Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội) có đáp án
37 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cung có số đo \[290^\circ \] thì có số đo theo đơn vị radian là
\[\frac{{35\pi }}{{18}}\].
\[\frac{{29\pi }}{{18}}\].
\[\frac{{25\pi }}{{12}}\].
\[\frac{{25\pi }}{9}\].
Ta có: \[1^\circ = \frac{\pi }{{180}}\,\user2{rad}\] nên \[290^\circ = 290.\frac{\pi }{{180}}\]\[ = \frac{{29\pi }}{{18}}\,\user2{rad}\].
\(l = \frac{\pi }{8}\)cm.
\(l = \frac{{40}}{\pi }\) cm.
\(l = \frac{{5\pi }}{8}\)cm.
\(l = \frac{{5.180}}{8}\)cm
Độ dài cung tròn là \(l = \frac{\pi }{8}.5\)\( = \frac{{5\pi }}{8}\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos a\sin b + \sin a\cos b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos a - \cos b\sin b.\)
Ta có: \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\)
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a.\)
\(\cos 2a = {\sin ^2}a - {\cos ^2}a.\)
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1.\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a.\)
Ta có: \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a.\) nên phương án B là sai.
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
\[\,\left[ { - 1;1} \right]\].
\[( - 1;1)\].
\[\left[ { - 2023;2023} \right]\].
\[\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\].
Ta có: \[ - 1 \le \sin 2023x \le 1\] nên tập giá trị của hàm số \[y = \sin 2023x\] là \[\,\left[ { - 1;1} \right]\].
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(5\).
\(6\).
\(7\).
\(4\).
Chọn A
Ta có: \({u_2} = {u_1} + 1\)\( = 4 + 1 = 5\).
\(1;3;5;7;9\).
\(10;8;6;4;2\).
\(1;5;3;7;9\).
\(1;1;1;1;1\).
\(3\).
\(5\).
\(1\).
\(7\).
Ta có: \({u_3} = 2.3 + 1\)\( = 7\).
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(3\).
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng \({u_2} - {u_1} = 9 - 3\) \( = 6\).
\({u_n} = 4n + 2\).
\({u_n} = 4n - 2\).
\({u_n} = 2n - 4\).
\({u_n} = 2n + 4\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right).4\)\( = 4n - 2\).
\(1;{\rm{ - 2; 4; 8; - 16}}{\rm{.}}\)
\(2;{\rm{ 22; 222; 2222; 22222}}{\rm{.}}\)
\(3;{\rm{ 6; 12; 24; 48}}{\rm{.}}\)
\(x;{\rm{ 2x; 3x; 4x; 5x}}{\rm{.}}\) với \(x \ne 0\).
Mỗi số hạng(kể từ số hạng thứ 2 trở đi và ngoại trừ số hạng cuối) của dãy số ở phương án C đều bằng số hạng ngay trước đó nhân với số 2.
\(q = 5\).
\(q = 8\).
\(q = - 5\).
\(q = 12\).
Công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}\) \( = \frac{{10}}{2} = 5\).
\( - 62\).
\(62\).
\(22\).
\( - 22\).
Tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \({S_5} = {u_1}.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = \left( { - 2} \right).\frac{{1 - {2^5}}}{{1 - 2}}\) \( = - 62\).
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:
Nhóm | Chiều cao (cm) | Số học sinh |
\(1\) | \(\left[ {150;152} \right)\) | \(5\) |
\(2\) | \(\left[ {152;154} \right)\) | \(18\) |
\(3\) | \(\left[ {154;156} \right)\) | \(40\) |
\(4\) | \(\left[ {156;158} \right)\) | \(26\) |
\(5\) | \(\left[ {158;160} \right)\) | \(8\) |
\(6\) | \(\left[ {160;162} \right)\) | \(3\) |
| \(N = 100\) | |
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
\(156,5\).
\(157\).
\(157,5\).
\(158\).
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là \({x_4} = \frac{{156 + 158}}{2}\) \( = 157\).
Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị : nghìn giờ) của một loại bóng đèn
Số bóng đèn có tuổi thọ thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) là
\[20\].
\[26\].
\[4\].
\[42\].
Từ bảng số liệu, số bóng đèn có tuổi thọ thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) là 26.
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
\[[40;60)\].
\[[20;40)\].
\[[60;80)\].
\[[80;100)\].
