Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Đà Nẵng) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = 2n - 5\). Tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này bằng
870.
825.
780.
1560.
Chọn C
Trong hình bên dưới là đồ thị hai hàm số \(y = \cot x\) và \[y = m\].
Số nghiệm của phương trình \(\cot x = m\) trong khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) là
3.
4.
7.
2.
Chọn A
Nhiệt độ ngoài trời của thành phố Đà Nẵng vào các thời điểm khác nhau trong ngày được mô phỏng bởi công thức \(h\left( t \right) = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] + 27\), với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ cao nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?
\(31^\circ {\rm{C}}\), lúc 12 giờ.
\(31^\circ {\rm{C}}\), lúc 13 giờ.
\(36^\circ {\rm{C}}\), lúc 12 giờ.
\(23^\circ {\rm{C}}\), lúc 13 giờ.
Chọn B
Với mọi \(t \in \mathbb{R}\), ta có:
\( - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] \le 4 \Leftrightarrow 23 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] + 27 \le 31\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} h\left( t \right) = 31\) khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {t - 9} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow t = 13 + 16k,k \in \mathbb{Z}\)
\(t \in \left[ {0;24} \right] \Rightarrow t = 13\)
Vậy nhiệt độ cao nhất trong ngày \(31^\circ {\rm{C}}\), lúc 13 giờ.
Số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\) trong hình bên dưới bằng
\(\frac{{17\pi }}{4}\).
\( - \frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{{9\pi }}{4}\).
Chọn A
Sđ\(\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{4} + 2.2\pi = \frac{{17\pi }}{4}\)
Một nhà sách thống kê số lượng truyện tranh bán ra trong hai tháng ở bảng sau:
Trung vị của mẫu trên là
32.
33,18.
28,41.
34.
Chọn B
Kích thước mẫu: \(N = 5 + 7 + 25 + 15 + 9 = 61\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{61}}\) là số lượng truyện bán ra trong hai tháng được sắp xếp tăng dần
\(N = 61\) lẻ. Trung vị của mẫu số liệu trên là: \({M_e} = {x_{31}}\)
Trung vị nằm trong nhóm \(\left[ {28;35} \right)\), ta có:
\({M_e} = 28 + \frac{{\frac{{61}}{2} - \left( {5 + 7} \right)}}{{25}}\left( {35 - 28} \right) = 33,18\)
Rút gọn biểu thức \(P = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) - \cos \left( {5\pi - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\).
\(P = 0\).
\(P = 2\tan x\).
\(P = 1\).
\(P = - 2\tan x\).
Chọn D
\(\begin{array}{l}P = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) - \cos \left( {5\pi - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = - \cos x + \cos x - \tan x - \tan x = - 2\tan x\end{array}\)
Bác Y kí hợp đồng vào làm bảo vệ tại trường THPT chuyên X vào năm 37 tuổi với tiền lương 42 triệu đồng/năm. Theo hợp đồng thì sau mỗi năm làm việc tiền lương của bác Y tăng cố định 2,4 triệu/năm. Hỏi tiền lương bác Y vào năm 60 tuổi là bao nhiêu?
99,6 triệu/năm.
94,8 triệu/năm.
97,2 triệu/năm.
102 triệu/năm.
Chọn C
Gọi tiên lương bác Y năm thứ \(n\) là \({u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 42\) triệu công sai \(d = 2,4\)
Từ năm \(37\)tuổi đến năm \(60\)tuổi bác làm việc số năm là: \(60 - 37 + 1 = 24\) năm
Tiên lương của bác Y năm \(60\) tuổi là: \({u_{24}} = {u_1} + 23d = 42 + 23.2,4 = 97,2\)
Mẫu số liệu bên dưới biểu diễn kết quả đọc được từ camera phạt nguội mà cảnh sát giao thông đã đặt để theo dõi các xe ô tô lưu thông trên đường cao tốc.
