Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Việt Nam - Ba Lan (Hà Nội) có đáp án
50 câu hỏi
\[\sin \alpha > 0.\]
\[\cos \alpha < 0.\]
\[\tan \alpha > 0.\]
\[\cot \alpha > 0.\]
Do \(\alpha \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \sin \alpha < 0\)
\(\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\frac{{4\pi }}{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\( - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn C
Điểm \(M,N\)là những điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\) hay \(x = \frac{{4\pi }}{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(15^\circ .\)
\(10^\circ .\)
\(6^\circ .\)
\(5^\circ .\)
Ta có : \(a^\circ = \frac{{\alpha .180^\circ }}{\pi } = \frac{{\frac{\pi }{{12}}.180^\circ }}{\pi } = 15^\circ \)
\(\frac{{3\pi }}{5}.\)
\(\frac{\pi }{{10}}.\)
\(\frac{{3\pi }}{2}.\)
\(\frac{\pi }{4}.\)
Ta có : \(\alpha = \frac{{a^\circ .\pi }}{{180^\circ }} = \frac{{108^\circ \pi }}{{180^\circ }} = \frac{{3.\pi }}{5}\)
\(2,5cm\).
\(3,5cm\).
\(4cm\).
\(4,5cm\).
Ta có : \(l = \alpha .R \Rightarrow R = \frac{l}{\alpha } = 4cm\)
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[ - \frac{1}{2}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Chọn D
Ta có : \[\sin \frac{\pi }{5}\cos \frac{\pi }{{30}} - \cos \frac{\pi }{5}\sin \frac{\pi }{{30}} = \sin \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{30}}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]
\[1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}.\]
\[1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\]
\[\tan \alpha + \cot \alpha = 2.\]
\[\tan \alpha .\cot \alpha = 1.\]
Ta có : \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1.\]
\[ - 1 \le \sin \alpha \le 1;{\rm{ }} - 1 \le \cos \alpha \le 1.\]
\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha \ne 0} \right).\]
\[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha \ne 0} \right).\]
\[{\sin ^2}\left( {2023\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2023\alpha } \right) = 2023.\]
Ta có : \[{\sin ^2}\left( {2023\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2023\alpha } \right) = 1.\]
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) > 0.\)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) < 0.\)
\(\cos \left( {\alpha + \pi } \right) < 0.\)
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) > 0.\)
Ta có : \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha > 0\) do \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\)
\[A = 2.\]
\[A = - 2.\]
\[A = \sin \alpha \].
\[A = - \sin \alpha .\]
Chọn A
Ta có :
\(\begin{array}{l}A = {\sin ^2}\left( {\pi - \alpha } \right) + {\tan ^2}\left( {\pi - \alpha } \right){\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\alpha - 2\pi } \right)\\ = {\sin ^2}\alpha + {\tan ^2}\alpha co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha + co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha \cos \alpha \\ = {\sin ^2}\alpha + 1 + co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha + co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}\alpha + 1 = 1 + 1 = 2\end{array}\)
\[\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{2\cos \alpha }}.\]
\[\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}.\]
\[\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{2\sin \alpha }}.\]
\[ - \frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{\cos \alpha }}.\]
Chọn A
Ta có :
\(CD = \tan \alpha \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \frac{1}{2}.OD.CD = \frac{1}{2}\tan \alpha \)
\[AB = \sin \alpha ,\;OA = cos\alpha \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha \]
\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{\Delta OCD}} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}\tan \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha \]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \sin \alpha .\cos \alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \alpha }} - \cos \alpha } \right)\]
\[ = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{2\cos \alpha }}\]
\(( - \infty ;2)\).
\(\mathbb{R} \setminus \{ 2\} \).
\(\mathbb{R}\).
\([2; + \infty )\).
Ta có : \(2 - \sin x > 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\frac{\pi }{4} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + 2k\pi ,\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn C
Hàm số xác định khi :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\tan x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\tan x \ne 1\quad }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right).\)
Chọn D
Trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right).\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
\(y = {\sin ^3}x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = {\sin ^2}x.\)
Chọn A
Ta có
\(y = {\sin ^3}x = f\left( x \right)\)
\(D = \mathbb{R}\)
\(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
\(f\left( x \right) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) = - {\sin ^3}x = - f\left( x \right)\)
Vậy \(y = {\sin ^3}x\) là hàm số lẻ.
