Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm học 2024-2025 THPT Tân Bình (TP.HCM) có đáp án
25 câu hỏi
PHẦN I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (5 điểm).
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
\(6\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
Qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định được duy nhất 1 mặt phẳng. Số mặt phẳng nhiều nhất có thể xác định từ 4 điểm không đồng phẳng chính là số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm đó: \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng (chính là 4 mặt của một hình tứ diện).
Chọn B.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha .\cot \alpha = 1,\,\forall x \ne k\frac{\pi }{2}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 2,\,\forall x \ne k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\,\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\,\forall x \ne k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Theo công thức cơ bản của hệ thức lượng giác: \({\rm{tan}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha = 1\) với điều kiện xác định là \(\alpha \ne k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A.
\(\sqrt 6 \).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
\(\frac{1}{6}\).
\( - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có hệ thức: \(1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) (góc thuộc góc phần tư thứ III) nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\). Do đó, \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn D.
Trên hình vẽ hai điểm \[M,N\] biểu diễn góc lượng giác có số đo là:
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ I có tia đầu là \(OA\), tia cuối là \(OM\) với \(\widehat {AOM} = \frac{\pi }{3}\). Điểm \(N\) đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ \(O\), nên các điểm này cách đều nhau một khoảng bằng \(\pi \) trên đường tròn lượng giác. Công thức tổng quát biểu diễn cho hai điểm \(M\) và \(N\) là: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B.
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
Khi \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) (góc thuộc góc phần tư thứ IV), ta có: \({\rm{cos}}\alpha > 0\), \({\rm{sin}}\alpha < 0\), \({\rm{tan}}\alpha < 0\), \({\rm{cot}}\alpha < 0\). Do đó mệnh đề \({\rm{cos}}\alpha > 0\) là đúng.
Chọn A.
\(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
\(1;1;1;1;1\).
\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
\(1;3;5;7;9\).
Dãy số \(1;3;5;7;9\) có số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước (\(3 > 1,5 > 3,...\)). Đây là một dãy số tăng.
Các dãy còn lại là dãy đan dấu hoặc dãy giảm.
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là
đường thẳng đi qua đỉnh \(S\) và song song với đường thẳng \(CD.\)
đường thẳng đi qua đỉnh \(S\) và song song với đường thẳng \(AC.\)
đường thẳng đi qua đỉnh \(S\) và song song với đường thẳng \(BD.\)
\(SO.\)
Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm chung là \(S\). Mặt khác, chúng lần lượt chứa hai đường thẳng song song với nhau là \(AB\) và \(CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).
Theo tính chất giao tuyến song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB,CD\).
Chọn A.
\(\frac{\pi }{{18}}\).
\(\frac{\pi }{9}\).
\(\pi \).
\(\frac{\pi }{{19}}\).
Công thức đổi từ độ sang radian: \(\alpha = \alpha ^\circ \cdot \frac{\pi }{{180^\circ }}\).
Áp dụng: \(20^\circ = 20 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}\) rad.
Chọn B.
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
Theo công thức các góc phụ nhau (sin bù, cos đối, phụ chéo): \({\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha \).
Chọn C.
\( - \frac{1}{8}\).
\[\frac{{\sqrt 7 }}{4}\].
\[\frac{1}{8}\].
\[ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\].
Sử dụng công thức nhân đôi:
\({\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = 1 - 2 \cdot \frac{9}{{16}} = 1 - \frac{9}{8} = - \frac{1}{8}\).
Chọn A.
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số \(y = {\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}}\) xác định khi \({\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn C.
\(m \ge - 1.\)
\(m \le - 1.\)
\(m \le 1.\)
\( - 1 \le m \le 1.\)
Vì tập giá trị của hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) luôn nằm trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\), do đó phương trình \({\rm{sin}}x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Chọn D.
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
Mệnh đề B nói rằng “Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng” là sai, bởi vì nếu hai đường thẳng đó chéo nhau thì không thể cùng thuộc một mặt phẳng nào cả. Để xác định mặt phẳng cần hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song.
Chọn B.
\({u_{12}} = 51\).
\({u_{12}} = 57\).
\({u_{12}} = 22\).
\({u_{12}} = 47\).
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Từ \({u_5} = 19 \Rightarrow {u_1} + 4d = 19 \Rightarrow 3 + 4d = 19 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4\).
Khi đó, giá trị số hạng thứ 12 là: \({u_{12}} = {u_1} + 11d = 3 + 11 \cdot 4 = 47\).
Chọn D.
Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng nào? (tham khảo hình vẽ)
\(\left( {\frac{{ - 3\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{2}} \right)\).
\(\left( { - \pi ;0} \right)\).
\(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( {0;\pi } \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số lượng giác \(y = {\rm{sin}}x\), trên khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị đi xuống từ điểm cực đại \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2};1} \right)\) tới điểm cực tiểu \(\left( { - \frac{\pi }{2}; - 1} \right)\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Chọn A.
\({u_n} = 3n + 1\).
\({2^{n + 1}}\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\).
Xét dãy số \({u_n} = 3n + 1\), ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {3n + 1} \right) = 3\) (là một hằng số \(d = 3\)). Do đó \({u_n} = 3n + 1\) là một cấp số cộng. Các phương án còn lại đều thuộc dạng cấp số nhân hoặc cấp số mũ.
Chọn A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(2{\rm{sin}}x = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[ABCD\] là hình thang \[\left( {AD > BC} \right)\]. Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\)(Hình bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBM} \right)\)là:
\(SO\)với \(O = AC \cap BD\).
\(SO\)với \(O = AD \cap BM\).
\(SO\)với \(O = AB \cap CD\).
\(SO\)với \(O = SC \cap BM\).
