
\({M_e} \simeq 8,67.\)
\({M_e} \simeq 7,0.\)
Chọn B
Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25.\)
Nhóm chứa trung vị \(\left[ {6;8} \right).\)
Trung vị \({M_e} = 6 + \frac{{\frac{{25}}{2} - (2 + 5)}}{6}.(8 - 6) \approx 7,83.\)
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả như sau: 
Tứ phân vị của thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_3} = 13.\)
\({Q_3} = 14.\)
\({Q_3} = 15.\)
\({Q_3} = 12.\)
Chọn B
Cỡ mẫu \(n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20.\)
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}.\)Do đó \({x_{15}},{x_{16}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {12;16} \right)\)nên nhóm này chứa \({Q_3}.\)
Do đó : \(p = 4,{a_4} = 12,{m_4} = 4,{m_1} + {m_2} + {m_2} = 2 + 4 + 7 = 13,{a_5} - {a_4} = 4.\)
Ta có: \({Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 13}}{4}.4 = 14.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Cho góc \(\alpha \)thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{4}{5}.\)Tính giá trị \(sin2\alpha .\)
Ta có : \(si{n^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow si{n^2}\alpha + {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0)\)
Ta có : \(sin2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right).\frac{4}{5} = \frac{{ - 24}}{{25}}.\)
Giải phương trình lượng giác sau: \(\sin 2x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta có : \(\sin 2x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \\2x = \pi - \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}).\)
Số hạng thứ 5 của một cấp số cộng \(({u_n})\) bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32.
a) Tìm số hạng \({u_1}\) và công sai \(d.\)
b) Tính tổng của 60 số hạng đầu của cấp số cộng đó.
a) Gọi \({u_1}\) là số hạng đầu và \(d\) là công sai của cấp số cộng đã cho. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = {u_1} + 4d = 18\\{u_{12}} = {u_1} + 11d = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\{u_1} + 11d = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 10\\d = 2.\end{array} \right.\)
b) Vậy tổng của 60 số hạng đầu tiên bằng
\({S_{60}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = \frac{{60}}{2}\left[ {2.10 + 59.2} \right] = 4{\rm{ }}140.\)
Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 4 bằng 24. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân này.
Gọi \({u_1}\) là số hạng đầu và \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = {u_1}.{q^5} = 96\\{u_4} = {u_1}.{q^3} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow {q^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = - 2.\end{array} \right.\)
Với \(q = 2 \Rightarrow {u_1} = 3 \Rightarrow {u_{20}} = {u_1}{.2^{19}} = {3.2^{19}} = 1{\rm{ }}5{\rm{72 864}}.\)
Với \(q = - 2 \Rightarrow {u_1} = - 3\)(Loại vì \({u_1} > 0\) theo giả thiết)
Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con muỗi cái trong phòng thí nghiệm cho kết quả như sau:
a) Tìm số trung bình của mẫu ghép nhóm trên.
b) Tìm số trung vị của mẫu ghép nhóm trên.
a) Ta có \(\overline x = \frac{{6340}}{{100}} = 63,4.\)
b) Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100.\)
Nhóm chứa trung vị \(\left[ {60;80} \right)\), ta có:
\(p = 4,{a_4} = 60;{m_4} = 31;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 5 + 12 + 23 = 40;{a_5} - {a_4} = 80 - 60 = 20.\)
Trung vị \({M_e} = 60 + \frac{{\frac{{100}}{2} - (5 + 12 + 13)}}{{31}}.(80 - 60) \simeq 66,45.\)
