Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Minh Hà (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Rút gọn biểu thức \(E = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)ta được kết quả là:
\(\sin \alpha + \cos \alpha .\)
\(2\cos \alpha .\)
\(2\sin \alpha .\)
\(0.\)
Sử dụng công thức liên hệ giữa các góc lượng giác đặc biệt:
\({\rm{cos}}\left( {\pi + \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \); \({\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha \).
Thay vào biểu thức ta được: \(E = - {\rm{cos}}\alpha + {\rm{cos}}\alpha = 0\).
Chọn D.
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\[\cos \left( {a-b} \right) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b.\]
\[\sin \left( {a-b} \right) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b.\]
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b.\]
\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b.\]
Theo công thức cộng đối với hàm số lượng giác của sin: \({\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\).
Chọn B.
\[\left\{ {x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {x = \pm 150^\circ + 2k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Vì \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{cos}}\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)\), phương trình lượng giác cơ bản có nghiệm là: \(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C.
Đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)là hình nào sau đây?
Hình 4.
Hình 3.
Hình 1.
Hình 2.
Hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) là hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) làm tâm đối xứng và đi qua điểm \(O\).
Xét tại giá trị \(x = \frac{\pi }{2}\), ta có \(y = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Đối chiếu các hình vẽ, hình thỏa mãn chính là Hình 2.
Chọn D.
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Hàm số \(y = \sin x\)tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \tan x\)tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\)tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = {\rm{tan}}x\) là hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì là \(\pi \). Do đó khẳng định “Hàm số \(y = {\rm{tan}}x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \)” là một mệnh đề sai.
Chọn C.
Cho \(\widehat {uOv} = 45^\circ \). Xác định số đo góc lượng giác được biểu diễn trong hình dưới đây?
\(45^\circ {\rm{.}}\)
\( - 315^\circ .\)
\(315^\circ {\rm{.}}\)
\( - 45^\circ {\rm{.}}\)
Tia đầu của góc lượng giác là tia \(u\) và tia cuối là tia \(v\). Chiều quay được ký hiệu theo chiều kim đồng hồ, tức là góc mang giá trị âm.
Công thức tính số đo góc biểu diễn: \( - \left( {360^\circ - 45^\circ } \right) = - 315^\circ \).
Chọn B.
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABD\) và \(ABC\). Đường thẳng \(IJ\) song song với đường nào?
\(CD.\)
\(BC.\)
\(AD.\)
\(AB.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\).
Do \(I\) là trọng tâm và \(\frac{{MI}}{{MD}} = \frac{1}{3}\).
Do \(J\) là trọng tâm và \(\frac{{MJ}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).
Trong tam giác \(MCD\), xét tỷ số \(\frac{{MI}}{{MD}} = \frac{{MJ}}{{MC}} = \frac{1}{3}\). Áp dụng định lý Thales đảo trong tam giác, ta suy ra \(IJ{\rm{//}}CD\).
Chọn A.
\[\left( { - \pi ;0} \right).\]
\[\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right).\]
\[\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right).\]
\[\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right).\]
Hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) nghịch biến trên các khoảng có dạng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Với \(k = 0\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Vì \(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
Chọn B.
\(\frac{{7\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{5\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{5\pi }}{8}.\)
\(\frac{\pi }{{12}}.\)
Áp dụng công thức đổi đơn vị từ độ sang rađian: \(\alpha = 105 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{{12}}{\rm{\;rad}}\).
Chọn A.
\(\sin \alpha < 0\) và \(\cos \alpha > 0.\)
\(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha > 0.\)
\(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0.\)
\(\sin \alpha < 0\) và \(\cos \alpha < 0.\)
Khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thuộc góc phần tư thứ III trên đường tròn lượng giác. Tại đây, tất cả các điểm biểu diễn đều có giá trị hoành độ và tung độ nhỏ hơn 0. Do đó \({\rm{sin}}\alpha < 0\) và \({\rm{cos}}\alpha < 0\).
Chọn D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.
Hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng thì cắt nhau.
Theo định nghĩa trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong bất kỳ một mặt phẳng nào, vì vậy chúng chắc chắn không có điểm chung.
Chọn A.
Bốn điểm phân biệt\[.\]
Một điểm và một đường thẳng\[.\]
Ba điểm phân biệt\[.\]
Hai đường thẳng cắt nhau\[.\]
Dựa theo các tính chất cơ bản trong hình học không gian, qua hai đường thẳng cắt nhau ta hoàn toàn xác định được một và chỉ một mặt phẳng duy nhất chứa cả hai đường thẳng đó.
Chọn D.
PHẦN II. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(SC.\)
\(SC\) và \(BD\) là hai đường thẳng chéo nhau.
