Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\] là
\[\frac{{{a_{i + 1}} - {a_i}}}{2}.\]
\[\frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}.\]
\[{a_i}.\]
\[\frac{{{a_i} + {a_{i - 1}}}}{2}.\]
Chọn B
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\] là \[\frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}.\]
Thống kê số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các học sinh lớp C như sau
Số nguyện vọng | 1-3 | 4-6 | 7-9 | 10-12 |
Số học sinh | 5 | 18 | 13 | 7 |
Trung vị của mẫu số liệu là
\[{M_e} = 5,9.\]
\[{M_e} = 6.\]
\[{M_e} = 6,3.\]
\[{M_e} = 6,25.\]
Chọn D
Thống kê số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các học sinh lớp C như sau
Số nguyện vọng | \(\left[ {1;3,5} \right)\) | \(\left[ {3,5;6,5} \right)\) | \(\left[ {6,5;8;5} \right)\) | \(\left[ {8,5;12;5} \right)\) |
Số học sinh | 5 | 18 | 13 | 7 |
Cỡ của mẫu là \(n = 5 + 18 + 13 + 7 = 43\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{43}}\)là số nguyện vọng đăng kí vào đại học của học sinh lớp C. Giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là \({x_{22}}\). Do đó giá rị này \({x_{22}}\)thuộc nhóm \(\left[ {3,5;6,5} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.
Do đó \(p = 2;{a_2} = 3,5;{m_2} = 18;{m_1} = 5;{a_3} - {a_2} = 6,5 - 3,5 = 3\)
Ta có \({M_e} = 3,5 + \frac{{\frac{{43}}{2} - 5}}{{18}}.3 = 6,25\)
Góc có số đo \[ - \frac{{3\pi }}{{16}}(rad)\] được đổi sang số đo độ là
\[ - {32^0}55'\]
\[ - {29^0}30'\]
\[{33^0}45'\]
\[ - {33^0}45'\]
Chọn D
Vì \(1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} \Rightarrow \frac{{ - 3\pi }}{{16}} = {\left( {\frac{{ - 3\pi }}{{16}}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {\left( {\frac{{ - 135}}{4}} \right)^0} = - {33^0}45'\)
Nếu \(\tan \left( {a + b} \right) = 7;tan\left( {a - b} \right) = 4\)thì giá trị của \(\tan 2a\)là
\[\frac{{ - 13}}{{27}}.\]
\[\frac{{ - 11}}{{27}}.\]
\[\frac{{11}}{{27}}.\]
\[0.\]
Chọn B
Ta có \(\tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{7 + 4}}{{1 - 7.4}} = - \frac{{11}}{{27}}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x - 5\) là
\( - 8\)
\( - 9\)
\( - 20\)
\(0\)
Chọn A
Đặt t=sin x, điều kiện cho \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Khi đó \(y = {t^2} - 4t - 5\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) có \(a = 1 > 0\); \(x = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow f(2) = - 9\)
Bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là – 8 khi \(t = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Cho dãy số có các số hạng đầu là \[0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};....\]. Số hạng tổng quát của dãy số này là
\[{u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\]
\[{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{{n + 1}}{n}.\]
\[{u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}.\]
Chọn A
Ta có \({u_1} = 0 = \frac{{1 - 1}}{1}\); \({u_2} = \frac{1}{2} = \frac{{2 - 1}}{2}\);\({u_3} = \frac{2}{3} = \frac{{3 - 1}}{3}\);…;\[{u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\]
Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) có dạng \(x = \frac{{ - \pi }}{n} + \frac{{k\pi }}{m},k \in \mathbb{Z},m,n \in {\mathbb{N}^*}\); \(\frac{k}{m}\) tối giản. Khi đó, giá trị của \(n - m\) là
\( - 3.\)
\( - 5.\)
\(5.\)
\(3.\)
Chọn C
Phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{6} + \frac{{k\pi }}{1};\)
Và \[\frac{k}{1}\]là phân số tối giản nên \(m = 1,n = 6\)
Khi đó, giá trị của \(n - m = 6 - 1 = 5\)
Biểu thức \(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\) được rút gọn là
\(A = 2\sin x.\)
\(A = - 2{\mathop{\rm cotx}\nolimits} .\)
\(A = 0\)
\(A = - 2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)
Chọn C
Biểu thức \(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)
Biểu thức \( = - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x = 0\)
Nghiệm của phương trình: \(\sin x.\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0\) là
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right..\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right..\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right..\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi .\)
Chọn A
\(\sin x.\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\cos x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)
Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\) là
2.