\(T = - 2\pi .\)
\(T = \pi .\)
\(T = 2\pi .\)
\(T = 4\pi .\)
Chọn D
Ta có
Hàm số \(y = \cos \left( {ax + b} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\)
Suy ra hàm số \(y = \cos \left( {\frac{x}{2} + 2023} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| {\frac{1}{2}} \right|}} = 4\pi \)
\(M = 3,{\rm{ }}m = - 3.\)
\(M = 1,{\rm{ }}m = - 1.\)
\(M = 3,{\rm{ }}m = - 1.\)
\(M = 3,{\rm{ }}m = 1.\)
Chọn A
Ta có
\( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\cos x \le 3 \Leftrightarrow - 3 \le y \le 3\)
Vậy \(M = 3,{\rm{ }}m = - 3.\)
\(m = A - 2B + C.\)
\(m = A + 2B + C.\)
\(m = - \frac{{{B^2}}}{A} + C.\)
\(m = \frac{B}{A}.\)
Chọn C
Ta có
\[y = A{\sin ^2}x - 2.\frac{B}{{\sqrt A }}.\sqrt A \sin x + \frac{{{B^2}}}{A} - \frac{{{B^2}}}{A} + C = {\left( {\frac{B}{{\sqrt A }} - \sqrt A \sin x} \right)^2} - \frac{{{B^2}}}{A} + C \ge - \frac{{{B^2}}}{A} + C\]
Vậy \(m = - \frac{{{B^2}}}{A} + C.\)
\[y = \sin x.\]
\[y = \left| {\sin x} \right|.\]
\[y = \cos x.\]
\[y = - \sin x.\]
Chọn D
Đồ thị hàm số \[y = - \sin x\] đi qua các điểm
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - 1} \right),\;\left( { - \pi ;0} \right),\;\left( { - \frac{\pi }{2};1} \right),\;\left( {0;0} \right),\;\left( {\frac{\pi }{2}; - 1} \right),\;\left( {\pi ;0} \right),\;\left( {\frac{{3\pi }}{2};1} \right),\;\left( {2\pi ;0} \right)\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] luôn tăng và đi qua các điểm \(\left( { - \pi ;0} \right),\;\left( {0;0} \right),\;\left( {\pi ;0} \right)\)
\(x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \pm \frac{\pi }{{45}} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn C
Ta có : \(\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn D
Ta có : \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(0.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(4.\)
Chọn D
Điều kiện : \(\sin x > 0\)
Ta có : \(\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} = 0\)\( \Leftrightarrow \cos 3x - \cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Theo điều kiện thì trên đường tròn lượng giác chỉ có một điểm biểu diễn họ nghiệm là giao của đường tròn và trục tung.
\[\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\sin x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}.\]
\[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
Dựa vào hình vẽ ta có hai điểm \[M\,,\] \[N\] biểu diễn cho tập nghiệm của phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
![Chọn D Dựa vào hình vẽ ta có hai điểm \[M\,,\] \[N\] biểu diễn cho tập nghiệm của phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture26-1782784424.png)
Điểm \(C\), điểm \(F\).
Điểm \(C\), điểm \(J\).
Điểm \(D\), điểm \(I\).
Điểm \(C\), điểm \(G\).
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta có đường tròn lượng giác được chia thành 12 cung bằng nhau nên mỗi cung có số đo là \(\frac{\pi }{6}\)
Ta có : \(\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \quad \;}\\{x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
Suy ra tập nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) được biểu diễn bằng điểm \(C\) và điểm \(F\) trên đường tròn lượng giác.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x{\rm{ = }}\frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn A
Ta có:
\(\sin x - \sin 3x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = x + k2\pi \quad }\\{3x = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = k2\pi \quad }\\{4x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi \quad \quad }\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\[0.\]
\[4.\]
\[2.\]
\[6.\]
Ta có:
\[\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \quad }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \pi - x - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + k2\pi \;}\\{3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + k2\pi \;}\\{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Do \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\;\frac{\pi }{2}} \right\}\)
\[3.\]
\[4.\]
\[2.\]
\[5.\]
Chọn A
Tại vị trí cân bằng ta có:
\(3{\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2t = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \)
\( \Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do \(t \in \left( {0;5} \right) \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}};\;\frac{{11\pi }}{{12}};\;\frac{{17\pi }}{{12}}} \right\}\)
Do phương trình \(3{\rm{cos}}\left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) có 3 nghiệm nên vật đi qua vị trí cân bằng \(3\) lần.
\[S = - 1\].
\[S = - \frac{1}{2}\].
\[S = - \frac{3}{2}\].
\[S = \frac{1}{2}\].