\(\left( {SCD} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Sx\) trong đó \(Sx\) song song với \(CD.\)
\(BD \cap \left( {SAC} \right) = O.\)
Đường thẳng \(MO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right).\)
a) ĐÚNG. Vì \(SC\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), còn \(BD\) cắt mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) tại điểm \(O\) không thuộc đường thẳng \(SC\). Do đó, chúng là hai đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng.
b) SAI. Xét hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) có đường thẳng \(AB{\rm{//}}CD\). Điểm chung duy nhất đã biết của hai mặt phẳng này là điểm \(M\). Do đó, giao tuyến phải là đường thẳng \(Mx\) đi qua \(M\) và song song với \(CD\)không phải xuất phát từ đỉnh \(S\).
c) ĐÚNG. Vì \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) thuộc mặt đáy, mà \(AC \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(BD\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
d) SAI. Điểm \(M \in SC \subset \left( {SAC} \right)\) và điểm \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\), suy ra toàn bộ đường thẳng \(MO\) phải nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chứ không song song.
Điểm biểu diễn góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ nhất.
Nếu \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\] thì \(\tan \alpha = \frac{4}{3}.\)
Nếu \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\] thì \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{4\sqrt 2 }}{5}.\)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \[A\] là \(\sqrt 2 + 1.\)
a) SAI. Với miền giá trị \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) phải thuộc góc phần tư thứ II.
b) SAI. Do \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ II nên giá trị \({\rm{cos}}\alpha < 0\). Ta tính được \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \frac{3}{5}\). Từ đó \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = - \frac{4}{3}\).
c) ĐÚNG. Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho vế trái:
\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) + {\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = 2{\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{5}\).
d) ĐÚNG. Với \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), hàm số \({\rm{sin}}\alpha \) nghịch biến nên \({\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) \le {\rm{sin}}\alpha \le {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le {\rm{sin}}\alpha \le 1\).
Suy ra \(\sqrt 2 - 1 \le 2{\rm{sin}}\alpha - 1 \le 1\).
Giá trị lớn nhất của \(A\) đạt được khi mẫu số nhỏ nhất: \({A_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\).
Số hạng \({u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5}.\)
Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 252 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right).\)
\({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
a) ĐÚNG. Thay giá trị \(n = 2:{u_2} = \frac{{2 \cdot 2 + 1}}{{2 + 2}} = \frac{5}{4}\). Thay giá trị \(n = 3:{u_3} = \frac{{2 \cdot 3 + 1}}{{3 + 2}} = \frac{7}{5}\).
b) SAI. Đặt biểu thức \(\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84\left( {2n + 1} \right) = 167\left( {n + 2} \right) \Leftrightarrow 168n + 84 = 167n + 334 \Leftrightarrow n = 250\). Do đó, số này là số hạng thứ 250 chứ không phải 252.
c) ĐÚNG. Xét hiệu số hạng liên tiếp: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 3}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{3}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Dãy số tăng đều.
d) ĐÚNG. Vì \(n \ge 1 \Rightarrow {u_n} > 0\). Mặt khác, biến đổi \({u_n} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}} < 2\). Vì \(0 < {u_n} < 2\) nên dãy số bị chặn.
Giá trị của hàm số tại \(x = \frac{\pi }{3}\) bằng \(0.\)
Tập xác định của hàm số \(f(x)\)là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan 3x = 1\) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
a) ĐÚNG. Giá trị tại điểm cần tính: \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{tan}}\left( {3 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{tan}}\pi = 0\).
b) SAI. Điều kiện xác định của hàm số là \(3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định đúng phải là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) ĐÚNG. Tập xác định \(D\) đối xứng qua gốc tọa độ và \(f\left( { - x} \right) = {\rm{tan}}\left( { - 3x} \right) = - {\rm{tan}}3x = - f\left( x \right)\).
d) ĐÚNG. Phương trình \({\rm{tan}}3x = 1 \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Các nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) tương ứng gồm: \({x_1} = \frac{\pi }{{12}}\) (với \(k = 0\)), \({x_2} = \frac{{5\pi }}{{12}}\) (với \(k = 1\)), \({x_3} = \frac{{3\pi }}{4}\) (với \(k = 2\)). Tổng các nghiệm thu được bằng: \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{9\pi }}{{12}} = \frac{{15\pi }}{{12}} = \frac{{5\pi }}{4}\).
