Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Bùi Thị Xuân (Hà Nội) có đáp án
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
\(5\).
\(6\).
\(8\).
\(7\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7\).
Vậy Số \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ bảy của dãy số
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của \(25\) cây dừa giống như sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = \frac{{175}}{7}\).
\({M_e} = \frac{{165}}{3}\).
\({M_e} = \frac{{165}}{5}\).
\({M_e} = \frac{{165}}{7}\).
Đáp án đúng là: D
Cỡ mẫu: \(n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25\).
\({x_1},\,{x_2},\,...,{x_{25}}\) là chiều cao của 25 cây dừa giống được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là \({x_{13}}\).
Do \({x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {20;30} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó:
\(p = 3\), \({a_3} = 20\), \({m_3} = 7\), \({m_1} + {m_2} = 10\), \({a_4} - {a_3} = 10\). Do đó:
\({M_e} = 20 + \frac{{\frac{{25}}{2} - 10}}{7}.10 = \frac{{165}}{7}\).
\(14.\)
\(20.\)
\(12.\)
\(18.\)
Số ngày chất lượng không khí dưới mức trung bình, tức là số ngày mà chỉ số AQI từ 100 trở lên là: 7 + 4 + 3 = 14 ngày.
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 1 = 0.\)
\({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x.\)
\({\sin ^2}x = - 1 + {\cos ^2}x.\)
\({\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 1.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số đã cho xác định khi \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) nên tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};\frac{{\rm{\pi }}}{3} + k2{\rm{\pi }}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};{\rm{\pi }} + k2{\rm{\pi }}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }}; - \frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};\frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Đáp án đúng là: D
\[\sin 2x = \sin x \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
Biểu diễn các nghiệm \[x = k\pi \],\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \] trên đường tròn lượng giác ta thấy trùng với các nghiệm \[x = k2{\rm{\pi }};x = \frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\], \[k \in \mathbb{Z}\].
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
\(\sin x = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}\) .
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\)
\(\cos 2x = {\cos ^3}x - {\sin ^3}x\).
\({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a = - \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).
\({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).
\({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a = - \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\[\sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a + \cos a\]
\({u_n} = \frac{n}{{n + 2023}}.\)
\({u_n} = {2^n} + 2023.\)
\({u_n} = \sqrt {{n^2} + 2023} .\)
\({u_n} = n + \frac{{2023}}{n}\,.\)
Ta có \(0 < \frac{n}{{n + 2023}} < \forall n \ge 1.\) Nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{n}{{n + 2023}}\) là dãy số bị chặn.
Số trung vị
Tứ phân vị thứ nhất.
Tứ phân vị thứ hai
Số trung bình
Số a thoả mãn có 25% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn a và 75% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn a là tứ phân vị thứ nhất.
Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng bảng phân bố tần số ghép lớp như sau.
Hỏi số lá có chiều dài từ 30cm đến dưới 50cm chiếm bao nhiêu phần trăm?
57%.
56,7%.
56%.
50%.
Đáp án đúng là: B
Số lá có độ dài dưới 30 cm chiếm: 13,3% + 30% = 43,3%.
Số lá có độ dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm: 100% − 43,3% = 56,7%.
\( - \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.\)
Với \({u_1} = - \frac{1}{2},\) công sai \(d = \frac{1}{2}.\) Ta có \({u_1} = - \frac{1}{2};{u_2} = 0;{u_3} = \frac{1}{2};{u_4} = 1;{u_5} = \frac{3}{2}.\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(\sqrt 3 + 3{\rm{tan}}x = 0 \Leftrightarrow {\rm{tan}}x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \),\[k \in \mathbb{Z}\]
Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Xuân thu được kết quả sau:
Số lần đi muộn | 0 – 2 | 3 – 5 | 6 – 8 | 9 – 11 | 12 – 14 |
Số học sinh | 23 | 8 | 5 | 3 | 1 |
Trung bình mỗi học sinh trong lớp đi muộn bao nhiêu buổi trong một học kì?