Hãy cho biết trong các xe được quan sát ở trên, loại xe chạy xấp xỉ với tốc độ nào sau đây chiếm số lượng nhiều nhất?
100 km/h.
90 km/h.
96 km/h.
50 km/h.
Chọn C
Nhóm xe chạy chiếm số lượng nhiều nhất là: \(\left[ {90;100} \right)\)
Mốt của mẫu số liệu trên là: \({M_0} = 90 + \frac{{50 - 35}}{{\left( {50 - 35} \right) + \left( {50 - 40} \right)}}\left( {100 - 90} \right) = 96\)
Vậy loại xe chạy xấp xỉ với tốc độ \(96\,km/h\) chiếm số lượng nhiều nhất
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sin x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Tính Trung bình \[\overline x \] của mẫu số liệu được cho như bên dưới
\(\overline x \approx 10,8\).
\(\overline x \approx 14,2\).
\(\overline x \approx 11,4\).
\(\overline x \approx 13,2\).
Chọn D
Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là:
\(\bar x = \frac{{10.3 + 14.7 + 31.11 + 2.15 + 5.19 + 23.23}}{{10 + 14 + 31 + 2 + 5 + 23}} \approx 13,2\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)?
\(y = \sin x\).
\(y = \cot x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cos x\).
Chọn C
Cho \(\sin x = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Tính \(\cot x\).
\(\cot x = \frac{3}{4}\).
\(\cot x = - \frac{3}{4}\).
\(\cot x = - \frac{4}{3}\).
\(\cot x = \frac{4}{3}\).
Chọn C
Với \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \cot x < 0\)
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x \Leftrightarrow \frac{{25}}{9} = 1 + {\cot ^2}x \Leftrightarrow {\cot ^2}x = \frac{{16}}{9} \Rightarrow \cot x = - \frac{4}{3}\quad \left( {\cot x < 0} \right)\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\cos \left( {\pi + x} \right) = \cos x\).
\(\sin \left( {\pi + x} \right) = \sin x\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
Chọn D
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \tan \left( {2\pi + x} \right)\).
\(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
\(y = \sin \left( {\pi - x} \right)\).
\(y = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
Chọn B
Bác Y kí hợp đồng vào làm bảo vệ tại trường THPT chuyên X với điều khoản tiền lương như sau: Năm thứ nhất tiền lương của bác Y là 42 triệu đồng/năm. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của bác Y bằng 1,05 lần mức lương của năm liền trước đó. Tổng tiền lương bác Y đi làm sau 15 năm gần nhất với số nào sau đây?
2563,48 triệu đồng.
906,3 triệu đồng.
44,21 triệu đồng.
827,45 triệu đồng.
Chọn B
Gọi tiên lương bác Y năm thứ \(n\) là \({u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 42\) triệu công công bội \(q = 1,05\)
Tổng số tiền lương bác Y nhận được sau 15 năm là: \({S_{15}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{15}}}}{{1 - q}} = 42.\frac{{1 - 1,{{05}^{15}}}}{{1 - 1,05}} \approx 906,3\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng và bị chặn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm và bị chặn dưới.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm và bị chặn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng và bị chặn trên.
Chọn A
\({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow 0 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số bị chặn
\({u_{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 3}}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 3}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số nhân?
\(1\,,\, - 4\,,\, - 16\,,\, - 64\,,\,...\).
\(2\,,\,2\,,\,2\,,\,2\,,\,...\).
\(1\,,\,10\,,\,{10^2}\,,\,{10^3}\,,\,...\).
\(1\,,\, - \frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{9}\,,\, - \frac{1}{{27}}\,,\,...\).
Chọn A
Mệnh đề nào sau đây sai?
Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\,\,,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Một dãy số bất kỳ hoặc là dãy số tăng hoặc là dãy số giảm.