Chọn A
Tổng số học sinh được khảo sát là: \(n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6\) \( = 42\). Trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 21 và 22 (khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm).
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là \[[40;60)\].
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
\[\left[ {156;158} \right)\].
\[\left[ {154;156} \right)\].
\[\left[ {152;154} \right)\].
\[\left[ {158;160} \right)\].
Nhóm có tần số lớn nhất là \[\left[ {154;156} \right)\]. Đây cũng là nhóm chứa mốt.
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 4 | 10 | 12 | 3 | 1 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {7;9} \right)\).
\(\left[ {5;7} \right)\).
\(\left[ {9;11} \right)\).
\(\left[ {11;13} \right)\).
Chọn A
Mẫu số liệu có 30 số liệu nên tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ 8(khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm).
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là \(\left[ {7;9} \right)\).
\( - \frac{3}{5}.\)
\(\frac{3}{5}.\)
\( \pm \frac{3}{5}.\)
\(\frac{9}{{25}}.\)
Chọn B
Ta có: \[\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \]\[ = \pm \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{3}{5}\].
Lại có: \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên \({\rm{cos}}\alpha > 0\). Vậy \[\cos \alpha = \frac{3}{5}\].
\(\sin a + \sin \frac{\pi }{3}\).
\(\frac{1}{2}\sin a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a\).
\(\frac{1}{2}\sin a - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin a + \frac{1}{2}\cos a\).
Chọn B
Ta có: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\)\( = \sin a.{\rm{cos}}\frac{\pi }{3} + {\rm{cos}}a.\sin \frac{\pi }{3}\)\(\frac{1}{2}\sin a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a\).
\(3.\)
\(2.\)
\(1.\)
\(4.\)
Dùng đường tròn lượng giác, nhận thấy số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) trên đoạn \[\left[ {0;3\pi } \right]\] là 3 nghiệm.
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_n} = - {n^2}\,\,,n \in {\mathbb{N}^*}\].
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n\,\,{\rm{ }},n \in {\mathbb{N}^*}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \tan n\,\,,n \in {\mathbb{N}^*}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin n\,\,\,,n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có: \( - 1 \le \sin n \le 1\) nên dãy số \({u_n} = \sin n\,\,\,,n \in {\mathbb{N}^*}\) bị chặn.
\({u_{10}} = - 31\).
\({u_{10}} = - 23\).
\({u_{10}} = - 20\).
\({u_{10}} = 15\).
Công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1}\) \( = 1 - 4 = - 3\).
Do đó: \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} \right)\)\( = - 23\).
\({u_1} = 5\), \[q = 4\].
\({u_1} = 5\), \[q = 6\].
\({u_1} = 4\), \[q = 5\].
\({u_1} = 6\), \[q = 5\].
Chọn C
Ta có: \[{u_1} = {S_1}\]\[ = {5^1} - 1 = 4\].
Lại có: \[{S_2} = {u_1} + {u_2} = {5^2} - 1 = 24\] nên \[{u_2} = 20\].
Công bội của cấp số nhân là \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}\]\[ = \frac{{20}}{4} = 5\].
Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?
\(6,5\).
\(7,5\).
\(7,25\).
\(8\).
Chọn C
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm có tần số lớn nhất là \(\left[ {6,5;8} \right)\).
Giá trị đại diện của nhóm này là \(\frac{{6,5 + 8}}{2} = 7,25\).
Tìm hiểu thời gian chạy cự li \(1000\,{m}\) (đơn vị : giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
\[{M_e} = \frac{{392}}{3}\].
\[{M_e} = \frac{{394}}{3}\].
\[{M_e} = \frac{{391}}{3}\].
\[{M_e} = \frac{{395}}{3}\].
Chọn C
Kích thước của mẫu số liệu là \(n = 40\).
Trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 20 và 21 của mẫu số liệu nên nhóm chứa trung vị là nhóm \(\left[ {129;131} \right)\).
Trung vị của mẫu ghép nhóm này là: \[{M_e} = 129 + \frac{{\frac{{40}}{2} - \left( {3 + 7} \right)}}{{15}}.\left( {131 - 129} \right) = \frac{{391}}{3}\].