Chọn C
Ta có \[\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\]
\[ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x - m\cos x = m - m\cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x = m\end{array} \right.\]
Với \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) : không có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Với \(\cos 2x = m \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{m + 1}}{2}\).
Trên \(\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\), phương trình \[\cos x = a\] có duy nhất 1 nghiệm với \(a \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
Do đó, YCBT \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le - \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le - \frac{1}{2}\).
\[3.\]
\[4.\]
\[8.\]
\[6.\]
Chọn C
\[\left( {\sin x - \sin 2x} \right)\left( {\sin x + \sin 2x} \right) = {\sin ^2}3x \Leftrightarrow \left( { - 2\cos \frac{{3x}}{2}\sin \frac{x}{2}} \right)\left( {2sin\frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2}} \right) = {\sin ^2}3x\]
\[ \Leftrightarrow - \sin 3x\sin x = {\sin ^2}3x \Leftrightarrow \sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\sin 3x\sin 2x\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\sin 2x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\2x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\;hay\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vậy có \(8\) điểm biểu diễn nghệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác.
cắt nhau.
trùng nhau.
chéo nhau.
song song với nhau.
Chọn D
Đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là \(b\) thì \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng song song với nhau.
đôi một cắt nhau.
đôi một song song.
đồng quy.
đôi một song song hoặc đồng quy.
\(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\); \(\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\); \(\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\). Khi đó ba đường thẳng \({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) đôi một song song hoặc đồng quy.
\(4\).
\(7\).
\(6\).
\(5\).
Hình chóp có đáy là hình ngũ giác có số mặt là \[6\]
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(AC\).
Chọn A
![Chọn C Hình chóp có đáy là hình ngũ giác có số mặt là \[6\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture27-1782784728.png)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là \(SA\)
\(T\) là giao điểm của \(MN\) với \(SO\).
\(T\) là giao điểm của \(KN\) với \(SO\).
\(T\) là giao điểm của \(KH\) với \(SO\).
\(T\) là giao điểm của \(KM\) với \(SO\).
Chọn C
Chọn \(\left( {SAC} \right)\) chứa \(SO\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MNK} \right)\) là \(KH\)
Do \(T\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\)
Nên \(T\) là giao điểm của \(KH\) với \(SO\).
\[SO\]
\[SB\]
\[SC\]
\[SD\]
Chọn B
Ta có \(\left( {SOD} \right)\) trùng \(\left( {SBD} \right)\)
Suy ra \(\left( {SOD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = \left( {SBD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\)
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[SD\].
Giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {MAC} \right)\] là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau:
\[MO\].
\[MA\].
\[MS\].
\[MD\].
Chọn A
Ta có
\(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O \in AC \subset \left( {MAC} \right)}\\{O \in BD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow O \in \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (1)
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in \left( {MAC} \right)\quad \;\;}\\{M \in SD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow M \in \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MO = \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
giao điểm của \(SD\) và \(OM\).
giao điểm của \(SD\) và \(NF\).
giao điểm của \(SD\) và \(MN\).
giao điểm của \(SD\) và \(ON\).
Chọn \(\left( {SBD} \right)\) chứa \(SD\)
Ta có
\[M = AF \cap SO \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in AF \subset \left( {AEF} \right)}\\{M \in SO \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow M \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)
Ta có
\(N = AE \cap BD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N \in AE \subset \left( {AEF} \right)}\\{N \in BD \subset \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow N \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN = \left( {AEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Suy ra giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \((AEF)\) là giao điểm của \(SD\) và \(MN\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(\frac{3}{2}\).
Chọn A
Chọn \(\left( {SAB} \right)\) chứa \(SA\)
Ta có \(\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB//CD\quad \quad \quad \quad }\\{AB \subset \left( {SAB} \right)\quad \quad \quad }\\{CD \subset \left( {GCD} \right)\quad \quad \;}\\{G \in \left( {GCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)}\end{array}} \right.\)
Suy ra giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {GCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(G\) và song song với \(AB\)
Do mặt phẳng \((GCD)\)cắt \(SA\) tại \(I\) nên \(I = d \cap SA\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)
Trong \(\Delta SMA\) ta có \(GI//MA \Rightarrow \frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}\)
Cho tứ diện \[ABCD\], gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[AC,AD\] (tham khảo hình vẽ).
Đường thẳng \[MN\] song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau:
\[BC\].
\[AB\].
\[BD\].
\[CD\].
Chọn D
Trong \(\Delta ACD\) ta có \(MN\) là đường trung bình.
