Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {CDA} \right)\) là đường thẳng \(AC\).

Chọn D

Khẳng định đúng \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn C

Phương trình \(\sin x = 0{\rm{,}}6\) có hai nghiệm trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) nên có bốn nghiệm trên khoảng \(\left( {0;4\pi } \right)\).

Chọn A

\(\left( {OA,OM'} \right) = {50^0} + {180^0} + k{360^0} = {230^0} + k{360^0}\).

Chọn B

Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất.

Chọn D

Ta có: \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\), do đó đáp án D sai.

Chọn D

Ta có: \(\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\).

Chọn A

Ta có: \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Chọn D

Tập giá trị của hàm số \(y = \tan x\) là \(T = \mathbb{R}\), do đó đáp án D sai.

Chọn B

Ta có: \( - 1 \le \sin 3x \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \sin 3x \ge  - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow 1 + \sin 3x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Do đó, hàm số đã cho có tập xác định là \(D = \mathbb{R}.\).

Chọn B

Hàm số \(y = \sin x + 1\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

Hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{2}\).

Hàm số \(y = \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

Vậy hàm số \(y = \cos x + x\) không là hàm số tuần hoàn.

Chọn C

\(\cot \frac{{77\pi }}{6} =  - \sqrt 3 \).

Chọn D

\(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right).\left( {\cos a\cos b + \sin a\sin b} \right)\)\( = {\cos ^2}a.{\cos ^2}b - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b\)\( = {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right).{\sin ^2}b = \frac{{ - 1}}{3}\).

Chọn A

Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right)\).

Vì O là giao điểm của AC và DB nên \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in DB \subset \left( {SDB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SDB} \right) = SO.\).

Chọn D

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)

Hàm số này có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

\(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) =  - \sin x =  - f\left( x \right)\)

Do đó hàm số \(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) là hàm số lẻ.

Chọn C

Ta có công thức cộng: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\).

Chọn A

Với \(m \in \mathbb{R}\) thì phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm.

Chọn A

\(NP,\,\,MQ\) lần lượt là đường trung bình trong tam giác \(SBC\) và \(SAD\) nên \(NP\,{\rm{//}}\,BC,\,\,MQ\,{\rm{//}}\,AD\).

Mà \(BC\,\,{\rm{//}}\,AD\) nên \(NP\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,MQ\).

Vậy đường thẳng \(NP\) không song song với đường thẳng \(BD\).

Chọn A

Vì \(M \in SC \subset \left( {SAC} \right)\) suy ra \(M \in \left( {SAC} \right)\).

Chọn B

Ta có: \(\alpha  = {105^0} = \frac{{7\pi }}{{12}}\).

Chọn A

Chọn A

Chọn C

Chọn D

\({\sin ^2}x = 1 - co{s^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\)

Chọn B

Chọn C

\(KH \subset \left( {MNK} \right)\), xét trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) ta có \(SO\) và \(KH\) cắt nhau và giao điểm này chính là giao điểm của \(SO\) với \(\left( {MNK} \right)\).

Chọn A

Dựa vào các điểm đi qua của đồ thị ta có kết luận, đây là đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

Chọn C

Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN//AC\).

Chọn D

Hai mặt phẳng \(\left( {CMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) có điểm chung thứ nhất là \(C\) và \(MN//BD\) nên giao tuyến là đường thẳng đi qua \(C\) và song song với các đường thẳng \(MN,{\rm{ BD}}\).

Chọn B

\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 1}}{7}\).

Chọn B

Chọn C

Để tàu có thể hạ thủy thì mực nước sâu \(4,6m\), tức là

\[\begin{array}{l}h\left( t \right) = 0,8\cos 0,5t + 5 = 4,6 &  \Leftrightarrow \cos 0,5t =  - \frac{1}{2}\\ &  \Leftrightarrow 0,5t =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \\t =  - \frac{{4\pi }}{3} + l4\pi \end{array} \right.\,\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\].