Chọn D
Một cung tròn của đường tròn có độ dài \(\frac{{4\pi }}{3}{\rm{cm}}\) và có số đo là \(\frac{{2\pi }}{3}\). Đường kính của đường tròn đó bằng
\(8{\rm{cm}}\).
\(4{\rm{cm}}\).
\({\rm{2cm}}\).
\(1{\rm{cm}}\).
Chọn B
Ta có: \(l = \frac{{4\pi }}{3};\alpha = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} \Leftrightarrow R = \frac{l}{\alpha } = \frac{{4\pi }}{3}.\frac{3}{{2\pi }} = 2\quad \left( {cm} \right)\)
Vậy đường kính của đường tròn là: \(2R = 2.2 = 4\quad \left( {cm} \right)\)
Cho mẫu số liệu như sau:
Nhóm chứa Mốt của mẫu số liệu này là
\(\left[ {130;150} \right)\).
\(\left[ {190;210} \right)\).
\(\left[ {150;170} \right)\).
\(\left[ {90;110} \right)\).
Chọn C
Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \ge 1\).
Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Chọn B
Khẳng định nào sau đây sai?
Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm có nhiều hơn một Mốt.
Một mẫu có thể không có Mốt hoặc có nhiều hơn một Mốt.
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho Trung vị của mẫu số liệu gốc.
Các Tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.
Chọn A
Cho\(\sin x + \cos x = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos 4x\).
\(\cos 4x = \frac{{25}}{9}\).
\(\cos 4x = \frac{{209}}{{81}}\).
\(\cos 4x = - \frac{{47}}{{81}}\).
\(\cos 4x = - \frac{8}{9}\).
Chọn C
Ta có:
\({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{9} - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{8}{9}\)
\(\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x = 1 - 2.{\left( { - \frac{8}{9}} \right)^2} = - \frac{{47}}{{81}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\,,\,\,{u_2} = 4\\{u_{n + 2}} = {u_n} - {u_{n + 1}}\,\,,\,\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Số hạng thứ năm của dãy số bằng
\( - 10\).
\(3\).
\( - 3\).
\( - 4\).
Chọn C
\({u_1} = 1;{u_2} = 4\)
\({u_3} = {u_1} - {u_2} = 1 - 4 = - 3\)
\({u_4} = {u_2} - {u_3} = 4 - \left( { - 3} \right) = 7\)
\({u_5} = {u_3} - {u_4} = - 3 - 7 = - 10\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] nào có công thức dưới đây là dãy số tăng?
\({u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}}\).
\({u_n} = - 2n + 5\).
\({u_n} = \frac{{3n + 1}}{{2n}}\).
\({u_n} = n - {n^2}\).
Chọn A
\(\left. \begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}}\\{u_{n + 1}} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}}\end{array} \right\} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{5}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}}\) là dãy số tăng
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {1,5\,;\,\,4,5} \right)\) là
4,5.
1,5.
2.
3.
Chọn D
Giá trị đại diện của nhóm là: \(\frac{{1,5 + 4,5}}{2} = 3\)
Biết \(\cos 2x = \frac{3}{4}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
\(A = \frac{1}{4}\).
\(A = \frac{5}{8}\).
\(A = \frac{5}{4}\).
\(A = \frac{1}{8}\).
Chọn D
\(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{8}\)
Cấp số nhân hữu hạn \(\frac{1}{2}\,,\,1\,,\,2,\,4\,,\,...,\,1024\) có bao nhiêu số hạng?
12.
11.
13.
10.
Chọn A
Gọi \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân cần tìm ta có:
\({u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = 1;..;{u_n} = 1024\)
\(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\)
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow 1024 = \frac{1}{2}{.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 2}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 2 = 10 \Leftrightarrow n = 12\)
Phương trình \(\tan x + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C
\(\tan x + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của góc lượng giác có số đo \( - 695^\circ \) thuộc góc phần tư thứ mấy?
Góc phần tư thứ III.
Góc phần tư thứ I.
Góc phần tư thứ II.