Suy ra \(MN//CD\)
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I,J,K\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[AC,AB,CD\] (tham khảo hình vẽ).
Có bao nhiêu đường thẳng song song với mặt phẳng \[\left( {IJK} \right)\] trong các đường thẳng \[AD,BC,BD\]?
\(0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Chọn B
Trong \(\Delta ABC\) ta có \(IJ\) là đường trung bình. Suy ra \(BC//IJ \subset \left( {IJK} \right) \Rightarrow BC//\left( {IJK} \right)\)
Trong \(\Delta ACD\) ta có \(JK\) là đường trung bình. Suy ra \(AD//JK \subset \left( {IJK} \right) \Rightarrow AD//\left( {IJK} \right)\)
Chọn \(\left( {ABD} \right)\) chứa \(BD\)
Ta có \(I \in \left( {IJK} \right) \cap \left( {ABD} \right)\)
\(IJ//AD\)
Nên giao tuyến của \[\left( {IJK} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\] là đường thẳng \(d\) qua \(I\) và song song song với \(AD\)
Suy ra \(d\) cắt \(BD\) nên \(BD\) không song song với \[\left( {IJK} \right)\]
Vậy co 2 đường thẳng song song với \[\left( {IJK} \right)\]
đường thẳng qua \(A\)và song song với \(AB\).
đường thẳng qua \(N\)và song song với \(CD\).
đường thẳng qua \(M\)và song song với \(AB\).
đường thẳng qua \(P\)và song song với \(CD\).
Chọn D
Ta có \[P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]
\(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN//AB\)
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow CD//AB\).
Suy ra \(MN//CD \subset \left( {SCD} \right)\)
Mà \(MN \subset \left( {MNP} \right)\)
Nên giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((SCD)\) là đường thẳng qua \(P\) và song song với \(CD\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Gọi \((\alpha )\)là mặt phẳng qua điểm \(M\)và song song với \(SC,AD\). Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng?
(I). giao tuyến của mặt phẳng\((\alpha )\) và mặt phẳng \((SAB)\)là đường thẳng song song với \(SB\).
(II). giao tuyến của mặt phẳng\((\alpha )\) và mặt phẳng \((SCD)\)là đường thẳng song song với \(SC\).
(III). giao tuyến của mặt phẳng\((\alpha )\) và mặt phẳng \((SAD)\)là đường thẳng song song với \(AD\).
(IV). giao tuyến của mặt phẳng\((\alpha )\) và mặt phẳng \((ABC)\)là đường thẳng song song với \(AD\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Chọn D
Gọi \[N,\;P,\;Q\] lần lượt là trung điểm của \[SD,\;CD,\;AB\]
\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\)
Ta có: \(MQ//SB\) và \(MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\)
Nên (I) đúng
Ta có: \(NP//SC\) và \(NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\)
Nên (II) đúng
Ta có: \(MN//AD\) và \(MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\)
Nên (III) đúng
Ta có: \(PQ//BC//AD\) và \(PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\)
Nên (IV) đúng
Vậy có 4 mệnh đề đúng.
\(ME,NF,SO\) đôi một song song
\(ME,NF,SO\)đồng quy.
\(ME,NF,SO\) đôi một chéo nhau.
\(ME,NF,SO\)không đồng quy.
Chọn B
Ta có:
\[MN//AB//CD//EF\] và \[MF//AD//BC//NE\]
\( \Rightarrow MNEF\) là hình bình hành.
Gọi \(H = ME \cap NF\)
Ta có \(ME = \left( {MNEF} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow H \in ME \subset \left( {SAC} \right)\)
Ta có \(NF = \left( {MNEF} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
\( \Rightarrow H \in NF \subset \left( {SBD} \right)\)
\( \Rightarrow H \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Mà \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
\( \Rightarrow H \in SO\)
Vậy \(ME,NF,SO\)đồng quy tại \(H\)
ba đường thẳng \(SJ,AB,CD\) đồng quy.
ba điểm \(S,I,J\) không thẳng hàng.
ba điểm \(S,I,J\) thẳng hàng.
ba đường thẳng \(SI,AB,CD\) đồng quy.
Chọn B
Ta có \(SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)
Do \(DM\) cắt mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tại \(J\)
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{J \in \left( {SAB} \right)\quad \quad \quad }\\{J \in DM \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow J \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow J \in SI\end{array}\)
Vậy \(S,\;I,\;J\) thẳng hàng
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Chọn C
Gọi \(E = IJ \cap BC\)
\(F = IJ \cap CD\)
Gọi \(G = EK \cap SB\)
\(H = FK \cap SD\)
Khi đó thiết diện của \(\left( {IJK} \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là ngũ giác \(KGIJH\)
\(\frac{{31}}{7}\).
