Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Bình Giang (Hải Dương) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Trên đường tròn lượng giác. Số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\) như hình vẽ bên là
\( - \frac{\pi }{4}\).
\( - \frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
Chọn D
Ta có \(s\~n \,\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{2}\).
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\), biết góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) có số đo bằng \(50^\circ \), điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ mấy?
\(I\).
\(III\).
\(II\).
\(IV\).
Chọn A
Vì số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) bằng \(50^\circ \) và \(0^\circ < 50^\circ < 90^\circ \) nên điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Đường tròn lượng giác có bán kính bằng
\[2\].
\[1\].
\[\frac{\pi }{2}\].
\[2\pi \].
Chọn B
Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính \(R = 1\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5},\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)\). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{5}\).
Chọn A
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = \pm \frac{3}{5}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Do đó \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
Cho góc \[\alpha \] thoả mãn \[90^\circ < \alpha < 180^\circ \]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\[\sin \alpha < 0\].
\[cos\alpha \ge 0\].
\[\tan \alpha < 0\].
\[cot\alpha > 0\].
Chọn C
Với \[90^\circ < \alpha < 180^\circ \] thì \(\sin \alpha > 0\); \(\cos \alpha < 0\); \(\tan \alpha < 0\); \(\cot \alpha < 0\).
Trong tam giác \(ABC\), đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?
\(\sin \left( {A + B} \right) = \cos C\).
\(\cos A = \sin B\).
\(\tan A = \cot \left( {B + \frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}\).
Chọn D
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(A + B + C = \pi \Leftrightarrow A + B = \pi - C \Leftrightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\).
Suy ra \(\cos \frac{{A + B}}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - C} \right) = \sin \frac{C}{2}\).
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\).
\(\sin 2a = 2\sin a.\cos a\).
Chọn A
Ta có \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên khẳng định ở phương án \({\rm{A}}\) sai.
Tính giá trị biểu thức \(P = \sin 30^\circ .\cos 60^\circ + \sin 60^\circ .\cos 30^\circ \).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
\(P = \sqrt 3 \).
\(P = - \,\sqrt 3 \).
Chọn A
Ta có \(P = \sin 30^\circ .\cos 60^\circ + \sin 60^\circ .\cos 30^\circ = \sin \left( {30^\circ + 60^\circ } \right) = \sin 90^\circ = 1\).
Trong các công thức dưới đây, công thức nào đúng?
\(\cos a - \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a - \cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a - \cos b = - 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
Chọn D
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Chọn D
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Chọn C
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Các hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}\] là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn C
Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\].
Hàm số đồng biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\].
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\].
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\].
Chọn D
Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) là một đường “đi lên” từ trái qua phải.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B
Ta có \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm của phương trình \[\cos x = \frac{1}{2}\] là
\[x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi \], \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \], \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \], \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B
Ta có \[\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \) có tập nghiệm là
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\emptyset \].
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn C
Ta có \(\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm \(M\), \(N\)?
\(2\sin 2x = 1\).
\(2\cos 2x = 1\).
\(2\sin x = 1\).
\(2\cos x = 1\).
Chọn C
Ta có \(2\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\). Phương trình này có tập nghiệm được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm \(M\), \(N\).
Dãy số nào sau đây là dãy tăng?
\(1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9\).
\(10;\,\,8;\,\,6;\,\,4;\,\,2\).
\(1;\,\,5;\,\,3;\,\,7;\,\,9\).
\(1;\,\,1;\,\,1;\,\,1;\,\,1\).
Chọn A
Cho các dãy số sau, dãy số nào là dãy số vô hạn?
\(0;\,\,2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10.\).
\(1;\,\,\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{4};\,\,\frac{1}{8};\,\,...;\,\,\frac{1}{{{2^n}}};...\).
\(1;\,\,4;\,\,9;\,\,16;\,\,25.\).
\(1;\,\,1;\,\,1;\,\,1;\,\,1.\).
Chọn B
Cho dãy số được viết dưới dạng khai triển là: \( - 1;\,\,1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1;\,\,...\). Số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng:
\({u_n} = 1\).
