Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Bình Giang (Hải Dương) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn D

Ta có \(s\~n \,\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{2}\).

Chọn A

Vì số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) bằng \(50^\circ \) và \(0^\circ  < 50^\circ  < 90^\circ \) nên điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Chọn B

Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính \(R = 1\).

Chọn A

Ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  =  \pm \frac{3}{5}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0\). Do đó \(\cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\).

Chọn C

Với \[90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \] thì \(\sin \alpha  > 0\); \(\cos \alpha  < 0\); \(\tan \alpha  < 0\); \(\cot \alpha  < 0\).

Chọn D

Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(A + B + C = \pi  \Leftrightarrow A + B = \pi  - C \Leftrightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\).

Suy ra \(\cos \frac{{A + B}}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - C} \right) = \sin \frac{C}{2}\).

Chọn A

Ta có \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên khẳng định ở phương án \({\rm{A}}\) sai.

Chọn A

Ta có \(P = \sin 30^\circ .\cos 60^\circ  + \sin 60^\circ .\cos 30^\circ  = \sin \left( {30^\circ  + 60^\circ } \right) = \sin 90^\circ  = 1\).

Chọn D

Chọn D

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ.

Chọn C

Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

Các hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Chọn C

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D

Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) là một đường “đi lên” từ trái qua phải.

Chọn B

Ta có \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B

Ta có \[\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn C

Ta có \(\tan x = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn C

Ta có \(2\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\). Phương trình này có tập nghiệm được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm \(M\), \(N\).

Chọn A

Chọn B

Chọn C

Chọn D

Ta có \({u_4} = 8 - 3.4 =  - 4\).

Chọn B

Ta có \({u_1} = 1\) \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{A}}\).

Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} =  - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm

\( \Rightarrow \)Chọn phương án \({\rm{B}}\).

Lời giải

Chọn A

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Chọn B

Hai đường chéo của hình thoi \(ABCD\) cắt nhau.

Chọn A

Hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) có 3 vị trí tương đối là: song song, cắt nhau và chéo nhau.

Chọn A

Có vô số mặt phẳng song song với \(a\) và \(b\) \( \Rightarrow \)Khẳng định ở phương án \({\rm{A}}\) là khẳng định sai.

Chọn C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b \not\subset \left( \alpha  \right)\\b\,{\rm{//}}\,a\\a \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\).

Chọn D

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(F\) là trung điểm của \(CD\).

Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên ta có \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(N\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên ta có \(\frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}\).

Do đó \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}}\). Theo định lí Thalès đảo ta có \(MN\,{\rm{//}}\,EF\).

Mà \[EF \subset \left( {ABCD} \right)\] suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).

Chọn B

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng có thể: Cắt nhau, song song nhau hoặc chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{A}}\).

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right.\) thì \(a{\rm{ // }}b\) hoặc \(a\) và \(b\) chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{C}}\).

Nếu \(a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\) và đường thẳng \(b\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau hoặc chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{D}}\).

Chọn B

Chọn A

Mẫu số liệu \(\left( T \right)\) có \(12 + 20 + 5 + 14 + 7 = 58\) số liệu và 5 nhóm.

Chọn B

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là \(\left[ {7,0;\,\,7,5} \right)\).

Chọn C

Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).

Chọn B

Trong mỗi khoảng doanh thu, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số ngày là \(n = 20\). Doanh thu trung bình của cửa hàng trên là:

\(\bar x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4\) (triệu đồng).

Vậy \(\bar x \in \left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\).

Chọn D

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\).

\(\sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}}  =  - \frac{3}{5}\).

\(\tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{1 + \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{3}{4} - 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} =  - \frac{1}{7}\).

Xét ba mặt phẳng phân biệt: \(\left( {MCD} \right),\left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right)\).

Mà ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là:

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD;\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB;\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\).

Trong đó \[AB\,{\rm{//}}\,CD\], theo định lý về ba đường giao tuyến ta có \[AB\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,MN\].

Trong tam giác \[SAB\] từ \[M\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[SB\] tại \[N\].

Vậy \[N\] là điểm cần tìm.

\(h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t =  - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le  - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.\).

Vậy \[t = 1\,{\rm{s}}\], \[t = 5\,{\rm{s}}\], \[t = 7\,{\rm{s}}\] là các thời điểm cần tìm.

Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\]. Nối \[P\] với \[I\] kéo dài sẽ cắt \[SD\], \[BD\] theo thứ tự tại \[Q\] và \[E\].

Từ \[B\] kẻ đường thẳng song song với \[SO\], \[SD\] cắt \[EQ\] lần lượt tại \[H\], \[K\].

Vì \[BH\,{\rm{//}}\,SI\] nên \(\frac{{BH}}{{SI}} = \frac{{BP}}{{SP}} = \frac{1}{2};\,\,SI = IO \Rightarrow \frac{{BH}}{{OI}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BE}}{{OE}} = \frac{{BH}}{{OI}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BE}}{{ED}} = \frac{1}{3}\).

Vì \[BK\,{\rm{//}}\,SQ\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{BK}}{{SQ}} = \frac{{BP}}{{SP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow SQ = 2BK;\\\frac{{BK}}{{DQ}} = \frac{{BE}}{{ED}} = \frac{1}{3} \Rightarrow DQ = 3BK\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \frac{{SQ}}{{DQ}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{5}\).

Vậy \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{5}\).