Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm học 2024-2025 THCS,THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án
30 câu hỏi
PHẦN I. (6.0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 24. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm.
Đổi số đo của góc \[\frac{\pi }{2}\] sang độ ta được
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
\[180^\circ \].
Đáp án đúng là C
\(\sin \alpha > 0,\)\[\cos \alpha > 0\].
\(\sin \alpha < 0,\)\[\cos \alpha < 0\].
\(\sin \alpha > 0,\)\[\cos \alpha < 0\].
\(\sin \alpha < 0,\)\[\cos \alpha > 0\].
Đáp án đúng là A
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\).
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\(T = [ - 1;1]\).
\(T = [1;3]\).
\(T = [ - 1;3]\).
\(T = [ - 3; - 1]\).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\tan 2x = 2025\]
\[\sin 2024x = 2025\]
\[2\cos 2x = 2\]
\[\cot 2x = - 2025\]
\({u_1} = 3.\)
\({u_2} = 5.\)
\({u_3} = 7.\)
\({u_4} = 11.\)
\(5\).
\(\frac{2}{7}\).
\( - 5\).
\(\frac{7}{2}\).
\( - \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.\)
\(SA\).
\(SO\).
\(SC\).
\(SD\).
\(S \in \left( {ABC} \right)\).
\(SA \subset \left( {SBC} \right)\).
\(SC \subset \left( {SBC} \right)\).
\(SA \subset \left( {ABC} \right)\).
\[BD.\]
\[AC.\]
\[AD.\]
\[AB.\]
đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\).
đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(BD\).
đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\).
đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AC\).
trùng nhau.
chéo nhau.
song song.
cắt nhau.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Đường thẳng \(d\)có một điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Đường thẳng \(d\)có hai điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Đường thẳng \(d\)có vô số điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(MN//\left( {SBC} \right).\)
\(MN//\left( {SAC} \right).\)
\(MN//\left( {SAB} \right).\)
\(MN//\left( {ABC} \right).\)
Thứ ba.
Thứ tư.
Thứ năm.
Thứ sáu.
\({S_{10}} = - 125\).
\({S_{10}} = - 250\).
\({S_{10}} = 200\).
\({S_{10}} = - 200\).
\(IJ\) song song với \(CD\).
\(IJ\) song song với \(AB\).
\(IJ\) chéo \(CD\).
\(IJ\) cắt \(AB\).
\(IJ\parallel \left( {SMN} \right)\).
\(IJ\parallel \left( {SAD} \right)\).
.
.
\(\frac{{ - \pi }}{9}\).
\(\frac{{ - 5\pi }}{3}\).
\(\frac{{ - 7\pi }}{9}\).
\(\frac{{ - 13\pi }}{9}\).
\(\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), xét \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{6}\),
vì \(k \in \mathbb{Z}\) suy ra \(x\) đạt giá trị âm lớn nhất khi \(k = - 1\) và bằng: \(\frac{\pi }{3} - 2\pi = - \frac{{5\pi }}{3}\).
+ Với \(x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\), xét \(x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0 \Leftrightarrow k < \frac{1}{6}\),
vì \(k \in \mathbb{Z}\) suy ra \(x\) đạt giá trị âm lớn nhất khi \(k = 0\) và bằng: \( - \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{9} = - \frac{\pi }{9}\) Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \( - \frac{\pi }{9}\).
\(a = 4\).
\(a = 5\).
\(a = 6\).
\(a = 7\).
Cách 1: Ta có \(A = {\sin ^2}\alpha .\frac{{{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\sin ^2}\alpha \left( {1 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)\)
\( = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 - \cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 - \sqrt 5 + 5} \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}\)\( \Rightarrow a = 6\).
Cách 2: \(A = {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - \sin \alpha \cos \alpha \)
\( = {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)\)\( = {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)\)\( = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha - \cot \alpha } \right)\)
\( = \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 + 5 - \sqrt 5 } \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}\)\( \Rightarrow a = 6\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
\(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
\(\sin 2\alpha = \frac{{24}}{{25}}\).
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{{10}}\).
\(\tan \alpha = \frac{4}{3}\).
SDSD
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_7} = - 20\\{u_2} + {u_5} = 27\end{array} \right.\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] là \({u_1} = 2\).
Công sai của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] là \(d = 4\).
Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] là \[{S_{20}} = 970\].
Số \[496\] là số hạng thứ 100 của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\].
SSDD
PHẦN III. (2.0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.
Một bánh xe đang quay đều với vận tốc \[\frac{{25350}}{\pi }\] vòng trong một phút. Sau \[5\] giây, bánh xe quay được một góc có số đo bao nhiêu rađian?
_____
Đáp án: 4225
Lời giải
Số vòng bánh xe quay được sau \[5\] giây: \[\frac{{25350.5}}{{60\pi }} = \frac{{25350}}{{12\pi }}\](vòng)
Sau \[5\] giây, bánh xe quay được một góc có số đo là:
\[\frac{{25350}}{{12\pi }}.2\pi = 4225\]rađian.
Một rạp xiếc có 35 dãy ghế, dãy đầu tiên có 18 ghế. Mỗi dãy sau có nhiều hơn dãy trước 4 ghế. Hỏi rạp xiếc có tất cả bao nhiêu ghế?
_____
Đáp án: 3010
Lời giải
Số ghế của rạp xiếc tương ứng là một cấp số cộng có:
Số hạng đầu tiên bằng số ghế của dãy đầu tiên, do đó ta có: \[{u_1} = 18\].
Vì mỗi dãy sau có hơn dãy trước 4 ghế nên công sai của cấp số cộng là: \[d = 4\].
Tổng số ghế của rạp xiếc là: \[{S_{35}} = \frac{{35}}{2}\left[ {2.18 + \left( {35 - 1} \right)4} \right] = 3010\](ghế)
Cho tứ diện \[ABCD\] và \[G\]là trọng tâm tam giác \[BCD\]. Gọi \[P\] là trung điểm của \[AD\], \[H\]là giao điểm của mặt phẳng \[\left( {ABG} \right)\] với cạnh \[CP\], \[E\] là giao điểm \[BH\] và \[AG\]. Khi đó tỉ số \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{a}{b}\], với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản và \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\]. Tính \[S = {a^6} + {b^6}\].
_____
Đáp án: 4825
Lời giải
Gọi \[M\] trung điểm cạnh \[CD\].
Khi đó \[H = AM \cap CP = CP \cap \left( {ABM} \right) = CP \cap \left( {ABG} \right)\].
Xét tam giác \[ACD\] có \[H\] là trọng tâm.
Theo định lý Thales đảo: \[\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{1}{3}\].
Theo định lý Thales: \[GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{1}{3}\].
Suya ra \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{3}{4}\]. Suy \[a = 3,b = 4 \Rightarrow S = {3^6} + {4^6} = 4825.\]
Giải phương trình lượng giác \({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ta được các nghiệm \(x = \frac{\pi }{a} + k\pi ;\,x = \frac{\pi }{b} + k\frac{\pi }{3};\,k \in \mathbb{Z}\). Tính \[S = {a^4} + {b^2} + 404\].
_____
Đáp án: 2024
Lời giải
\({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 4x}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \pi \\x = \frac{\pi }{{ - 18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 18\end{array} \right.\]. Vậy \[S = {a^4} + {b^2} + 404 = {6^4} + {( - 18)^2} + 404 = 2024\].