\({u_n} = - 1\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\).
Chọn C
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 8 - 3n\). Tính giá trị của \({u_4}.\)
\(2\).
\( - \,7\).
\( - \,5\).
\( - \,4\).
Chọn D
Ta có \({u_4} = 8 - 3.4 = - 4\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có\({u_n} = \frac{1}{n}\). Khẳng định nào sau đây sai?
\({u_1} = 1\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 1.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Chọn B
Ta có \({u_1} = 1\) \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{A}}\).
Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
\( \Rightarrow \)Chọn phương án \({\rm{B}}\).
Một hình tứ diện có số mặt là
6.
4.
3.
5.
Lời giải
Chọn B
Trong không gian, cho 3 điểm phân biệt không thẳng hàng. Khi đó có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm đó?
1.
0.
2.
Vô số.
Chọn A
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
\(AB\) và \(CD\).
\(AC\) và \[BD\].
\(SB\) và \(CD\).
\(SD\) và \(BC\).
Chọn B
Hai đường chéo của hình thoi \(ABCD\) cắt nhau.
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \[b\] trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa \[a\] và \[b\]?
3.
1.
2.
4.
Chọn A
Hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) có 3 vị trí tương đối là: song song, cắt nhau và chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\), \(b\)và \(M \notin a\), \(M \notin b\). Khẳng định nào sau đây sai?
Có duy nhất một mặt phẳng song song với \(a\) và \(b\).
Có duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\).
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm \(M\), song song với \(a\) và \(b\).
Có vô số đường thẳng song song với \(a\) và cắt \(b\).
Chọn A
Có vô số mặt phẳng song song với \(a\) và \(b\) \( \Rightarrow \)Khẳng định ở phương án \({\rm{A}}\) là khẳng định sai.
Cho đường thẳng \[a\] nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Giả sử \[b \not\subset \left( \alpha \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \[b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\] thì \[b\,{\rm{//}}\,a\].
Nếu \[b\] cắt \[\left( \alpha \right)\] thì \[b\] cắt \[a\].
Nếu \[b\,{\rm{//}}\,a\] thì \[b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\].
Nếu \(b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) chứa \[b\] thì \(\left( \beta \right)\) sẽ cắt \[\left( \alpha \right)\] theo giao tuyến là đường thẳng \[d\] song song với \[a\].
Chọn C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b \not\subset \left( \alpha \right)\\b\,{\rm{//}}\,a\\a \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành như hình vẽ bên. Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trọng tâm của \(\Delta SAB;\,\,\Delta SCD\). Khi đó \[MN\] song song với mặt phẳng
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
Chọn D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(F\) là trung điểm của \(CD\).
Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên ta có \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(N\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên ta có \(\frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}}\). Theo định lí Thalès đảo ta có \(MN\,{\rm{//}}\,EF\).
Mà \[EF \subset \left( {ABCD} \right)\] suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu \(a\,\,{\rm{// }}\left( P \right)\) thì tồn tại trong \(\left( P \right)\) đường thẳng \(b\) để \(b\,{\rm{// }}a\).
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right.\) thì \(a{\rm{ // }}b\).
Nếu \(a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\) và đường thẳng \(b\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau.
Chọn B
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng có thể: Cắt nhau, song song nhau hoặc chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{A}}\).
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right.\) thì \(a{\rm{ // }}b\) hoặc \(a\) và \(b\) chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{C}}\).
Nếu \(a\,{\rm{ // }}\left( P \right)\) và đường thẳng \(b\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau hoặc chéo nhau \( \Rightarrow \)Loại phương án \({\rm{D}}\).
Chọn đáp án thích hợp điền vào dấu. trong câu sau: “Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định. Nhóm số liệu thường được cho dưới dạng …., trong đó \[a\] là đầu mút trái, \(b\) là đầu mút phải”.
\(\left\{ {a;b} \right\}\).
\(\left[ {a;b} \right)\).
\(\left( {a;b} \right]\).
\(\left( {a;b} \right)\).
Chọn B
Mẫu số liệu \(\left( T \right)\) được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm như sau:
Mẫu số liệu \(\left( T \right)\) có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?