0.
3.
1.
Chọn A
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)
Do \(x \in \left[ {\pi ;5\pi } \right]\)hay \[\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi ,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 1 \le \frac{1}{4} + k2 \le 5,\;k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{{19}}{8},\;k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.\]
Phương trình lượng giác \(\cos x - m = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi
\(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right..\)
\(m > 1.\)
\( - 1 \le m \le 1.\)
\(m < - 1.\)
Chọn A
Phương trình lượng giác \(\cos x - m = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \cos x = m\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <- 1\end{array} \right.\)
Hàm số \[y = \sin \left( {3x + 5} \right)\]tuần hoàn với chu kì \[T\] là
\[T = \frac{{2\pi }}{3}.\]
\[T = \pi .\]
\[T = 2\pi .\]
\[T = \frac{\pi }{3}.\]
Chọn A
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \]
Do đó hàm số \[y = \sin \left( {3x + 5} \right)\] tuần hoàn với chu kì \[T = \frac{{2\pi }}{3}.\] vì \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow x \pm \frac{{2\pi }}{3} \in \mathbb{R}\)
Và \({m_1} + {m_2} = 7 + 14 = 21\)\(f\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sin \left[ {3\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 5} \right] = \sin \left( {3x + 5} \right) = f(x)\) và \[T = \frac{{2\pi }}{3} > 0.\] bé nhất
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (đơn vị tính là phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của nhân viên của một công ty
Thời gian(phút) | \[\left[ {{\rm{15}};20} \right)\] | \[\left[ {{\rm{20}};25} \right)\] | \[\left[ {{\rm{25}};30} \right)\] | \[\left[ {{\rm{3}}0;35} \right)\] | \[\left[ {{\rm{35}};40} \right)\] | \[\left[ {{\rm{40}};45} \right)\] | \[\left[ {{\rm{45}};50} \right)\] |
Số nhân viên | 7 | 14 | 25 | 37 | 21 | 14 | 10 |
Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\]và tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\] của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\[{Q_1} = \frac{{116}}{5};{Q_3} = \frac{{80}}{{21}}.\]
\[{Q_1} = \frac{{1360}}{{37}};{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}.\]
\[{Q_1} = \frac{{136}}{5};{Q_3} = \frac{{800}}{{12}}.\]
\[{Q_1} = \frac{{136}}{5};{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}.\]
Chọn D
Cỡ mẫu \(n = 128\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2}\); Do đó \({x_{32}},{x_{33}}\) thuộc nhóm \[\left[ {{\rm{25}};30} \right)\] nên nhóm này chứa \({Q_1}\)
Do đó \(p = 3\); \({a_3} = 25\); \({m_3} = 25\), \({m_1} + {m_2} = 21\); \({a_4} - {a_3} = 30 - 25 = 5\)
Do đó \({Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}}.5 = \frac{{136}}{5}\)
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2}\); Do đó \({x_{96}},{x_{97}}\) thuộc nhóm \[\left[ {{\rm{35}};40} \right)\] nên nhóm này chứa \({Q_3}\)
Do đó \(p = 5\); \({a_5} = 35\); \({m_5} = 21\), \({m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = \); \({a_4} - {a_3} = 30 - 25 = 5\)
Do đó \({Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}}.5 = \frac{{136}}{5}\)
Biết \[\sin a = \frac{5}{{13}};\,\,\cos b = \frac{3}{5}\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi ;\,\,0 < b < \frac{\pi }{2}} \right)\] . Hãy tính \(\sin \left( {a + b} \right)\).
