Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\] là \[\frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}.\]

Chọn D

Thống kê số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các học sinh lớp C như sau

Cỡ của mẫu là \(n = 5 + 18 + 13 + 7 = 43\)

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{43}}\)là số nguyện vọng đăng kí vào đại học của học sinh lớp C. Giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là \({x_{22}}\). Do đó giá rị này \({x_{22}}\)thuộc nhóm \(\left[ {3,5;6,5} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó \(p = 2;{a_2} = 3,5;{m_2} = 18;{m_1} = 5;{a_3} - {a_2} = 6,5 - 3,5 = 3\)

Ta có \({M_e} = 3,5 + \frac{{\frac{{43}}{2} - 5}}{{18}}.3 = 6,25\)

Chọn D

Vì \(1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} \Rightarrow \frac{{ - 3\pi }}{{16}} = {\left( {\frac{{ - 3\pi }}{{16}}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {\left( {\frac{{ - 135}}{4}} \right)^0} =  - {33^0}45'\)

Chọn B

Ta có \(\tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{7 + 4}}{{1 - 7.4}} =  - \frac{{11}}{{27}}\)

Chọn A

Đặt t=sin x, điều kiện cho \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó \(y = {t^2} - 4t - 5\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) có \(a = 1 > 0\); \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow f(2) =  - 9\)

Bảng biến thiên

Chọn A

Ta có \({u_1} = 0 = \frac{{1 - 1}}{1}\); \({u_2} = \frac{1}{2} = \frac{{2 - 1}}{2}\);\({u_3} = \frac{2}{3} = \frac{{3 - 1}}{3}\);…;\[{u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\]

Chọn C

Phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3  = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{6} + \frac{{k\pi }}{1};\)

Và \[\frac{k}{1}\]là phân số tối giản nên \(m = 1,n = 6\)

Khi đó, giá trị của \(n - m = 6 - 1 = 5\)

Chọn C

Biểu thức \(A = \sin \left( {\pi  + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi  - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)

Biểu thức \( =  - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x = 0\)

Chọn A

\(\sin x.\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\cos x - \sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)

Chọn A

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)

Do \(x \in \left[ {\pi ;5\pi } \right]\)hay \[\pi  \le \frac{\pi }{4} + k2\pi  \le 5\pi ,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 1 \le \frac{1}{4} + k2 \le 5,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{{19}}{8},\;k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.\]

Chọn A

Phương trình lượng giác \(\cos x - m = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \cos x = m\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <- 1\end{array} \right.\)

Chọn A

Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \]

Do đó hàm số \[y = \sin \left( {3x + 5} \right)\] tuần hoàn với chu kì \[T = \frac{{2\pi }}{3}.\] vì \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow x \pm \frac{{2\pi }}{3} \in \mathbb{R}\)

Và \({m_1} + {m_2} = 7 + 14 = 21\)\(f\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sin \left[ {3\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 5} \right] = \sin \left( {3x + 5} \right) = f(x)\) và \[T = \frac{{2\pi }}{3} > 0.\] bé nhất

Chọn B

Ta có  \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\) mà

\[\sin a = \frac{5}{{13}};\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right) \Rightarrow \cos a =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}  =  - \sqrt {1 - \frac{{25}}{{169}}}  =  - \frac{{12}}{{13}}\]

\[\,\cos b = \frac{3}{5}\,\,;\left( {0 < b < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin b = \sqrt {1 - {{\cos }^2}b}  = \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}}  = \frac{4}{5}\]

Do đó \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = \frac{5}{{13}}.\frac{3}{5} - \frac{{12}}{{13}}.\frac{4}{5} =  - \frac{{33}}{{65}}\)

Chọn B

\(\cos 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - 1 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{5}{8}\)

\(\sin a =  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}a}  =  \pm \sqrt {1 - \frac{5}{8}}  =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

Do đó giá trị của \[\left| {\sin 2a\cos a} \right| = \left| {2\sin a.{{\cos }^2}a} \right| = \left| {2.\left( { \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}} \right).\frac{5}{8}} \right| = \frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}\].

Chọn C

Để phương trình \(\sin 2x = 7m + 3\) có nghiệm \(x \in \left[ {0\;;\;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{{7\pi }}{{12}} \Leftrightarrow 0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow  - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le  - \frac{2}{7}\)

Chọn C

\(2\cos \,x + \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn B

Xét \[{u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\]: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 2}} - {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} =  - 4.{\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\]do đó không là cấp số cộng

Xét \[{u_n} = 3n + 1.\]\[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 - 3n + 1 = 3\]là cấp số cộng

Chọn C

Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh thì chu vi đa giác đó là \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) với \({u_1};{u_2};...;{u_n}\)lần lượt là số đo các cạnh của đa giác \(\left( {0 < {u_1} < {u_2} < ... < {u_n} = 44{\kern 1pt} {\kern 1pt} cm} \right)\)

Suy ra \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}\) hay \(158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2}.n \Leftrightarrow 316 = \left( {{u_1} + 44} \right).n \Leftrightarrow n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}\)

Do \(n \in \mathbb{N}\) nên \({u_1} + 44\) là ước nguyên dương của \(316\) mà \(316 = {2^2}.79\)

Suy ra \({u_1} + 44 \in \left\{ {2;4;79;158;316} \right\}\)

Với \({u_1} + 44 = 2 \Leftrightarrow {u_1} =  - 42 < 0\)loại

Với \({u_1} + 44 = 4 \Leftrightarrow {u_1} =  - 40 < 0\)loại

Với \({u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{79}} = 4\)

Với \({u_1} + 44 = 158 \Leftrightarrow {u_1} = 114 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{114 + 44}} = 2\)loại do đa giác không có cạnh bằng 2

Với \({u_1} + 44 = 316 \Leftrightarrow {u_1} = 272 \Rightarrow n = 1\)loại do đa giác không có cạnh bằng 1

Vậy đa giác đã cho có 4 cạnh

Chọn C

Ta đổi độ sang rad có \[{30^0} = \frac{\pi }{6}\]

Áp dụng công thức tính độ dài của cung tròn \(l = R\alpha  = 15.\frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{2}\left( {cm} \right)\)

Chọn B

Tứ phân vị thứ nhất \(\left( {{Q_1}} \right)\)là giá trị ở đó \[25\% \]số liệu mẫu nhỏ hơn và \[75\% \] số liệu mẫu lớn hơn.

