Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Khương Đình (Hà Nội) có đáp án
41 câu hỏi
\(\frac{{18\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{{18}}\).
\(\frac{{9\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{9}\).
Ta có: \(70^\circ = 70 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{{18}}\).
\[\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0.\]
\(\tan \alpha < 0;\cot \alpha < 0.\)
\(\tan \alpha > 0;\cot \alpha < 0.\)
\[\tan \alpha < 0;\cot \alpha > 0.\]
Ta có: \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\) nên \(\alpha \)thuộc góc phần tư số 3 nên \[\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0.\].
Chọn C
Ta có công thức bù
\(\frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{7}\).
\( - \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
\[\frac{3}{7}\].
\( - \frac{7}{{13}}\).
Chọn B
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Vì: \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)nên \(\cos \alpha < 0\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\[\cos (a + b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\].
\[sin2a = 2\sin a\cos a\].
\[sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\].
\[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\].
Ta có: \[\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].
Ta có: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right].\)
\(\frac{2}{7}\).
\( - \frac{{17}}{7}\).
\[\frac{{13}}{7}\].
\( - \frac{{17}}{3}\).
Chọn B
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {(\frac{{12}}{{13}})^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{5}{{13}}\)
Vì: \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)nên \(\cos \alpha < 0\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\)vậy \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{12}}{{13}}}}{{ - \frac{5}{{13}}}} = - \frac{{12}}{5}\]
Vậy \[P = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 + \frac{{12}}{5}}}{{1 - \frac{{12}}{5}}} = - \frac{{17}}{7}\].
\(0\).
\[3\].
\(2\).
\( - 2\).
Chọn B
Ta có: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = \sin x\), \(\sin \left( {11\pi - x} \right) = \sin x\), \(\cos \left( {x - \frac{{13\pi }}{2}} \right) = \sin x\), \(\sin \left( {x - 7\pi } \right) = - \sin x\).
Khi đó: \(\sin x.\sin x.\sin x\left( { - \sin x} \right) = - {\sin ^4}x\)\( \Rightarrow a = - 1,b = 4 \Rightarrow a + b = 3\).
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là:
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\[y = \tan x\].
\[y = \cos x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \cot x\].
Đường cong trên là đồ thị hàm số: \[y = \cos x\].
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\]
Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Vì hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \[\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\]nghịch biến trên \[\left( {2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right)\].
\(y = \sin 2x.{\tan ^2}x\).
\(y = x\cos x.\)
\(y = \cos x.\cot x.\)
\(y = \frac{{\tan x}}{{\sin x}}.c{\rm{os}}2x\).
Ta có: \(y = \frac{{\tan x}}{{\sin x}}.c{\rm{os}}2x = \frac{{c{\rm{os}}2x}}{{c{\rm{os}}x}}\) là hàm chẵn.
\(\max y = \sqrt 7 \),\(\min y = 1\).
\(\max y = \sqrt 7 \),\(\min y = 2\sqrt 7 \).
\(\max y = \sqrt 7 \),\(\min y = 2\).
\(\max y = \sqrt 7 \),\(\min y = 0\).
Chọn A
Ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4 \le 7\\ \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4} \le \sqrt 7 \end{array}\)
Vậy: \(\max y = \sqrt 7 \),\(\min y = 1\).
\[\left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\emptyset \].
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0.\)
\(\sin x = 0.\)
\(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0.\)
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0.\)
Ta có: \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) nên chọn A.
\(18\).
\(19\).
\(16\).
\(17\).
Chọn D
Ta có: \(\sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\)mà \(x \in \left( {0;9\pi } \right)\)
Nên: \[0 < k\frac{\pi }{2} < 9\pi \Leftrightarrow 0 < \frac{k}{2} < 9 \Leftrightarrow 0 < k < 18\] vậy có 17 giá trị k.
\(\frac{{18}}{9}\).
\(\frac{{19}}{8}\).
\[\frac{{16}}{7}\].
\(\frac{7}{{16}}\).
Chọn B
Đặt \[AB = x = > AD = 2x = > AE = \frac{4}{3}x,CF = \frac{x}{2}\].
\[\tan \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{\frac{4}{3}x}}{x} = \frac{4}{3}\];\[\tan \widehat {FBC} = \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{2x}} = \frac{1}{4}\]
\[\cot \widehat {EBF} = \tan \left( {{{90}^ \circ } - \widehat {EBF}} \right) = \tan \left( {\widehat {ABE} + \widehat {FBC}} \right)\]
\[ = \frac{{\tan \widehat {ABE} + \tan \widehat {FBC}}}{{1 - \tan \widehat {ABE}.\tan \widehat {FBC}}} = \frac{{\frac{4}{3} + \frac{1}{4}}}{{1 - \frac{4}{3}.\frac{1}{4}}} = \frac{{19}}{8}.\].
\({u_1} = 0\).
\({u_2} = 0,3\).
\({u_3} = 0,5\).
\({u_4} = 0,6\).