\[\frac{{56}}{{65}}.\]
\[\frac{{ - 33}}{{65}}.\]
\[0.\]
\[\frac{{63}}{{65}}.\]
Chọn B
Ta có \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\) mà
\[\sin a = \frac{5}{{13}};\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right) \Rightarrow \cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - \frac{{25}}{{169}}} = - \frac{{12}}{{13}}\]
\[\,\cos b = \frac{3}{5}\,\,;\left( {0 < b < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin b = \sqrt {1 - {{\cos }^2}b} = \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = \frac{4}{5}\]
Do đó \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = \frac{5}{{13}}.\frac{3}{5} - \frac{{12}}{{13}}.\frac{4}{5} = - \frac{{33}}{{65}}\)
Cho \(\cos 2a = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của \(\left| {\sin 2a\cos a} \right|\).
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{8}.\)
\(\frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}.\)
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{16}}.\)
\(\frac{{5\sqrt 6 }}{8}.\)
Chọn B
\(\cos 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - 1 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{5}{8}\)
\(\sin a = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \pm \sqrt {1 - \frac{5}{8}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)
Do đó giá trị của \[\left| {\sin 2a\cos a} \right| = \left| {2\sin a.{{\cos }^2}a} \right| = \left| {2.\left( { \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4}} \right).\frac{5}{8}} \right| = \frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}\].
Tìm \[m\] để phương trình \(\sin 2x = 7m + 3\) có nghiệm \(x \in \left[ {0\;;\;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\).
\[ - \frac{3}{7} \le m \le - \frac{2}{7}.\]
\[ - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{3}.\]
\[ - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}.\]
\[ - \frac{4}{7} \le m \le - \frac{2}{7}.\]
Chọn C
Để phương trình \(\sin 2x = 7m + 3\) có nghiệm \(x \in \left[ {0\;;\;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{{7\pi }}{{12}} \Leftrightarrow 0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}\)
Phương trình lượng giác \(2\cos \,x + \sqrt 2 = 0\) có nghiệm là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{ - 5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\]
\[\left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{ - 3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\]
Chọn C
\(2\cos \,x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\[{u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}.\]
\[{u_n} = 3n + 1.\]
\[{u_n} = {3^n}.\]
\[{u_n} = 5{n^2} + n.\]
Chọn B
Xét \[{u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\]: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 2}} - {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} = - 4.{\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\]do đó không là cấp số cộng
Xét \[{u_n} = 3n + 1.\]\[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 - 3n + 1 = 3\]là cấp số cộng
Chu vi của một đa giác là \[158{\rm{ cm,}}\] số đo các cạnh của đa giác đó lập thành cấp số cộng với công sai \[d = 3{\rm{ cm}}\]. Biết cạnh lớn nhất là \[44{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] Số cạnh của đa giác đó là
5.
6.
4.
3.