Khảo sát về cân nặng của các học sinh lớp 11D người ta thu được một mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Cân nặng | \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(\left[ {80\,;\,90} \right)\) |
Số học sinh | 2 | 10 | 16 | 8 | 2 | 2 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
\(56\).
\(50\).
\(60\).
\(55\).
Chọn A
Ta có:
Cân nặng | \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(\left[ {80\,;\,90} \right)\) |
Giá trị đại diện | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 |
\(5\) giây.
\(10\,\)giây.
\(2,5\) giây.
\(20\,\)giây.
Chọn B
Chu kỳ dao động của sóng là \(T = 2\pi :\frac{\pi }{5}\)\( = 10\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C
Ta có: \(\sin 2x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\).
\[12\] năm.
\[11\] năm.
\[10\] năm.
\[9\] năm.
Chọn C
Tiền lương của kĩ sư đó sau mỗi năm được coi là các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 180\) và công sai \(d = 8\).
Tổng tiền lương của người đó sau \(n\) năm là
\({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d = 180n + \frac{{\left( {{n^2} - n} \right).8}}{2}\)\( = 4{n^2} + 176n\)(triệu đồng).
Để tổng tiền lương của người đó bằng 2160 thì \(4{n^2} + 176n = 2160\)\( \Leftrightarrow n = 10\)(nhận) hoặc \(n = - 54\)(loại).
\(n = 8\).
\(n = 9\).
\(n = 6\).
\(n = 7\).
Chọn A
Ta có: \({S_n} = 765\)\( \Leftrightarrow {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 765\)\( \Leftrightarrow 3.\frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = 765\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 256\)\( \Leftrightarrow n = 8\).
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên bằng
\[81\].
\[77\].
\[71.\]
\[74\].
Chọn C
Mẫu số liệu có 42 số liệu nên tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 32 (khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm).
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là \(\left[ {60;80} \right)\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên bằng \[{Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - \left( {5 + 9 + 12} \right)}}{{10}}.\left( {80 - 60} \right)\]\[ = 71\].
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
a) Cho \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính các giá trị sau: \(\cos \alpha ,{\rm{ }}\sin 2\alpha \).
b) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{{{\rm{cos2}}x + 1}}\).
a) Cho \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\cos \alpha ;{\rm{ }}\sin 2\alpha \).
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\).
Ta có: \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{5}} \right)}^2}} = - \frac{4}{5}\).
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\left( { - \frac{4}{5}} \right).\left( { - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{24}}{{25}}\)
b) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{{{\rm{cos2}}x + 1}}\).
Điều kiện xác định: \({\rm{cos2}}x + 1 \ne 0\) \[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x \ne - 1\] \[ \Leftrightarrow 2x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Vậy TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
a) Cho biết \(a + b = \frac{\pi }{3}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b\).
b) Giải phương trình: \(\sin x + {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\).
a) Cho biết \(a + b = \frac{\pi }{3}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b\).
Ta có: \(T = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b = - \cos (a + b)\).
Mà \(a + b = \frac{\pi }{3}\)\( \Rightarrow T = - \cos \frac{\pi }{3} = - \frac{1}{2}\).
b) Giải phương trình: \(\sin x + {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) .
Ta có :
\(\sin x + {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x = - {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin x = - \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - 2x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giả sử đa giác có \(n\) cạnh (\(n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 3\)).
Gọi độ dài các cạnh của đa giác là \({u_1},\,{u_2},\,{u_3},\,...\,,\,{u_n}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 nên \(0 < {u_1} < {u_2} < \,{u_3} < \,...\, < \,{u_n} = 44cm\).
Vì đa giác có chu vi là \[158cm\] nên \[{S_n} = {u_1} + {u_2} + \,{u_3} + \,...\, + \,{u_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\]
hay \[158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}\] suy ra \[n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}\]
Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \[{u_1} + 44\] là ước nguyên dương của \[316\] hay \[{u_1} + 44 \in \left\{ {1;2;\,4;\,79;\,158;\,316} \right\}\].
\[{u_1} + 44\] | 1,\(2\),\(4\) | \(79\) | \(158\) | \(316\) |
\[{u_1}\] | \[{u_1} < 0\] (loại)
| \[{u_1} = 35\] | \[{u_1} = 114\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44cm\)) | \[{u_1} = 272\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44cm\)) |
Vậy đa giác đã cho có \[n = \frac{{316}}{{79}} = 4\] cạnh.
