Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Yên Viên (Hà Nội) có đáp án
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\[1;\,4;\,7.\]
\[\;\; - 1;3;7.\]
\[ - 1;\,2;\,5.\]
\[4;\,7;\,10\].
Ta có \[{u_1} = - 1\]; \[{u_2} = {u_1} + 3 = 2\]; \[{u_3} = {u_2} + 3 = 5\].
Xét bốn mệnh đề sau:
(1) Hàm số \[\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] là hàm số lẻ.
(2) Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
(3) Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
(4) Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn.
Số mệnh đề đúng là
\[3.\]
\[1.\]
\[4.\]
\[2.\]
Chọn A
Hàm số \[\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\]; \(y = \tan x\);\(y = \cot x\) là hàm số lẻ
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
\(\frac{{5\pi }}{8}\,rad.\)
\(\frac{{9\pi }}{{12}}\,rad.\)
\(\frac{{7\pi }}{{12}}\,rad.\)
\(\frac{{5\pi }}{{12}}\,rad.\)
\(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\sin x = \frac{1}{2}.\)
\(\cos x = - \frac{1}{2}.\)
\(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn A
\(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\)
\[1;\,\, - 3;\,\,9;10\].
\[32;\,\,16;\,\,8;\,4\].
\[1;\,\,0;\,\,0;0\].
\[1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1\].
\(\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x.\cos x\).
\(\cos 3x - \cos x = 2\sin 2x.\sin x\).
\(\sin 3x - \sin x = 2\cos 2x.\sin x\).
\(\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x.\cos x\).
\(\cos 3x - \cos x = - 2\sin 2x.\sin x\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\).
\[1; - 3; - 5; - 7; - 9\].
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\).
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
Chọn C
\({u_4} = - 8.\)
\({u_1} = - 2.\)
\({u_2} = 4.\)
\({u_3} = - 6.\)
Chọn A
Ta có \({u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {k2\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {k\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn C
Hàm số \(y = \tan x\)xác định \( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\,x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Vậy \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right|,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Cho góc hình học \(uOv\) có số đo bằng \(30^\circ \)(tham khảo hình vẽ).
\(\sin 3x = \frac{2}{3}.\)
\(\cos x = \pi .\)
\(\sin x = 2.\)
\(\cos 2x = - 2.\)
Chọn A
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\].
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\]: không đổi nên \[{u_n}\] là cấp số cộng.
\(28\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{5}{2}\).
\(1\).
Chọn B
Ta có \({u_2} = {u_1}.d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{5}\).
\(8.\)
\(5.\)
\(6.\)
\(7.\)
\(\frac{8}{{15}} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} \Leftrightarrow n = 7\).
\[{T_0} = \frac{\pi }{3}\].
\[{T_0} = 2\pi \].
\[{T_0} = \pi \].
\[{T_0} = \frac{\pi }{2}\].
Hàm số \(y = \tan 2x\) có chu kỳ \[{T_0} = \frac{\pi }{2}\].
\(\frac{{ - 2}}{7}\).
\(\frac{{ - 1}}{7}\).
\(\frac{2}{7}\).
\(\frac{1}{7}\).
Chọn D
Vì\[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha < 0\]\( \Rightarrow \)\[\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = - \frac{4}{5}\].
Ta có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4}\]\( \Rightarrow \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + 1}}{{1 - \tan x}} = \frac{{ - \frac{3}{4} + 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{7}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(3\).
\( - 3\).
\(2\).
Chọn B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_5} = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q = 6\\{u_1}.{q^4} = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3} = 27\\{u_1}.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;\,x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;\,x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\,x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Ta có \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(y = - \sin x\)
\(y = {\rm{ }}|\sin x|\).
\(y = \cot x\).
\(y = \tan x\).
\(y = {\rm{ }}|\sin x|\) là hàm số chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
\(\frac{{5 + \sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{5 - 2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{5 - \sqrt 2 }}{3}\).
Chọn B
Vì\[0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha > 0\]\( \Rightarrow \)\[\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
\(\sin \alpha + 5\cos \alpha = \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{3}\).
\(3\).
\(6\).
\(4\).
\(2\).
ChọnA
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 8\\{u_4} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).
\(\left( {0;\; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left[ { - 7;\;11} \right]\).
\(\left[ { - 1;\;5} \right]\).
Chọn D
Ta có \( - 1 \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le 3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + 2 \le 5\)
\(l = 750\).