Ta thấy mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):
Ta có điểm chung đầu tiên rõ ràng là \(S\).
Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng \(AC\) cắt đường thẳng \(BD\) tại một điểm \(O\). Do \(AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(O\) là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\).
Chọn A.
\( - 2\).
\(3\).
\( - 1\).
\(1\).
\({u_2} = {u_1} - 2 = 3 - 2 = 1\).
\({u_3} = {u_2} - 2 = 1 - 2 = - 1\).
Chọn C.
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\(\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).
Theo công thức nhân đôi: \({\rm{cos}}2a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\). Do đó công thức ở phương án A: \({\rm{cos}}2a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\) (bằng 1) là sai.
Chọn A.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2 điểm).
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {x + \pi } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\).
\(f\left( x \right) = \cos x + \cos 2x\).
\(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\).
Số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) lên đường tròn lượng giác là 4 điểm.
Rút gọn hàm số \(f\left( x \right)\):
Ta có \({\rm{cos}}\left( {x + \pi } \right) = - {\rm{cos}}x\) và \({\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = {\rm{cos}}2x\).
Do đó: \(f\left( x \right) = - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x\).
a) Sai. Vì dấu đúng phải là \( - {\rm{cos}}x\).
b) Sai. Ta có \(f\left( { - x} \right) = - {\rm{cos}}\left( { - x} \right) + {\rm{cos}}\left( { - 2x} \right) = - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = f\left( x \right)\).
Do \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) nên đây là hàm số chẵn.
c) Đúng. Thay \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = - {\rm{cos}}0 + {\rm{cos}}0 = - 1 + 1 = 0\).
Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên đồ thị đi qua gốc tọa độ.
d) Sai. Xét \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = {\rm{cos}}x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm \(x = k2\pi \) được biểu diễn bởi 1 điểm (trùng với một trong các điểm của họ sau). Họ nghiệm \(x = \frac{{k2\pi }}{3}\) biểu diễn bởi 3 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác tạo thành một tam giác đều. Gộp lại ta có tổng cộng chính xác là 3 điểm phân biệt chứ không phải 4.
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), các điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,SC\). Gọi \(O = AC \cap BD\).
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đường thẳng \(SC\) và đường thẳng \(AB\) cắt nhau.
\(SO\) giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(I\) của đường thẳng \(AN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là trọng tâm tam giác \(SAC\).
Giao điểm của \(J\) của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là điểm nằm trên đường thẳng \(SD\). Ba điểm \(I,J,B\) không thẳng hàng.
a) Sai. Hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) chéo nhau vì chúng không cùng thuộc một mặt phẳng nào cả.
b) Đúng. Vì \(S\) là điểm chung thứ nhất, và \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) là điểm chung thứ hai.
c) Đúng. Xét trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), đường thẳng \(AN\) cắt \(SO\) tại điểm \(I\). Vì \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO\) là đường trung tuyến của , đồng thời \(AN\) cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh \(SC\). Giao điểm \(I\) của hai đường trung tuyến chính là trọng tâm của .
d) Sai. Thực chất, xét 3 điểm \(I,J,B\): điểm \(I \in AN \subset \left( {ABN} \right)\), điểm \(B \in \left( {ABN} \right)\), và giao điểm \(J\) của \(MN\) với \(\left( {SBD} \right)\) cũng thuộc mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) và đồng thời thuộc \(\left( {SBD} \right)\). Theo định lý về ba mặt phẳng cắt nhau hoặc quan hệ giao tuyến, ba điểm \(I,J,B\) chính là các điểm cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), do đó chúng phải thẳng hàng. Như vậy \(MN \cap BI = J\).
PHẦN III. Câu tự luận (3 điểm).
Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 3.
Tìm nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\).
Ta biến đổi phương trình về dạng cơ bản: \(2{\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vì \({\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), phương trình tương đương với: \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác của hàm sin, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
\(2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Trường hợp 2:
\(2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi \;|\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo quy tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có \(10\) tầng thì bạn An cần dùng bao nhiêu que diêm?
Ta tiến hành phân tích số que diêm cần dùng theo từng tầng từ trên xuống dưới:
Tầng 1 (trên cùng): Tổng số diêm cho tầng 1 là \({u_1} = 3\) que diêm.
Tầng 2: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 2 là \({u_2} = 7\) que.
Tầng 3: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 3 là \({u_3} = 11\) que.
Tổng quát, số lượng que diêm bổ sung cho tầng thứ \(n\) lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 4\).
Tổng số que diêm để hoàn thành một tháp gồm có \(10\) tầng chính là tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng này: \({S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = 5\left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 210\).
Vậy để xếp được tháp có \(10\) tầng, bạn An cần dùng tất cả 210 que diêm.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Xét hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\):
Tìm điểm chung thứ nhất: Ta thấy ngay điểm \(C\) đều thuộc cả hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), tức là \(C \in \left( {AGC} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Tìm điểm chung thứ hai:
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\). Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\), nên điểm \(G\) phải thuộc đường trung tuyến \(CM\), kéo theo \(G \in \left( {ACM} \right)\). Vậy mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) thực chất chính là mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\).
Bây giờ việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) quy về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Ta tìm giao điểm của \(AM\) với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\):
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC\). Mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có chung điểm \(S\) và chứa hai đường thẳng song song \(AD{\rm{//}}BC\), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \(Sx\) song song với \(AD\) và \(BC\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kéo dài \(AM\) cắt đường thẳng giao tuyến \(Sx\) tại điểm \(P\).
Vì \(P \in Sx \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(P \in \left( {SBC} \right)\). Mặt khác \(P \in AM \subset \left( {AMC} \right) \equiv \left( {AGC} \right)\).
Do đó \(P\) là điểm chung thứ hai của hai mặ phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(CP\).