Chọn C
Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh thì chu vi đa giác đó là \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) với \({u_1};{u_2};...;{u_n}\)lần lượt là số đo các cạnh của đa giác \(\left( {0 < {u_1} < {u_2} < ... < {u_n} = 44{\kern 1pt} {\kern 1pt} cm} \right)\)
Suy ra \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}\) hay \(158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2}.n \Leftrightarrow 316 = \left( {{u_1} + 44} \right).n \Leftrightarrow n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}\)
Do \(n \in \mathbb{N}\) nên \({u_1} + 44\) là ước nguyên dương của \(316\) mà \(316 = {2^2}.79\)
Suy ra \({u_1} + 44 \in \left\{ {2;4;79;158;316} \right\}\)
Với \({u_1} + 44 = 2 \Leftrightarrow {u_1} = - 42 < 0\)loại
Với \({u_1} + 44 = 4 \Leftrightarrow {u_1} = - 40 < 0\)loại
Với \({u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{79}} = 4\)
Với \({u_1} + 44 = 158 \Leftrightarrow {u_1} = 114 \Rightarrow n = \frac{{316}}{{114 + 44}} = 2\)loại do đa giác không có cạnh bằng 2
Với \({u_1} + 44 = 316 \Leftrightarrow {u_1} = 272 \Rightarrow n = 1\)loại do đa giác không có cạnh bằng 1
Vậy đa giác đã cho có 4 cạnh
Nhóm số liệu rời rạc \[{k_1} - {k_2}\] với \[{k_1};{k_2} \in \mathbb{N};{\rm{ }}{k_1} < {k_2}\] là nhóm gồm các giá trị
\[{k_1}\] và \[{k_2}.\]
\[{k_1} + 1,...,{k_2}.\]
\[{k_1},{k_1} + 1,..,{k_2}.\]
\[{k_1},...,{k_2} + 1.\]
Chọn C
Một đường tròn có bán kính \[15cm\]. Tìm độ dài của cung tròn có góc ở tâm bằng \[{30^0}\].
\[\frac{{5\pi }}{2}cm.\]
\[\frac{{5\pi }}{3}cm.\]
\[\frac{{2\pi }}{5}cm.\]
\[\frac{\pi }{3}cm.\]
Ta đổi độ sang rad có \[{30^0} = \frac{\pi }{6}\]
Áp dụng công thức tính độ dài của cung tròn \(l = R\alpha = 15.\frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{2}\left( {cm} \right)\)
Số \[a\] thỏa mãn có \[25\% \] giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn \[a\] và \[75\% \]giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn \[a\] là
Trung vị.
Tứ phân vị thứ nhất.
Tứ phân vị thứ ba.
Số trung bình.
Chọn B
Tứ phân vị thứ nhất \(\left( {{Q_1}} \right)\)là giá trị ở đó \[25\% \]số liệu mẫu nhỏ hơn và \[75\% \] số liệu mẫu lớn hơn.
Là định nghĩa của tứ phân vị thứ nhất
Còn lại không thỏa mãn
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu bán hàng (đơn vị tính là triệu đồng) trong 20 ngày của một cửa hàng được ghi lại như sau
Doanh thu | \[\left[ {{\rm{5}};7} \right)\] | \[\left[ {{\rm{7}};9} \right)\] | \[\left[ {{\rm{9}};11} \right)\] | \[\left[ {{\rm{11}};13} \right)\] | \[\left[ {{\rm{13}};15} \right)\] |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
\[\overline x = 7,5.\]
\[\overline x = 9,4.\]
\[\overline x = 8,9.\]
\[\overline x = 9.\]
Chọn B
Trong mỗi khoảng doanh thu, giá trị đại diện l trung bình cộng của hai giá trị hai đầu mút nên ta có bảng
Doanh thu | \[6\] | \[8\] | \[10\] | \[12\] | \[14\] |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số ngày bán hàng là \(n = 20\)
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày trung bình là \(\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (đơn vị tính là phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi như sau
Thời gian (phút) | \[{\rm{[}}0,5;10,5)\] | \[{\rm{[1}}0,5;20,5)\] | \[{\rm{[2}}0,5;30,5)\] | \[{\rm{[3}}0,5;40,5)\] | \[{\rm{[4}}0,5;50,5)\] |
Số học sinh | 2 | 10 | 6 | 4 | 3 |
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này gần nhất với giá trị nào sau đây?