\(\frac{{18}}{7}\).
\(\frac{{24}}{7}\).
\(\frac{{15}}{7}\).
Chọn C
Giả sử \((\alpha )\) cắt tứ diện \(ABCD\) theo thiết diện là hình thoi \(EFGH\)
Ta có \(EF//AB \Rightarrow \frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{EF}}{6} = \frac{{CE}}{{AC}}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}EH//CD \Rightarrow \frac{{EH}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC - CE}}{{AC}} = 1 - \frac{{CE}}{{AC}}\\ \Rightarrow \frac{{EH}}{8} = 1 - \frac{{EF}}{6} \Rightarrow \frac{{EF}}{8} = 1 - \frac{{EF}}{6} \Leftrightarrow EF = \frac{{24}}{7}\end{array}\)
Vậy cạnh của hình thoi bằng \(\frac{{24}}{7}\)
\(k = 4\).
\(k = 6\).
\(k = \frac{{13}}{3}\).
\(k = \frac{9}{2}\).
Chọn B
+ Gọi \(E\)là trung điểm \(AD\), \(I = MG \cap BE\)\( \Rightarrow I = MG \cap (ABCD)\).
+ Xét \(\Delta SBI\), gọi \(H\) là trung điểm \(MB\)
Ta có \(\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EH//MG \equiv MI\)nên \(E\)là trung điểm của \(IB\), mà \(E\)cũng là trung điểm của \(AD\)nên tứ giác \(ABID\)là hình bình hành, suy ra \(DI//AB\)
Mà \(DC//AD\)do đó \(I,C,D\) thẳng hàng
+ Xét \(\Delta BCI\)có \(ED//BC\)
Mà \(E\)là trung điểm của \(AD\)
Suy ra \(D\) là trung điểm của \(CI\)
\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{ID}} = 2\) (1)
+ Gọi \(J = OI \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in AD\\J \in (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow J = AD \cap (OMG)\).
\(\)Trong \(\Delta ACI\) có\(AD,\;IO\) là các đường trung tuyến, suy ra \(J\) là trọng tâm \(\Delta ACI\),
\( \Rightarrow \frac{{JA}}{{JD}} = 2\) (2)
+ Gọi \(K = JG \cap SA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SA\\K \in JG \subset (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow K = SA \cap (OMG)\)
\(\Delta SIB\)có \(SE\)là trung tuyến mà \(\frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\)suy ra \(G\)là trọng tâm \(\Delta SIB\)\(\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{2}{3}\)
Do \(\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow JG//OM//SD \Rightarrow JK//SD \Rightarrow \frac{{KA}}{{KS}} = \frac{{JA}}{{JD}} = 2\)(3)
Từ (1),(2),(3) \[ \Rightarrow k = \frac{{IC}}{{ID}} + \frac{{JA}}{{JD}} + \frac{{KA}}{{KS}} = 6\]
\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}\)
\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).
\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{6}\).
\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{9}\).
Chọn A
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Ta có \(I = BM \cap CN\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)
Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Do đó \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI//AB//CD\).Vì \(SI//CD\) nên \(SI//CF\).
Theo định lý Ta – let ta có: \(\frac{{SI}}{{CF}} = \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow SI = 2CF = CD = a\).
Gọi \(J\)là giao điểm của \(SD\)và \(IC\). Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((AIC)\)và các mặt của hình chóp là tam giác \[ACJ\].
+ Tứ giác \(SIDC\) là hình bình hành \( \Rightarrow J\)là trung điểm của \(SD,CI\)
Mặt khác, \(AC = SD = a\sqrt 2 \Rightarrow AJ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\),
+ Tứ giác \(SIAB\)là hình bình hành \[ \Rightarrow AI = AB = a\]
Xét tam giác \(IAC\)có \(C{I^2} = 2(A{C^2} + A{I^2}) - 4A{J^2} = 4{a^2} \Rightarrow CI = 2a \Rightarrow CJ = a\).
Ta có: \[\cos \widehat {CAJ} = \frac{{A{J^2} + A{C^2} - C{J^2}}}{{2.AC.AJ}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{3}{4}\]
\( \Rightarrow \sin \widehat {CAJ} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Diện thích thiết diện là \({S_{\Delta AJC}} = \frac{1}{2}AC.AJ.\sin \widehat {CAJ} = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}\)(đvdt).