\(l = \frac{{25\pi }}{6}.\)
\(l = \frac{{15\pi }}{{180}}.\)
\(l = 15.\frac{{180}}{\pi }\).
\(l = \alpha .R = \frac{{50\pi }}{{180}}.15 = l = \frac{{25\pi }}{6}.\)
\(n = 7\).
\(n = 5.\)
\(n = 3\).
\(n = 10\).
\({S_{21}} = 21 \Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 21 \Leftrightarrow \frac{{3\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 21 \Leftrightarrow {2^n} = 8 \Leftrightarrow n = 3\).
\(P = \frac{5}{9}\).
\(P = \frac{7}{{18}}\).
\(P = \frac{7}{9}\).
\(P = \frac{5}{{18}}\).
Chọn D
\(P = \cos \alpha .\cos 3\alpha = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos 4\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + 2{{\cos }^2}2\alpha - 1} \right)\)=\(\frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3} + 2.\frac{4}{9} - 1} \right) = \frac{5}{{18}}\).
\[{u_n} = 2n + 1\].
\[{u_n} = 2n + 3\].
\[{u_n} = 2n - 1\].
\[{u_n} = 2n - 3\].
Chọn C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\].
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\].
\({S_8} = 1093\).
\({S_8} = 9841\).
\({S_8} = 3280\).
\({S_8} = 3820\).
Chọn C
Tacó \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 13\\{u_1}.{q^3} - {u_1} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + q + {q^2}}}{{{q^3} - 1}} = 2\\{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)
\({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280\)
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(6.\)
Chọn D
\(6{\cos ^2}x - \cos 2x = 4 \Leftrightarrow 6\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - \cos 2x = 4 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\)nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}\).
Vậy trên \(\left[ {0;3\pi } \right]\) phương trình có 6 nghiệm.
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(A\left( {\frac{\pi }{3};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên \(BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(a = 6\).
\(a < 6\).
\(a \ge 6\).
\(a > 6\).
Chọn D
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{3\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}} = \frac{{a - 6}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 1} \right)}}\).
Vì dãy số tăng nên \(a - 6 > 0 \Leftrightarrow a > 6\) .
\(\left( { - 1;1} \right).\)
\(\left[ { - 2;2} \right].\)
\(\left[ { - 2;2} \right).\)
\(\left( { - 2;2} \right).\)
Chọn D
\(\sin 2x - m\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\cos x\left( {2\sin x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x = \frac{m}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
Phương trình \(\sin 2x - m\cos x = 0\) có đúng bốn nghiệm phân biệt trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
\( \Leftrightarrow - 1 < \frac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
\(15.\)
\(19.\)
\(11.\)
\(13.\)
Chọn B
Điều kiện\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\( \Rightarrow 2{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là\(x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)
Vì \(x \in \left[ {0;4\pi } \right]\)nên \(x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3}} \right\}\).
Vậy \(S = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{11\pi }}{3} = \frac{{16\pi }}{3}\)\( \Rightarrow a + b = 19\).
\[837\].
\[783\].
\[873\].
\[738\].
Chọn D
Lương của các kĩ sư là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 45\) triệu, \(d = 3\)triệu.
Sau 3 năm làm việc thì có 12 quý
Tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau \(3\) năm làm việc cho công ty là
\({S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2} = 12.45 + 66.3 = 738\)(triệu đồng).
10.
11.
50.
26.
Chọn A
Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 2\).
Ta có:
\({u_6} = 64000\)\( \Rightarrow {u_1}.{q^5} = 64000\) \( \Rightarrow {u_1} = 2000\).
Sau \(n\) phút thì số lượng vi khuẩn là \({u_{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = 2048000\)\( \Rightarrow {u_1}.{q^n} = 2048000\)\( \Rightarrow {2000.2^n} = 2048000\) \( \Rightarrow n = 10\).
Vậy sau \(10\) phút thì có được \(2048000\) con.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{2\cos x - \sqrt 3 }}\).
Điều kiện xác định của hàm số: \(2\cos x - \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,(k \in \mathbb{Z})\).
Vậy tập xác định hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Giải phương trình: \(\left( {\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\).
Ta có\(\left( {\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
+ Với \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_2} = 3\) và \({u_4} = 7\).Tìm giá trị của số hạng \({u_{15}}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3\\{u_4} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 3\\{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
Số hạng thứ 15 là: \({u_{15}} = {u_1} + 14d = 29\).