3,125
3,4
3,325
3,2
Đáp án đúng là: C
Trong mỗi khoảng số lần đi muộn của các bạn trong lớp, giá trị đại diện chính là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Số lần đi muộn | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |
Số học sinh | 23 | 8 | 5 | 3 | 1 |
Tổng số học sinh là n = 23 + 8 + 5 + 3 + 1 = 40.
Trung bình trong học kì mỗi học sinh đi muộn số buổi là
\(\overline x = 23.1 + 8.4 + 5.7 + 3.10 + 1.1340{\rm{\;}} = 3,325\)(buổi).
\(\sin \left( {2024a} \right) = 2\sin \left( {1012a} \right).\cos \left( {1012a} \right).\)
\(\sin \left( {2024a} \right) = 2024\sin \left( {1012a} \right).\cos \left( {1012a} \right).\)
\(\sin \left( {2024a} \right) = 2024\sin a.\cos a.\)
\(\sin \left( {2024a} \right) = 2\sin a\cos a.\)
\[\ell \approx 2,94{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
\[\ell \approx 3,39{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
\[\ell \approx 1,49{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
\[\ell \approx 3,93{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
Áp dụng \(l = R.\alpha \) ta có \(l = 20.\frac{\pi }{{16}} \approx 3,93{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(M = 2,{\rm{ }}m = - 2.\)
\(M = 1,{\rm{ }}m = - 5.\)
\(M = 0,{\rm{ }}m = - 2.\)
\(M = 3,{\rm{ }}m = 1.\)
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \( - 5 \le 3\sin x - 2 \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất \(M = 1\) và giá trị nhỏ nhất \(m = - 5\)
Vô số
0
1
2
Mẫu số liệu ghép nhóm với tần số các nhóm bằng nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
\(\sin \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0.\)
\(\cos \alpha > 0.\)
\(\cot \alpha > 0.\)
Điểm cuối của góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ hai thì có tung độ dương nên \(\sin \alpha > 0.\)
73.
79.
77.
75.
Đáp án đúng là: C
Gọi số hàng cây là \(n.\)Nhận xét số cây ở các hàng lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1.\)
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\) ta có \(\left( {2 + n - 1} \right)n = 6006 \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n = - 78\end{array} \right.\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_3} = 13\).
\({Q_3} = 15\).
\({Q_3} = 14\).
\({Q_3} = 12\).
Đáp án đúng là: C
Cỡ mẫu: \(n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do \({x_{15}},\,\,{x_{16}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {12;16} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_3}\).
Do đó: \(p = 4\), \({a_4} = 12\), \({m_4} = 4\), \({m_1} + {m_2} + {m_3} = 2 + 4 + 7 = 13\), \({a_5} - {a_4} = 4\). Ta có:
\({Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 13}}{4}.4 = 14\).
\({u_1} = - 16.{\mkern 1mu} \;\;\;\;\)
\({u_1} = - \frac{1}{{16}}.\;\;\;\)
\({u_1} = \frac{1}{{16}}.{\mkern 1mu} \)
\({u_1} = 16.\)
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\) ta có \(\left( {2{u_1} - 2.7} \right)4 = 72 \Leftrightarrow 2{u_1} - 14 = 18 \Leftrightarrow {u_1} = 16\).
\({u_2} = 4.\)
\({u_3} = - 6.\)
\({u_1} = - 2.\)
\({u_4} = - 8.\)
Với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n \Rightarrow {u_4} = 8\).
\(\frac{\pi }{{180a}}\).
\(\frac{{a\pi }}{{180}}\).
\(180\pi a\).
\(\frac{{180\pi }}{a}\).
Ta có \({a^0} = a.\frac{\pi }{{180}}\) radian
\({\rm{cos}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{sin}}b + {\rm{cos}}a{\rm{cos}}b\).
\({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b + {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\).
\({\rm{cos}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{sin}}b - {\rm{cos}}a{\rm{cos}}b\).
\({\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\).
\({u_n} = - 2n + 19.\)
\({u_n} = - {2^n} + 15.\)
\({u_n} = - 2n - 21.\)
\({u_n} = - 4n + 9.\)
Với \({u_n} = - {2^n} + 15.\)Ta có \({u_1} = 13;{u_2} = 11;{u_2} = 7.\) Khi đó \({u_2} - {u_1} \ne {u_3} - {u_2}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - {2^n} + 15\) không phải là cấp số cộng.