\(58\) số liệu; \(5\) nhóm.
\(24\) số liệu; \(6\) nhóm.
\(5\) số liệu; \(58\) nhóm.
\(6\) số liệu; \(24\) nhóm.
Chọn A
Mẫu số liệu \(\left( T \right)\) có \(12 + 20 + 5 + 14 + 7 = 58\) số liệu và 5 nhóm.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê chiều cao của 35 cây bạch đàn trong rừng, ta có bảng số liệu sau:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là:
\(\left[ {6,5;\,\,7,0} \right)\).
\(\left[ {7,0;\,\,7,5} \right)\).
\(\left[ {7,5;\,\,8,0} \right)\).
\(\left[ {8,0;\,\,8,5} \right)\).
Chọn B
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là \(\left[ {7,0;\,\,7,5} \right)\).
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như bảng sau:
Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) trong bảng trên là:
10.
20.
30.
40.
Chọn C
Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).
Doanhthubánhàngtrong20ngàyđượclựachọn ngẫu nhiêncủamột cửahàngđượcghilạiởbảngsau(đơnvị:triệu đồng):
Sốtrungbìnhcủamẫu số liệutrênthuộckhoảngnàotrongcác khoảngdướiđây?
\[\left[ {7;{\rm{ }}9} \right)\].
\[\left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\].
\[\left[ {11;{\rm{ }}13} \right)\].
\[\left[ {13;{\rm{ }}15} \right)\].
Chọn B
Trong mỗi khoảng doanh thu, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Tổng số ngày là \(n = 20\). Doanh thu trung bình của cửa hàng trên là:
\(\bar x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4\) (triệu đồng).
Vậy \(\bar x \in \left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Chọn D
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0\).
\(\sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}\).
\(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{1 + \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{3}{4} - 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} = - \frac{1}{7}\).
(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD,\,AB > CD} \right)\). Gọi \[M\] là một điểm nằm trên cạnh \[SA\] sao cho \(SA = 3SM\). Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\).
Xét ba mặt phẳng phân biệt: \(\left( {MCD} \right),\left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right)\).
Mà ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là:
\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD;\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB;\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\).
Trong đó \[AB\,{\rm{//}}\,CD\], theo định lý về ba đường giao tuyến ta có \[AB\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,MN\].
Trong tam giác \[SAB\] từ \[M\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[SB\] tại \[N\].
Vậy \[N\] là điểm cần tìm.
(0,5 điểm) Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{3}t} \right)\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây, \(\left( {t \ge 0} \right)\). Tìm tất cả các thời điểm trong khoảng 9 giây đầu tiên để chiều cao của sóng đạt 45 cm.
\(h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t = - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.\).
Vậy \[t = 1\,{\rm{s}}\], \[t = 5\,{\rm{s}}\], \[t = 7\,{\rm{s}}\] là các thời điểm cần tìm.
(0,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\). Điểm \(P\) trên cạnh \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\). Gọi \(Q\) là giao điểm của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).
Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\]. Nối \[P\] với \[I\] kéo dài sẽ cắt \[SD\], \[BD\] theo thứ tự tại \[Q\] và \[E\].
Từ \[B\] kẻ đường thẳng song song với \[SO\], \[SD\] cắt \[EQ\] lần lượt tại \[H\], \[K\].
Vì \[BH\,{\rm{//}}\,SI\] nên \(\frac{{BH}}{{SI}} = \frac{{BP}}{{SP}} = \frac{1}{2};\,\,SI = IO \Rightarrow \frac{{BH}}{{OI}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BE}}{{OE}} = \frac{{BH}}{{OI}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BE}}{{ED}} = \frac{1}{3}\).
Vì \[BK\,{\rm{//}}\,SQ\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{BK}}{{SQ}} = \frac{{BP}}{{SP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow SQ = 2BK;\\\frac{{BK}}{{DQ}} = \frac{{BE}}{{ED}} = \frac{1}{3} \Rightarrow DQ = 3BK\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \frac{{SQ}}{{DQ}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{5}\).
Vậy \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{5}\).