Là định nghĩa của tứ phân vị thứ nhất

Còn lại không thỏa mãn

Chọn B

Trong mỗi khoảng doanh thu, giá trị đại diện l trung bình cộng của hai giá trị hai đầu mút nên ta có bảng

Số ngày bán hàng là \(n = 20\)

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày trung bình là \(\overline x  = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\)

Chọn D

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa một là \[{\rm{[1}}0,5;20,5)\]. Ta có \(j = 2;{a_2} = 10,5,{m_2} = 10,{m_1} = 2,{m_3} = 6,h = 20,5 - 10,5 = 10\)

Do đó \({M_0} = 10,5 + \frac{{10 - 2}}{{\left( {10 - 2} \right) + \left( {10 - 6} \right)}}.10 = 17,2\)

Chọn A

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\\{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 2\left( {n - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right) = \frac{1}{2} + \left( {n + 2} \right)\left( {n - 1} \right)\)

Do đó \({u_{50}} = \frac{1}{2} + \left( {50 + 2} \right)\left( {50 - 1} \right) = 2548,5\)

Chọn C

Ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3 \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} =  - 3 = d\) do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 150\) và \(d =  - 3\)

Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.150 + 99.( - 3)} \right) = 150\)

Chọn D

Hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x - 1}}\)xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k2\pi \end{array} \right..\)

Chọn C

Ta có cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \[{u_n} = \frac{5}{{{2^n}}}\] nên \({u_1} = \frac{5}{2}\); công bộ \(q = \frac{1}{2}\)

Tổng của số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_3} = \frac{{\frac{5}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^3}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{35}}{8}\)

Chọn D

Ta có \[\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2\alpha  =  - \frac{3}{4}\]

Do \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha  < 2\pi \) nên \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) suy ra \(\cos \alpha  > 0;\)\(\sin \alpha  < 0;\)\[\tan \alpha  < 0;\]\(\cot \alpha  < 0.\)

Chọn D

 Hàm số \[y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}.\] không là hàm số lẻ

Hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{x + {x^2}}}.\]không là hàm số lẻ vì tập xác định không đối xứng qua điểm 0

Hàm số \[y = \frac{{\sin x}}{{1 - \sin x}}.\] không là hàm số lẻ

Hàm số \[y = \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}.\] là hàm số lẻ vì

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Có \(f( - x) = \frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - x} \right)}} =  - \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}} =  - f(x)\)

Chọn A

Để tính số tiền thưởng vào cuối năm thứ 10, ta cần tính số tiền thưởng của năm đầu tiên và sau đó tăng dần theo tỷ lệ 5% mỗi năm

Số tiền thưởng của năm đầu tiên là 180 triệu đồng

Số tiền thưởng của năm thứ hai là \(180 + 5\% *180 = 189\) triệu  đồng

 Số tiền thưởng của năm thứ ba là \(189 + 5\% *189 = 198,45\) triệu  đồng

…

Số tiền thưởng của năm thứ 10 là \(180 + 5\% *180*9 = 261\) triệu  đồng

Vậy số tiền thưởng gần nhất là 261 triệu đồng

Chọn A

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là \({M_1} = 100 + 10\%  = 110\)

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là \({M_2} = 110 + 110.10\%  = 121\)

Chọn D

Ta có \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = \frac{6}{5}\) và \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{\frac{3}{5}{2^n}}}{{\frac{3}{5}{2^{n - 1}}}} = 2\)

Chọn A

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = a - 2\)

Để dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] tăng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n\) hay \(a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\)

Tính \(cos\alpha \) .Ta có \[{\sin ^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\]

\( \Rightarrow cos\alpha  =  \pm \frac{1}{3}\) . Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow cos\alpha  =  - \frac{1}{3}\)

Ta có \(\sin \left( {\alpha- \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}\)=\( = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{ - 1}}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \,\frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}\)

Ta có  \[{u_1} = 700,\,\,d =  - 45\]            

Công thức truy hồi là \[{u_{n + 1}} = {u_n} - 45\].

Công thức tổng quát là \[{u_n} = {u_1} - 45(n - 1).\]

Sau 6 năm sử dụng giá còn lại của xe là

\[{u_7} = {u_1} + 6{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{700}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{6}}{\rm{.45}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{430}}\]triệu đồng.

Điều kiện: \(\) \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{tanx}} \ne \sqrt 3 \\c{\rm{osx}} \ne 0\end{array} \right.\) (*)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sin 2x - 2\cos x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (2\cos x + 1)(\sin x - 1) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.k \in \mathbb{Z}\)

Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) .

Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có \({u_1} = 100\,000\) và công bội \(q = 2.\) Du khách thua trong \(5\) lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là

\({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000\) đồng

Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 3200000\) đồng. Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là \(2.3200000 - 3200000 = 3200000\).

Ta có \(3200000 - 3100000 = 100000 > 0\) nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.