PHẦN III. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Fibonacci là dãy số kinh điển trong toán học được tìm thấy cách đây hơn 800 năm. Dãy bao gồm các số hạng \({u_n}\) xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_2} = 1\\{u_{n + 2}} = {u_n} + {u_{n + 1}}\end{array} \right.\]\[(n \in {\mathbb{N}^ * }).\] Tính số hạng thứ 4 trong dãy Fibonacci
__
Theo quy luật dãy số: \({u_1} = 1\); \({u_2} = 1\); \({u_3} = {u_1} + {u_2} = 1 + 1 = 2\); \({u_4} = {u_2} + {u_3} = 1 + 2 = 3\).
Đáp số: 3.
Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa Xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (tham khảo hình vẽ). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách \(h\left( {\rm{m}} \right)\) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian \(t\) (giây) (với \(t \ge 0\)) bởi hệ thức \(h = \left| d \right|\) với \(d = 3{\rm{cos}}\left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước \(d > 0\) khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và \(d < 0\) trong trường hợp ngược lại. Sau 60 giây, người chơi cách vị trí cân bằng bao nhiêu mét?
____
Thay giá trị thời gian \(t = 60\) vào công thức đại lượng vị trí \(d\): \(d = 3{\rm{cos}}\left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2 \cdot 60 - 1} \right)} \right] = 3{\rm{cos}}\left( {\frac{{119\pi }}{3}} \right)\).
Phân tích góc lượng giác: \(\frac{{119\pi }}{3} = 40\pi - \frac{\pi }{3}\). Do tính chất tuần hoàn của côsin:
\({\rm{cos}}\left( {\frac{{119\pi }}{3}} \right) = {\rm{cos}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow d = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5{\rm{\;m}}\).
Khoảng cách từ người chơi đến vị trí cân bằng là \(h = \left| d \right| = 1,5\) mét.
Đáp số: 1,5.
Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt?
__
Hình chóp tứ giác cấu tạo gồm có 1 mặt phẳng đáy (hình tứ giác) kết hợp với 4 mặt phẳng bên quanh hình chóp (các hình tam giác). Tổng cộng số mặt bằng: \(1 + 4 = 5\) mặt.
Đáp số: 5.
Bảo và Công cùng nhau đi chơi vòng đu quay, cabin bắt đầu đi từ điểm H cho đến khi hết 1 vòng (theo chiều kim đồng hồ). Khi bạn Bảo đi đến vị trí B thì bạn Công mới ở vị trí C (tham khảo hình vẽ). Hỏi cabin của Công phải đi một đoạn đường bao nhiêu mét thì mới đến được vị trí của Bảo bây giờ? Biết các thanh giữ cabin tạo với nhau thành các góc \(\alpha = 30^\circ \) và bán kính vòng quay \(R = 10\,{\rm{m}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
_____
Vòng quay cabin di chuyển theo chiều kim đồng hồ. Dựa theo sơ đồ phân chia, từ vị trí xuất phát \(C\) của Công đi theo chiều quay đến vị trí \(B\) của Bảo tương ứng quét qua đúng 9 khoảng góc \(\alpha = 30^\circ \).
Tổng góc quay ở tâm đường tròn: \(9 \cdot 30^\circ = 270^\circ \).
Chuyển đổi số đo góc sang đơn vị rađian: \(\theta = 270 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}{\rm{\;rad}}\).
Đoạn đường di chuyển thực tế chính là độ dài cung tròn: \(s = R \cdot \theta = 10 \cdot \frac{{3\pi }}{2} = 15\pi \approx 47,1239{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo yêu cầu đề bài ta được kết quả \(47,1\) m.
Đáp số: 47,1.
Cho \(\tan a = 2\) khi đó \(\tan 2a\) có giá trị bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
_____
Sử dụng công thức lượng giác nhân đôi đối với hàm số tan:
\({\rm{tan}}2a = \frac{{2{\rm{tan}}a}}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}a}} = \frac{{2 \cdot 2}}{{1 - {2^2}}} = \frac{4}{{ - 3}} = - 1,3333...\)
Làm tròn giá trị thu được đến hàng phần mười: \( - 1,3\).
Đáp số: −1,3.
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 3x = 0\) trong đoạn \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)
__
Biến đổi phương trình lượng giác đưa về cùng hàm số:
\({\rm{sin}}2x - {\rm{cos}}3x = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}3x = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{cos}}3x = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\).
Phương trình tương đương với hệ hai họ nghiệm:
(1) \(3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \Leftrightarrow 5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
(2) \(3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chặn nghiệm trong đoạn \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) với \(k \in \mathbb{Z}\):
Từ họ nghiệm (1):
Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{10}}\) (Thỏa mãn).
Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{\pi }{2}\) (Thỏa mãn).
Từ họ nghiệm (2): Không tồn tại giá trị nguyên \(k\) nào cho nghiệm nằm trong đoạn yêu cầu.
Như vậy phương trình có tất cả là 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện bài toán cho.
Đáp số: 2.