Góc phần tư thứ IV.
Chọn B
−695°=25°−2.360° suy ra nằm góc phần tư thứ nhất.
Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi của khách hàng mua bảo hiểm xe máy ở mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Cỡ của mẫu trên bằng
200.
70.
50.
20.
Chọn A
Cỡ mẫu là: \(N = 11 + 22 + 45 + 58 + 36 + 28 = 200\)
Cho một góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \(100^\circ \) và một góc lượng giác \(\left( {Ou,Ow} \right)\) có số đo \( - 320^\circ \). Số đo của góc lượng giác \(\left( {Ov,Ow} \right)\) bằng
\(60^\circ + k360^\circ \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(220^\circ + k360^\circ \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 220^\circ + k360^\circ \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 60^\circ + k360^\circ \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn D
Ta có: \[\left( {Ou,Ov} \right) + \left( {Ov,Ow} \right) = \left( {Ou,Ow} \right) + k.360^\circ \]
\(100^\circ + \left( {Ov,Ow} \right) = - 320^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow \left( {Ov,Ow} \right) = - 420^\circ + k360^\circ = - 60^\circ + \left( {k - 1} \right).360^\circ \)
Suy ra số đo của góc lượng giác \(\left( {Ov,Ow} \right) = - 60^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng n. Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là
\(1\,,\,\,3\,,\,\,3\,,\,\,5\,,\,\,5\).
\(1\,,\,\,1\,,\,\,3\,,\,\,3\,,\,\,5\).
\(1\,,\,\,3\,,\,\,5\,,\,\,7\,,\,\,9\).
\(3\,,\,\,5\,,\,\,7\,,\,\,9\,,\,\,11\).
Chọn A
\({u_1}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(1 \Rightarrow {u_1} = 1\).
\({u_2}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(2 \Rightarrow {u_2} = 3\).
\({u_3}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(3 \Rightarrow {u_3} = 3\).
\({u_4}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(4 \Rightarrow {u_4} = 5\).
\({u_5}\) là số lẻ nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(5 \Rightarrow {u_5} = 5\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 7\), công sai \(d = - 3\). Số hạng thứ 10 bằng
\( - 34\).
\( - 20\).
\(34\).
20.
Chọn B
\({u_{10}} = {u_1} + 9d = 7 + 9\left( { - 3} \right) = - 20\)
Rút gọn biểu thức \(M = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
\(M = 2\cos x + \sin x\).
\(M = \sin x\).
\(M = \cos x + 2\sin x\).
\(M = \cos x\).
Chọn D
\(M = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x + \sin x - \sin x = \cos x\).
Cho hai hàm số \(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) và \(y = 1 - 2{\cos ^2}x\).
a) Nêu tính chất và vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).b) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên.
\(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ TGT: \(T = \left[ { - 1;1} \right]\).
+ Là HS lẻ và tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \).
+ Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\,,\,k \in \mathbb{Z}\).
+ Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ.
b)PTHĐGĐ: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 1 - 2{\cos ^2}x \Leftrightarrow \sin x = - \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi - 2x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}\,,\,k \in \mathbb{Z}\)
Biết diện tích của 19 tỉnh và thành phố khu vực Nam Bộ được cho trong bảng sau:
Diện tích (km2) | \(\left[ {1000;2500} \right)\) | \(\left[ {2500;4000} \right)\) | \(\left[ {4000;5500} \right)\) | \(\left[ {5500;7000} \right)\) |
Số tỉnh/thành phố | 7 | 6 | 3 | 3 |
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Cỡ mẫu: \(n = 19\).
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{19}}\) lần lượt là diện tích của 19 tỉnh và thành phố khu vực Nam Bộ và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự tăng dần.
Tứ phân vị thứ nhất là \({x_5}\) thuộc nhóm 1: \({Q_1} = 1000 + \frac{{\frac{{19}}{4} - 0}}{7}.1500 = \frac{{14125}}{7} \approx 2017,86\).