Vì ta có: \({u_2} = \frac{{2 - 1}}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}\).
\({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 1}}.\)
\({u_n} = \frac{n}{2}.\)
\({u_n} = \frac{2}{{{n^2}}}.\)
\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^n}}}.\)
Dãy số giảm là: \({u_n} = \frac{2}{{{n^2}}}.\)
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = {3^n}.\]
\[{u_n} = \sqrt {n + 1} .\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
Dãy số bị chặn là: \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]vì \[0 \le \frac{1}{{{2^n}}} \le 1.\]
\(1;2;4;7;11;...\).
\(\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};\frac{5}{3};...\).
\( - 5; - 3; - 1;3;5;...\).
\(1;2;4;8;16;...\).
Chọn B
Dãy số cấp số cộng là \(\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};\frac{5}{3};...\)có công sai \(d = \frac{1}{3}\) và số hạng tổng quát là: \({u_n} = \frac{1}{3}n;\,n \ge 1\).
\[d = 4\].
\[d = 1\].
\[d = - 2\].
\[d = - 4\].
Ta có: \[d = {u_2} - {u_1} = - 1 - 3 = - 4\].
\(50\).
\(28\).
\(38\).
\(44\).
Ta có: \({u_{13}} = {u_1} + 12d = 8 \Rightarrow {u_1} = {u_{13}} - 12d = 8 + 36 = 44\).
\[{S_{100}} = 3941\].
\[{S_{100}} = - 3941\].
\[{S_{100}} = - 3950\].
\[{S_{100}} = 3950\].
Chọn C
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_{10}} = {u_1} + 9d = 1 \Rightarrow d = \frac{{1 - {u_1}}}{9} = \frac{{1 - 10}}{9} = - 1\\ \Rightarrow {u_{100}} = {u_1} + 99d = 10 - 99 = - 89\\ \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{100(10 - 89)}}{2} = - 3950\end{array}\)
\[{u_1} = 3\] và \[d = 4\].
\[{u_1} = 3\] và \[d = 5\].
\[{u_1} = 4\] và \[d = 5\].
\[{u_1} = 4\] và \[d = 3\].
Chọn A
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{13}} = 2{u_6} + 5\\{u_9} = 5{u_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 12d = 2({u_1} + 5d) + 5\\{u_1} + 8d = 5({u_1} + d)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 2d = 5\\ - 4{u_1} + 3d = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\].
\(x = 3\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\)hoặc \(x = - 1\).
không có giá trị nào của \(x\).
Chọn A
Để \(2x - 2\); \(2x\,\); \({x^2} - 1\) lập thành cấp số cộng thì:
\(2x - (2x - 2) = {x^2} - 1 - 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
\(10.125.000\) đồng.
\(4.000.000\) đồng.
\(52.500.000\) đồng.
\(50.500.000\) đồng.
Chọn A
Gọi số tiền phải trả mỗi mét khoan là cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 80.000,d = 5.000\].
Ta có giá tiền khoan mét thứ 50 là: \[{u_{50}} = {u_1} + 49.d = 80000 + 49.5000 = 325.000\].
Vậy tổng số tiền phải trả để khoan 50m là: \[{S_{50}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{50}}} \right).50}}{2} = 10.125.000\](đồng).
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng\[.\]
Khẳng đinh đúng là: “Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.”.
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SO\).
Chọn D
Ta có S là điểm chung thứ nhất và O là điểm chung thứ 2 của 2 mp \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SDC} \right)\)
Nên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SDC} \right)\)là đường thẳng SO.
\[\left( {BCD} \right)\].
\[\left( {ABD} \right)\].
\[\left( {CMN} \right)\].
\[\left( {ACD} \right)\].
Chọn D.
Ta có \[I \notin \left( {ACD} \right)\]
![Chọn D. Ta có \[I \notin \left( {ACD} \right)\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture8-1782780480.png)
giao điểm của \(SD\) và \(AB.\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(BK\) (với \(K = SO \cap AM\)).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\) (với \(K = SO \cap AM\)).
Chọn C.
![Chọn D. Ta có \[I \notin \left( {ACD} \right)\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture9-1782780527.png)
Trong mp \(\left( {SAC} \right)\)có \(AM \cap SO = K \Rightarrow K \in (ABM)\)và \(K \in (SBD)\)
Mà trong mp \((SBD)\)có \(BK \cap SD = N\)
Vậy: Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là giao điểm của \(SD\) và \(BK\) (với \(K = SO \cap AM\)).
Haiđường thẳng \(AB\,,C{\rm{D}}\)chéo nhau.
Hai đường thẳng \(AD\,,BC\)chéo nhau.
Haiđường thẳng \(AB\,,S{\rm{D}}\)chéo nhau.
Hai đường thẳng \(SB\,,S{\rm{D}}\)chéo nhau.
khẳng định nào đúng là hai đường thẳng \(AB\,,S{\rm{D}}\) chéo nhau.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
Mệnh đề nào sau đúng là “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.”
Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)\(\parallel \)\(\left( \beta \right)\) thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right).\)
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \beta \right).\)
Nếu hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt thì \(\left( a \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Nếu đường thẳng \(d\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong \(mp\left( \alpha \right).\)
Chọn A.
Mệnh đề nào sau đúng là “Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) \(\parallel \) \(\left( \beta \right)\) thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right).\)”
\(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\).
\(PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
Chọn C.
Ta có: \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ{\rm{//}}AB\) mà \(AB \subset (ABCD) \Rightarrow PQ{\rm{//}}(ABCD)\).
Đề chẵn
(1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau
a) \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \sqrt 3 \)
Lời giải
a)
\[\tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k\pi .\]
b)
\(\sin (\frac{{2\pi }}{5} + 2x) = co{\mathop{\rm s}\nolimits} x \Leftrightarrow \sin (\frac{{2\pi }}{5} + 2x) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{5} + 2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{5} + 2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{{10}} + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(SB\).
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)
b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Chứng minh \(E,F,A\)thẳng hàng.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBC} \right)\\N \in \left( {NAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SBC} \right) \cap (NAD)\\AD//BC\end{array} \right.\)
Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng \[d\] đi qua \[N\] và song song với \[BC\] và \[AD\]
b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)
Trong mp(SBD) có \(DN \cap SO = \left\{ E \right\}\)
Khi đó \(E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow E = DN \cap \left( {SAC} \right)\)
c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Chứng minh \(E,F,A\)thẳng hàng.
Gọi \(BM \cap AC = \left\{ H \right\}\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) gọi \(MN \cap SH = \left\{ F \right\}\)
Khi đó \(F = MN \cap \left( {SBD} \right)\).
Các điểm E , F , A lần lượt thuộc các đường thẳng DN, MN, AM nên \(\left\{ \begin{array}{l}E \in DN \subset mp\left( {DMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {DMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}A \in MD \subset mp\left( {DMN} \right)\\A \in mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)
Nên \(E,F,A\) nằm trên giao tuyến của 2 mp \(\left( {DMN} \right)\& (SAC)\)
\( \Rightarrow E,F,A\) thẳng hàng. (đpcm)
Ta có: \(A = \sqrt {\left( {1 + \tan x} \right){{\cos }^2}x + \left( {1 + \cot x} \right){{\sin }^2}x} \Leftrightarrow A = \sqrt {\left( {1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right){{\cos }^2}x + \left( {1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right){{\sin }^2}x} \)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = \sqrt {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}.{{\cos }^2}x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}.{{\sin }^2}x} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt {\left( {\sin x + \cos x} \right)(\sin x + \cos x)} = \left| {\sin x + \cos x} \right|\end{array}\]
Do \({180^ \circ } < x < {270^ \circ } \Rightarrow \sin x\,\,\& \,\,\cos x < 0\)
Suy ra \(A = - \left( {\sin x + \cos x} \right)\).
a) \(2\cos x + \sqrt 3 = 0\).
a)
\(2\cos x + \sqrt 3 = 0\)
\[ \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{5\pi }}{6}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) = > S = \left\{ { \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right\}.\]
b)
\( \Leftrightarrow \sin 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 2x = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ - x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.(k \in Z)\)
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm \(BC\) và \(SA\).
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)
b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(E,F,B\)thẳng hàng.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow N \in \left( {SAD} \right)\\N \in \left( {NBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NBC} \right) \cap (SAD)\\AD//BC\end{array} \right.\]
Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng \[d\] đi qua \[N\] và song song với \[BC\] và \[AD\]
b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)
Trong \[\left( {SAC} \right)\] có \(CN \cap SO = \left\{ E \right\}\)
Khi đó \(E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow E = CN \cap \left( {SBD} \right)\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(E,F,B\)thẳng hàng.
Khi đó \(F = MN \cap \left( {SBD} \right)\).
Các điểm \(E,F,B\)lần lượt thuộc các đường thẳng \(CN\), \(MN\), \(CM\) nên
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AM \cap BD = \left\{ H \right\}\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\), gọi \(MN \cap SH = \left\{ F \right\}\) \(\left\{ \begin{array}{l}E \in CN \subset mp\left( {CMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {CMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}B \in CM \subset mp\left( {CMN} \right)\\B \in mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)
Nên \(E,F,B\) nằm trên giao tuyến của 2 mp\(\left( {CMN} \right)\& (SBD)\)
\( \Rightarrow E,F,B\) thẳng hàng. (đpcm)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {\left( {1 + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right){{\sin }^2}\alpha + \left( {1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right){{\cos }^2}\alpha } \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.{{\sin }^2}\alpha + \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha }}.{{\cos }^2}\alpha } \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)(\sin \alpha + \cos \alpha )} = \left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right|\end{array}\]
Do \({180^ \circ } < \alpha < {270^ \circ } \Rightarrow \sin \alpha \,\,\& \,\,\cos \alpha < 0\)
Suy ra \(A = - \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\).