\[20.\]
\[16,5.\]
\[18,22.\]
\[17,2.\]
Chọn D
Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa một là \[{\rm{[1}}0,5;20,5)\]. Ta có \(j = 2;{a_2} = 10,5,{m_2} = 10,{m_1} = 2,{m_3} = 6,h = 20,5 - 10,5 = 10\)
Do đó \({M_0} = 10,5 + \frac{{10 - 2}}{{\left( {10 - 2} \right) + \left( {10 - 6} \right)}}.10 = 17,2\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\)với \(n \ge 2.\) Khi đó, số hạng \({u_{50}}\)bằng
\[2548,5.\]
\[2550,5.\]
\[5096,5.\]
\[1274,5.\]
Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\\{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 2\left( {n - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right) = \frac{1}{2} + \left( {n + 2} \right)\left( {n - 1} \right)\)
Do đó \({u_{50}} = \frac{1}{2} + \left( {50 + 2} \right)\left( {50 - 1} \right) = 2548,5\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \({u_1} = 150\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3\)với \(n \ge 2.\) Khi đó, tổng \[100\]số hạng đầu tiên của dãy số này là
\[2985.\]
\[300.\]
\[150.\]
\[597.\]
Chọn C
Ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3 \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} = - 3 = d\) do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 150\) và \(d = - 3\)
Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.150 + 99.( - 3)} \right) = 150\)
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x - 1}}\) là
\[x \ne k2\pi .\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right..\]
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi .\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k2\pi \end{array} \right..\]
Chọn D
Hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x - 1}}\)xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k2\pi \end{array} \right..\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\): \[{u_n} = \frac{5}{{{2^n}}}\] với \[n \ge 1\]. Tổng của 3 số hạng đầu tiên của cấp số này là
\[\frac{{35}}{6}.\]
\[\frac{{36}}{5}.\]
\[\frac{{35}}{8}.\]
\[\frac{5}{6}.\]
Chọn C
Ta có cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \[{u_n} = \frac{5}{{{2^n}}}\] nên \({u_1} = \frac{5}{2}\); công bộ \(q = \frac{1}{2}\)
Tổng của số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_3} = \frac{{\frac{5}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^3}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{35}}{8}\)
Nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{3}{8}.\)
\( - \frac{3}{4}.\)
Chọn D
Ta có \[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2\alpha = - \frac{3}{4}\]
Cho \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\cot \alpha > 0.\)
\(\cos \alpha > 0.\)
\[\tan \alpha > 0.\]
\(\sin \alpha > 0.\)
Chọn B
Do \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \) nên \(\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) suy ra \(\cos \alpha > 0;\)\(\sin \alpha < 0;\)\[\tan \alpha < 0;\]\(\cot \alpha < 0.\)
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?
\[y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}.\]
\[y = \frac{{\cos x}}{{x + {x^2}}}.\]
\[y = \frac{{\sin x}}{{1 - \sin x}}.\]
\[y = \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}.\]
Chọn D
Hàm số \[y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}.\] không là hàm số lẻ
Hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{x + {x^2}}}.\]không là hàm số lẻ vì tập xác định không đối xứng qua điểm 0
Hàm số \[y = \frac{{\sin x}}{{1 - \sin x}}.\] không là hàm số lẻ
Hàm số \[y = \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}.\] là hàm số lẻ vì
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Có \(f( - x) = \frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - x} \right)}} = - \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}} = - f(x)\)
Anh An mới được nhận làm việc tại công ty A vào đầu tháng 1, ngoài lương chính ra anh ấy còn được thưởng 180 triệu cho năm đầu tiên và nhận tiền thưởng vào cuối mỗi năm. Kể từ năm thứ 2 trở đi thì tiền thưởng được tăng thêm 5% so với năm trước đó. Hỏi năm thứ 10 anh An nhận được khoản tiền thưởng gần nhất với số tiền nào sau đây?
\[279{\rm{ }}240{\rm{ }}000\] (đồng).
\[300{\rm{ }}500{\rm{ }}000\] (đồng).
\[250{\rm{ }}392\,000\] (đồng).
\[293{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (đồng).