\(64.\)
\(81.\)
\(720.\)
\(56.\)
Ta có số hạng tiếp theo bằng \(\frac{{{{36}^2}}}{{16}} = 81\).
16.
9.
18.
17.
Ta có \(32805 = {3^{9 - 1}}.5\) suy ra số hạng chính giữa \(32805\) là số hạng thứ \(9.\)Dãy có \(9{\rm{\cdot}}2 - 1 = 17\)số hạng
\(y = \tan x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \cot x.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 2\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 3\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 3\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 2\end{array} \right..\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_6} = 192}\\{{u_7} = 384}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^5} = 192\left( 1 \right)}\\{{u_1} \cdot {q^6} = 384\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.\)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được \(q = 2\) thế vào (1):
(1) \( \Leftrightarrow {u_1} \cdot {2^5} = 192 \Leftrightarrow {u_1} = 6\)
Vậy \({u_1} = 6\) và \(q = 2\)
\[m \le 0\].
\[ - 2 \le m \le 0\].
\[0 \le m \le 1\].
\[m \ge 1\].
Phương trình \(\sin {\mkern 1mu} x = m + 1\) có nghiệm khi \( - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).
\[y = - \sin x.\]
\[y = 1 + \sin 2x.\]
\[y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\]
\[y = - \cos x.\]
Đường cong ở hình trên là đồ thị của một hàm số \[y = \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\]
\[x = k\pi \].
\[x = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi \].
\[x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \].
\[x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \].
\[\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Thời gian (phút) | \([0;20)\) | \([20;40)\) | \([40;60)\) | \([60;80)\) | \([80;100)\) |
Số học sinh | \(5\) | \(9\) | \(12\) | \(10\) | \(6\) |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
\([60;80)\)
\([20;40)\)
\([40;60)\)
\([80;100)\)
Tần số của nhóm \([40;60)\)lớn nhất (=12) nên mốt thuộc nhóm \([40;60).\)
\[x = \pm \frac{1}{3}\,.\]
\(x = \pm 3.\)
\[x = \pm \sqrt 3 .\]
\[x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
Đáp án đúng là: D
Ba số \(2x - 1;{\rm{\;}}x;{\rm{\;}}2x + 1{\rm{\;}}\)theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân khi
\((2x - 1)(2x + 1) = {x^2}\)⇔\({x^2} = 4{x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Giải phương trình: \(\sin 4x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\)
\(\sin 4x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Quãng đường (\({\rm{km}})\) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là \([0;5)\). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
a)
b) Với mẫu số liệu không ghép nhóm:
\(\bar x = (5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + \)
\[7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12):{\rm{ }}40 = 11.9\]
Với mẫu số liệu ghép nhóm: \(\bar x = \frac{{2.5 \times 6 + 7.5 \times 10 + 12.5 \times 11 + 17.5 \times 9 + 22.5 + 27.5 + 32.5 \times 2}}{{40}} = 12.5\)
Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn.
a) Tính \(\sin 2a,{\rm{cos}}2a\), biết: \({\rm{sin}}a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
b) Với hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông thành phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) thành phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm \(49,99\% \).
a)Ta có: \({({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a + 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\rm{sin}}2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\rm{sin}}2a = - \frac{3}{4}{\rm{.\;}}\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}\), do đó \({\rm{cos}}2a < 0\). Mặt khác từ \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2a} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2a} \right) = 1\)
Suy ra \({\rm{cos}}2a = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
b) Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là \({u_n},n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Ta có dãy các giá trị \({u_n}\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{4}{9}\) và công bội \(q = \frac{1}{9}\).
Gọi \({S_k}\) là tổng của \(k\) số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì \({S_k} = \frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}}\).
Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm \(49,99{\rm{\% }}\) thì \(\frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}} \ge 0,4999 \Leftrightarrow k \ge 3,8\).
Vậy cần ít nhất 4 bước.
