Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Hoàng Văn Thụ (Hà Nội) có đáp án
16 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
\(\frac{{10}}{{19}}\).
\(\frac{{19}}{{20}}\).
\(\frac{{20}}{{19}}\).
\(\frac{{19}}{{10}}\).
Ta có: \({u_7} = \frac{{3.7 - 1}}{{5.7 + 3}} = \frac{{20}}{{38}} = \frac{{10}}{{19}}\).
\(A = - \cos x\).
\(A = 3\cos x\).
\(A = 2\cos x\).
\(A = 0\).
Ta có: \(A = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) - \cos \left( { - x} \right) + \cos \left( {x + \pi } \right)\)=\(2\cos x - \cos x - \cos x = 0\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\cos a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)} \right]\).
Vì \(\cos a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).
1.
3.
4.
2.
Chọn D
Ta có: \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = m - 3\)
\[ \Leftrightarrow \cos 2x = 3 - m\]
Phương trình có nghiệm thhuộc \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right)\) khi \( - \frac{1}{2} \le \cos 2x \le 1\) \( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le 3 - m \le 1\)
hay \( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{7}{2}\)
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
IV.
III.
I.
II.
Điểm biểu diễn cung có số đo \(\alpha = - \frac{{3\pi }}{4}\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ
Từ đó chọn B.
\(y = \sin x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cos 2x\).
\(y = \cot x\).
Chọn A
Hàm số \(y = \sin ax\) chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\)
Hàm số \(y = \cos ax\) chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\)
Hàm số \(y = \tan ax\) chu kì là \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\)
Hàm số \(y = \cot ax\) chu kì là \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\)
Ta được đáp án đúng là A.
\(450^\circ \).
\(900^\circ \).
\(45^\circ \).
\(225^\circ \).
Chọn A
Góc có số đo \(\frac{{15\pi }}{6}\) số đo độ là \[\frac{{15\pi }}{6}.\frac{{180^\circ }}{\pi } = 450^\circ \].
Phương trình nào sau đây có nghiệm?
\({\cot ^2}x = - 1\).
\(\tan x = \pi \).
\(\sin 3x = \frac{5}{4}\).
\(\cos x = - \frac{\pi }{2}\).
Chọn B
A. sai vì \({\cot ^2}x \ge 0\)
C. sai vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) và \(\frac{5}{4} > 1\)
D. sai vì \( - 1 \le \cos x \le 1\)và \( - \frac{\pi }{2} < - 1\)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
ĐKXĐ: \(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \)
\(6\).
\(26\).
\(\frac{{37}}{4}\).
\(\frac{{37}}{2}\).
Chọn D
Ta có: \(\sin x.\cos x + 3 = \frac{1}{3}\sin 2x + 3\)
\( - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 3 \le \frac{7}{3}\)
Suy ra \(S = {M^2} + {m^2} = \frac{{25}}{4} + \frac{{49}}{4} = \frac{{37}}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành (tham khảo hình vẽ)
\(AB\) và \(SD\) cắt nhau.
\(BC\) và \(SA\) chéo nhau.
\(AD\) và \(SC\) song song.
\(AC\) và \(BD\) song song.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Có duy nhất một mặt phẳng chứa ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Có duy nhất một mặt phẳng chứa một điểm và một đường thẳng cho trước.
Chọn D
Vì nếu điểm thuộc đường thẳng sẽ có vô số mặt phẳng chứa một điểm và một đường thẳng cho trước đó.
PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm)
(1,5 điểm) Cho \(\sin a = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\cos a\); \(\cos 2a\); \(\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\).
ADCT: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Rightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\).
Vậy \(\cos a = - \frac{4}{5}\).
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = \frac{7}{{25}}\)
\(\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{3} + \sin a\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\).
(1,5 điểm)
1) Giải phương trình: \(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 2 = 0\).
2) Chứng minh: \[\frac{{1 - \sin a - \cos 2a}}{{\cos a - \sin 2a}} = - \tan a\]. (với giả thiết biểu thức có nghĩa)
1) Giải phương trình: \(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 2 = 0\).
\(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
2) Chứng minh: \[\frac{{1 - \sin a - \cos 2a}}{{\cos a - \sin 2a}} = - \tan a\]
Xét vế trái \[\frac{{1 - \sin a - \cos 2a}}{{\cos a - \sin 2a}} = \frac{{1 - \sin a - 1 + 2{{\sin }^2}a}}{{\cos a - 2\sin a\cos a}}\]
\( = \frac{{\sin a\left( {2\sin a - 1} \right)}}{{ - \cos a\left( {2\sin a - 1} \right)}} = - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\)\( = - \tan a\) (Điều phải chứng minh).
(1 điểm) Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết tâm thu và huyết tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp \(120/80\) là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(p\left( t \right) = 110 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\), trong đó \(p\left( t \right)\) là huyết áp tính theo đơn vị \(mmHg\)(milimét thủy ngân) và thời gian tính theo giây.
1. Tính huyết áp của người đó khi \(t = \frac{{25}}{{14}}\).
2. Tính chỉ số huyết áp của người đó.
Từ phương trình :\(p\left( t \right) = 110 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\) ta được
1. \(p\left( {\frac{{25}}{{14}}} \right) = 110 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}.\frac{{25}}{{14}}} \right) = 120\)
2. Chỉ số huyết áp: \(130/90\).
(3 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, \(AD//BC;\,AD = 3BC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD\,\)và \(SD\). \(E\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BE = \frac{1}{3}BC\).
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
3. Tìm điểm \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(EN\) và \(\left( {SAC} \right)\). Tính \(\frac{{IE}}{{IN}}\).
1. Có \(S\) là điểm chung của \(\left( {SAM} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
Trong mp \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(P = AM \cap BD\)
\( \Rightarrow \,P\) là điểm chung của \(\left( {SAM} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)(\(S \ne P\))\( \Rightarrow \,SP = \left( {SAM} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
2. Ta có \(MN//SC\),\(E \in \left( {EMN} \right) \cap \left( {SBC} \right)\)và \(\left( {EMN} \right) \supset MN;\,\left( {SCB} \right) \supset SC\)
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EMN} \right)\)và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(E\) và \(//SC\)
3. Chỉ ra được giao điểm \(I\)của \(NE\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(NE\) và \(SQ\) (với \(Q = AC \cap DE\))
Tính được tỉ lệ \(\frac{{IE}}{{IN}} = \frac{4}{9}\).