Chọn A
Để tính số tiền thưởng vào cuối năm thứ 10, ta cần tính số tiền thưởng của năm đầu tiên và sau đó tăng dần theo tỷ lệ 5% mỗi năm
Số tiền thưởng của năm đầu tiên là 180 triệu đồng
Số tiền thưởng của năm thứ hai là \(180 + 5\% *180 = 189\) triệu đồng
Số tiền thưởng của năm thứ ba là \(189 + 5\% *189 = 198,45\) triệu đồng
…
Số tiền thưởng của năm thứ 10 là \(180 + 5\% *180*9 = 261\) triệu đồng
Vậy số tiền thưởng gần nhất là 261 triệu đồng
Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá \[100\](đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên \[10\% \]. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng lên \[10\% \]. Hỏi giá (đơn vị nghìn đồng) của mặt hàng A sau hai lần tăng giá là bao nhiêu?
\[121.\]
\[120.\]
\[122.\]
\[200.\]
Chọn A
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là \({M_1} = 100 + 10\% = 110\)
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là \({M_2} = 110 + 110.10\% = 121\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\): \({u_n} = \frac{3}{5}{.2^n}\) với \[n \ge 1\]. Số hạng đầu tiên và công bội \[q\]của dãy là
\[{u_1} = \frac{6}{5};q = 3.\]
\[{u_1} = \frac{6}{5};q = 5.\]
\[{u_1} = \frac{6}{5};q = - 2.\]
\[{u_1} = \frac{6}{5};q = 2.\]
Chọn D
Ta có \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = \frac{6}{5}\) và \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{\frac{3}{5}{2^n}}}{{\frac{3}{5}{2^{n - 1}}}} = 2\)
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] : \[{u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\] với \[a\]là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \[a\] để dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số tăng.
\[a > 2.\]
\[a < 1.\]
\[a < - 5.\]
\[a < 0.\]
Chọn A
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = a - 2\)
Để dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] tăng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n\) hay \(a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm). Cho \[\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\] với \[{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Tính \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Tính \(cos\alpha \) .Ta có \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\]
\( \Rightarrow cos\alpha = \pm \frac{1}{3}\) . Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow cos\alpha = - \frac{1}{3}\)
Ta có \(\sin \left( {\alpha- \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}\)=\( = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{ - 1}}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \,\frac{{4 + \sqrt 2 }}{6}\)
(1,0 điểm). Giả sử một chiếc xe ô tô lúc mới mua là \(700\) triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm \(45\) triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau \(6\) năm sử dụng.
Ta có \[{u_1} = 700,\,\,d = - 45\]
Công thức truy hồi là \[{u_{n + 1}} = {u_n} - 45\].
Công thức tổng quát là \[{u_n} = {u_1} - 45(n - 1).\]
Sau 6 năm sử dụng giá còn lại của xe là
\[{u_7} = {u_1} + 6{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{700}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{6}}{\rm{.45}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{430}}\]triệu đồng.
(0,5 điểm). Giải phương trình lượng giác sau: \[\frac{{\sin 2x - 1 - 2\cos x + \sin x}}{{\sqrt 3 \,\tan \,x - 3}} = 0\].
Điều kiện: \(\) \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{tanx}} \ne \sqrt 3 \\c{\rm{osx}} \ne 0\end{array} \right.\) (*)
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sin 2x - 2\cos x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (2\cos x + 1)(\sin x - 1) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.k \in \mathbb{Z}\)
Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) .
(0,5 điểm).Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 100 000 đồng, mỗi lần sau, tiền đặt cược gấp đôi số tiền cược trước đó. Người đó thua 5 lần liên tiếp tính từ lần đặt cược đầu tiên và thắng ở lần thứ 6 (số tiền nhận được khi thắng bằng 2 lần số tiền đã đặt cược ở lần chơi đó). Hỏi số tiền du khách trên đã thắng hay thua là bao nhiêu sau 6 lần chơi?
Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có \({u_1} = 100\,000\) và công bội \(q = 2.\) Du khách thua trong \(5\) lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là
\({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000\) đồng
Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 3200000\) đồng. Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là \(2.3200000 - 3200000 = 3200000\).
Ta có \(3200000 - 3100000 = 100000 > 0\) nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.