Tứ phân vị thứ hai là \({x_{10}}\) thuộc nhóm 2: \({Q_2} = 2500 + \frac{{\frac{{19}}{2} - 7}}{6}.1500 = 3125\).
Tứ phân vị thứ ba là \({x_{15}}\) thuộc nhóm 3: \({Q_3} = 4000 + \frac{{\frac{{3.19}}{4} - 13}}{3}.1500 = 4625\).
Anh A dự định mua xe ô tô để chạy dịch vụ Grap với tổng giá trị là 700 triệu đồng. Sau khi nghiên cứu thị trường anh A thấy rằng cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe ô tô (khấu hao tài sản) giảm trung bình mỗi năm 55 triệu đồng.
a) Tính giá trị còn lại của chiếc ô tô nói trên sau 8 năm sử dụng (đơn vị: triệu đồng).b) Anh A dự định vay trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền 500 triệu đồng để mua xe ô tô chạy Grab với lãi suất cố định 0,78%/tháng. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho ngân hàng số tiền tối thiểu là bao nhiêu để sau đúng 5 năm anh A trả hết nợ (làm tròn đến hàng nghìn).
a)
Gọi \({u_1} = 700\) (triệu đồng) là giá trị ban đầu của xe ô tô.
Sau mỗi năm sử dụng giá trị xe giảm trung bình 55 triệu đồng nên xem đây là cấp số cộng với công sai \(d = - 55\).Giá trị của xe còn lại sau 8 năm sử dụng là \({u_9} = {u_1} + 8d = 260\) (triệu đồng).b)
Gọi A là số tiền vay, r là lãi suất/tháng, X là số tiền trả hàng tháng cho ngân hàng
Dùng CSN chứng minh được công thức số tiền còn nợ ngân hàng sau n tháng là:
\({S_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n} - X\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\)
Sau 5 năm (60 tháng) trả hết nợ thì \({S_n} = 0\) và \(n = 60\) nên \(X = \frac{{A.r.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} = 10.466.755,159975749\).
KL: số tiền tối thiểu phải trả hàng tháng (làm tròn đến hàng nghìn) là: \(X = 10.467.000\)
Một học sinh đứng tại vị trí A trên ban công tầng 3 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn nhìn xuống bên kia đường thấy 2 chiếc xe ô tô đậu ở vị trí B và C. Biết các góc nhìn xuống từ A đến B và C theo phương ngang lần lượt là \(\frac{\pi }{{10}}\) và \(\frac{\pi }{{12}}\) (minh họa như hình vẽ), độ cao từ vị trí A đến mặt đất là \[AH = 10{\rm{m}}\] và các điểm H, B, C thẳng hàng. Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô (không được sử dụng máy tính cầm tay để tính xấp xỉ kết quả).
Theo đề ta có \(\widehat {HBA} = \frac{\pi }{{10}}\,\,,\,\,\widehat {HCA} = \frac{\pi }{{12}}\)
Khoảng cách giữa hai xe ô tô: \(BC = HC - HB = \frac{{10}}{{\tan \frac{\pi }{{12}}}} - \frac{{10}}{{\tan \frac{\pi }{{10}}}}\)
\(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 \)
Ta có: \(\cos \frac{{2\pi }}{{10}} = \sin \frac{{3\pi }}{{10}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = 3\sin \frac{\pi }{{10}} - 4{\sin ^3}\frac{\pi }{{10}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{10}} = 1\,\,\,\,\left( L \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( N \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ \(\cos \frac{\pi }{{10}} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{{10}}} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}\)
+ \(\tan \frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{\pi }{{10}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}\)
Vậy \(BC = \frac{{10}}{{2 - \sqrt 3 }} - 10\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 - 1}} = 10\left( {2 + \sqrt 3 } \right) - \frac{5}{2}.\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \left( {\sqrt 5 + 1} \right)\).