Do \(0 \le t \le 12\) nên

Với \(k = 0\), suy ra \(t = \frac{{4\pi }}{3} \approx 4,19\) (giờ).

Với \(l = 1\), suy ra \(t = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2,09\) (giờ).

Vậy, có 2 thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy.

Chọn C

Ta có \(y = 6\left( {\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) - 7 = 6\cos 2x - 7\).

Do \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) nên \( - \frac{1}{2} \le \cos 2x \le 1\). Suy ra \( - 10 \le y = 6\cos 2x - 7 \le  - 1\).

Vậy \(M =  - 1\) và \(m =  - 10\) nên \(M + m =  - 11\).

Chọn B

Vì \[IJ\] là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(IJ = \frac{{AB + CD}}{2}\)

Do \(IJ{\rm{//}}AB\) và \(G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = d\) (với \(d\) là đường thẳng đi qua \(G{\rm{//}}AB\) )

Gọi \(M;N\) lần lượt là giao điểm của \(d\) và \(SA;SB\)

Khi đó \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MI\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\); \(\left( {IJG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ\);

\(\left( {IJG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\)

Do đó tứ giác tạo bởi các giao tuyến của \((IJG)\) và các mặt hình chóp là tứ giác \(MNJI\)

Ta lại có \(MN{\rm{//}}IJ \Rightarrow MNJI\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow MN = IJ\)

Gọi \(Q\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow S;G;Q\) thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Theo hệ quả Talet và định lý Talet ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\)

Thay \(AB = 6a\) \( \Rightarrow MN = 4a\) \( \Rightarrow IJ = 4a\)

Lại có \(2IJ = AB + CD\) \( \Rightarrow CD = 2IJ - AB = 2.4a - 6a = 2a\).

Chọn B

Gọi \(AB \cap CD = K\) và \(KM\) cắt \(SC\) tại \(N\)

Khi đó \(\left( {ABM} \right) \cap SC = N\)

Do \(AB{\rm{//}}DC \Rightarrow \frac{{KC}}{{KD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)

Kẻ đường thẳng qua \(C{\rm{//}}SD\) cắt \(MK\) tại \(L\)

Ta có \(\frac{{LC}}{{MD}} = \frac{{KC}}{{KD}} = \frac{1}{3}\) ( hệ quả Talet )

Mặt khác \(LC{\rm{//}}SM\) nên theo Talet ta có:

\(\frac{{NC}}{{NS}} = \frac{{LC}}{{SM}} = \frac{{2LC}}{{MD}} = \frac{2}{3}\) ( do giả thiết \(SM = \frac{1}{3}SD \Rightarrow DM = 2SM\) )

Vì \(\frac{{NC}}{{NS}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{3}{5}\).

Ta có \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

\(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{6}.\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\)

Ta thấy đường thẳng \(y =  - \frac{1}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cos x\) tại 3 điểm phân biệt trên \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\), nên phương trình \(\cos x = \frac{{ - 1}}{3}\) có 3 nghiệm thuộc \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\).

a) \[2\cos x - \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \].

Vậy \(S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Ta có \[ - 1 \le \sin \left( {160\pi t} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 15 \le 15\sin \left( {160\pi t} \right) \le 15\]

\[ \Leftrightarrow 110 \le 125 + 15\sin \left( {160\pi t} \right) \le 140 \Leftrightarrow 110 \le p\left( t \right) \le 140\].

Vậy người đó có huyết áp là \(140/110\) cao hơn so với người bình thường.

a) Ta có \[MN\] là đường trung bình trong tam giác \(SDC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).

Do \[AB\,{\rm{//}}\,CD\] nên \[MN\,{\rm{//}}\,AB\].

b) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.\)

Nên \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\) với \[d\] là đường thẳng qua \(S\) và \[d\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\].

Trong \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(d\) và \(DM\).

Mà \(d \subset \left( {SAB} \right)\) nên \[E = DM \cap \left( {SAB} \right)\].