Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án

Chọn C

Ta có: \(\sin \left( {a - {{23}^0}} \right)\cos \left( {a + {{37}^0}} \right) - \cos \left( {a - {{23}^0}} \right)\sin \left( {a + {{37}^0}} \right) = \sin \left[ {\left( {a - {{23}^0}} \right) - \left( {a + {{37}^0}} \right)} \right]\)

\( = \sin \left( { - {{60}^0}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn B

Biến đổi về dạng bình phương: \(y = {\sin ^2}x - \sin x + \frac{5}{4} = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 \ge 1\).

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(1\) đạt được khi và chỉ khi \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k.2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi .}\end{array}} \right.\)

Chọn B

\(A = \frac{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}} = \frac{{2\sin 3x.\cos 2x + \sin 3x}}{{2\cos 3x.\cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{\sin 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}} = \tan 3x.\)

Chọn A, D

Ta có: \[ - 2{\sin ^2}\left( { - x} \right) + 2 =  - 2{\sin ^2}x + 2\] và \[ - 2\cos 2\left( { - x} \right) =  - 2\cos 2x\] nên hai hàm số \[y =  - 2{\sin ^2}x + 2\] và \[y =  - 2\cos 2x\] là hai hàm số chẵn.

Chọn C

Để phương trình \(m\sin 2x - 4\cos 2x =  - 6\) có nghiệm:

\({m^2} + {4^2} < {\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow {m^2} < 20 \Leftrightarrow  - 2\sqrt 5  < m < 2\sqrt 5 .\)

Suy ra \(a =  - 2\sqrt 5 \); \(b = 2\sqrt 5 \). Vậy: \(a.b =  - 20.\)

Chọn C

\(P = \frac{{\sin x - 3\cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1}} = \frac{{\tan x - 3}}{{\tan x + 1}} = \frac{{ - 2 - 3}}{{ - 2 + 1}} = 5.\)

Chọn D

\(1 - 5\sin x + 2{\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow 1 - 5\sin x + 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2}}\\{\sin x = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k.2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn D

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k.2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}.\)

Chọn B

\(2\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{3} + k.2\pi }\\{2x =  - \frac{\pi }{3} + k.2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k.\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{6} + k.\pi .}\end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chọn A

\[h = 4\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 15 \le 4.1 + 15 = 19.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = k.2\pi  \Leftrightarrow t =  - 2 + 12k.\]

\(k = 1\) thì \(t = 10.\)

Chọn C

\(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 2 \Leftrightarrow \sin x.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k.2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi .\)

Ta có: \(0 < x = \frac{{5\pi }}{6} + k.2\pi  < 5\pi  \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{25}}{{12}}\). Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;\,1;\,2.\)

Chọn B

\(\cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn A 

Do \[BP = 2PD\] nên trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\): \(CD\) cắt \(NP\) tại \(E\).

Suy ra: \(CD \cap \left( {MNP} \right) = E.\)

Chọn A 

Do \(AM = 2MC\) nên trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) ta có \(MN \cap BC = K.\)

Suy ra: Giao điểm của \(CD\) với \(\left( {IMN} \right)\) là giao điểm của \(CD\) với \(IK\).

Chọn B 

Ta có \(S \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right):\,MN \cap CD = O \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\, = SO.\)

Do \(\left( M \right)\), \(\left( N \right)\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC\) nên:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{AD}}{2} = \frac{{BC}}{2} = NC}\\{AM\,{\rm{//}}\,NC}\end{array} \Rightarrow } \right.\,O\)là trung điểm \(AC\) hay \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD.\)

Chọn B 

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right):\,KH \cap SO = E\)mà \(K,\,H\, \in \,\left( {SAC} \right)\) nên giao điểm của \(SO\) với \(\left( {MNK} \right)\) là điểm \(E\).

Chọn B 

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right):\,\,OM\,{\rm{//}}\,AD\)(Tính chất đường trung bình).

Mà \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) suy ra \(OM\,{\rm{//}}\,BC\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OM\,{\rm{//}}\,BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array} \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right).} \right.\)

Chọn A 

Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\): \(AN\) và \(DM\)là hai trung tuyến của tam giác \(ACD\)nên \(AN\) cắt \(DM\)tại trọng tâm \(G\) của tam giác.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{G \in DM,\,DM \subset \left( {MBD} \right)}\\{G \in AN,\,AN \subset \left( {ABN} \right)}\\{AM \cap BN = G}\end{array} \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\,\,\,\left( 1 \right)} \right.\)

Và \(B \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(\left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\, = BG.\)

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\]. Vì \[ - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le 0 \Rightarrow \cos \alpha  > 0\].Suy ra \[\cos \alpha  = \frac{3}{5}\]

\[\cos 2\alpha  =  - \frac{7}{{25}}\]; \[\sin 2\alpha  =  - \frac{{24}}{{25}}\]

\[T =  - \frac{7}{6}\].

a) \[2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

Giải được \[x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Kết luận.

b) \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} =  - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] . Kết luận.

c) \[\cos x - \sqrt 3 \sin x =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \pi  + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} - k2\pi \\x =  - \frac{{13\pi }}{{12}} - k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Kết luận.

a) Vẽ hình đúng

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] có \[DN \cap AC = O \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in DN \subset \left( {SDN} \right)\\O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[O\] là điểm chung của \[\left( {SDN} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\]

            \[S\] là điểm chung của \[\left( {SDN} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\] \[ \Rightarrow \left( {SDN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\].

b) Có \[\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{3}{4};\,\,\,\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CB}} = \,\,\frac{{CH}}{{CA}}\]

\[ \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,AB\]mà \[AB\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}} \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}}\].

Có \[HN\,{\rm{//}}\,{\rm{DC}}{\rm{,}}\,\,{\rm{DC}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right),HN \notin \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,\left( {SC{\rm{D}}} \right)\].

c) Trong (ABCD) có\[DN \cap AB = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in DN \subset \left( {IND} \right)\\M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\]. Suy ra M và I là điểm chung của (IND) và (SAB) \[ \Rightarrow \left( {IND} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MI\].

Trong (SAB) có \[MI \cap SB = K \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SB\\K \in MI \subset \left( {IND} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K = SB \cap \left( {IND} \right)\].

Ta có \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\)

Phương trình trở thành \(8{\cos ^2}4x + 3\cos 4x = 8m + 3\)

Đặt \(t = \cos 4x,\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) nên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình trở thành \(8{t^2} + 3t = 8m + 3\,\,\,(*)\)

Ứng với mỗi \(t \in {\rm{[}} - 1;1)\) thì phương trình \(\cos 4x = t\) sẽ có ta hai giá trị của \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\)

Với \(t = 1\) thì phương trình \(\cos 4x = t\) cho ta đúng một giá trị của \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\)

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm \(t\) phân biệt thuộc \({\rm{[}} - 1;1)\).

Xét hàm \(f(t) = 8{t^2} + 3t\) trên \({\rm{[}} - 1;1)\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

\( \Leftrightarrow  - \frac{9}{{32}} < 8m + 3 \le 5 \Leftrightarrow  - \frac{{105}}{{256}} < m \le \frac{1}{4}\). Kết luận.