Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT An Lạc (TP.HCM) có đáp án
30 câu hỏi
\(7\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Hình chóp \(S.ABCDE\) có đáy là một ngũ giác \(ABCDE\) (1 mặt đáy). Từ đỉnh \(S\) nối với 5 đỉnh của đáy tạo thành 5 mặt bên (gồm các tam giác \(SAB,SBC,SCD,SDE,SEA\)).
Tổng số mặt là: 6.
Chọn đáp án: D. 6.
\[\frac{{ - 33}}{{65}}\].
\[\frac{{56}}{{65}}\].
\[\frac{{63}}{{65}}\].
\(0\).
Ta sử dụng công thức cộng: \({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b + {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\). Cần tìm \({\rm{cos}}a\) và \({\rm{sin}}b\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \({\rm{cos}}a < 0\): \({\rm{cos}}a = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}\).
Vì \(0 < b < \frac{\pi }{2}\) nên \({\rm{sin}}b > 0\): \({\rm{sin}}b = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \frac{4}{5}\).
Thay vào công thức cộng: \({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = \left( {\frac{5}{{13}}} \right)\left( {\frac{3}{5}} \right) + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{15}}{{65}} - \frac{{48}}{{65}} = \frac{{ - 33}}{{65}}\).
Chọn đáp án: A. \(\frac{{ - 33}}{{65}}\).
\[12\].
\[11\].
\[21\].
\[20\].
Ta có \(2{\rm{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\x&{ = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
Tính toán số nghiệm: Ta tìm số giá trị nguyên \(k\) sao cho nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]\).
Họ nghiệm 1: \( - \frac{{3\pi }}{2} \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{61}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\) (6 nghiệm).
Họ nghiệm 2: \( - \frac{{3\pi }}{2} \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{4}{3} \le k \le \frac{{53}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\) (6 nghiệm).
Tổng số nghiệm trên đoạn là: \(6 + 6 = 12\) nghiệm.
Chọn đáp án: A. 12.
\(\frac{{21}}{{25}}\).
\(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
\( - \frac{{21}}{{25}}\).
\( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Vì \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ IV \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi } \right)\) nên \({\rm{sin}}\alpha < 0\).
\({\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{21}}{{25}}} = - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Chọn đáp án: D. \( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sqrt 3 + 3{\rm{tan}}x = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{tan}}x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{tan}}x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\({\rm{tan}}x = {\rm{tan}}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án: B. \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(m \in \left[ { - 1;0} \right]\).
\(m \in \left[ {0;1} \right]\).
\(m \in \left[ {1;2} \right]\).
\(m \in \left[ { - 2; - 1} \right]\).
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \({\rm{cos}}A + {\rm{cos}}B = 2{\rm{cos}}\frac{{A + B}}{2}{\rm{cos}}\frac{{A - B}}{2}\).
\(P = 2{\rm{cos}}\left( {\frac{{x + \frac{\pi }{6} + x - \frac{\pi }{6}}}{2}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{x + \frac{\pi }{6} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{2}} \right) = 2{\rm{cos}}x \cdot {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)
\(P = 2{\rm{cos}}x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 {\rm{cos}}x\)
Do đó, \(m = \sqrt 3 \approx 1,732\). Nhận thấy \(1,732 \in \left[ {1;2} \right]\).
Chọn đáp án: C. \(m \in \left[ {1;2} \right]\).
\(1 + \cos 4x = 2{\cos ^2}2x\).
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
\(\cos x = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}\).
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
Các khẳng định A, B, D đều là các công thức biến đổi lượng giác cơ bản hoàn toàn đúng.
Xét khẳng định C: Theo công thức nhân đôi, \({\rm{cos}}x = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{x}{2}\). Tuy nhiên ở phương án D lại viết là \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{x}{2} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = - {\rm{cos}}x\) nên khẳng định này bị Sai.
Chọn đáp án: C.
\(\frac{{20\pi }}{7}\).
\(\frac{{6\pi }}{7}\).
\(\frac{\pi }{7}\).
\(\frac{{19\pi }}{{14}}\).
Hai góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi và chỉ khi chúng hơn kém nhau một bội nguyên của \(2\pi \).
Ta tách góc ban đầu: \(\frac{{15\pi }}{7} = \frac{{\pi + 14\pi }}{7} = \frac{\pi }{7} + 2\pi \).
Vì hai góc hơn kém nhau đúng \(2\pi \) nên điểm biểu diễn của góc \(\frac{{15\pi }}{7}\) trùng hoàn toàn với điểm biểu diễn của góc \(\frac{\pi }{7}\).
Chọn đáp án: C. \(\frac{\pi }{7}\).
\(6\).
\(5\).
\(7\).
\(8\).
Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Khi đó \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow 5d = 30 \Leftrightarrow d = 6\).
Chọn đáp án: A. 6.
\(S = \left\{ {\left. {k\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {\left. {\pi + k2\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {\left. {k2\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\({\rm{sin}}\frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn đáp án: B. \(S = \{ k2\pi |k \in \mathbb{Z}\} \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\sin a > 0;\cos a > 0\].
\[\sin a < 0;\cos a > 0\].
\[\sin a < 0;\cos a < 0\].
\[\sin a > 0;\cos a < 0\].
Khi góc lượng giác \(a\) nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác:
Giá trị hình chiếu lên trục tung (trục \({\rm{sin}}\)) mang dấu dương \( \Rightarrow {\rm{sin}}a > 0\).
Giá trị hình chiếu lên trục hoành (trục \({\rm{cos}}\)) mang dấu âm \( \Rightarrow {\rm{cos}}a < 0\).
Chọn đáp án: D. \({\rm{sin}}a > 0;{\rm{cos}}a < 0\).
\(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\).
\(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BD\).
\(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BC\).
\(d\) đi qua \(S\) và song song với \(DC\).
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung dễ thấy là đỉnh \(S\). Mặt khác, ta có đường thẳng \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và đường thẳng \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) song song với nhau (vì đáy \(ABCD\) là hình bình hành).
Kết luận: Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến \(d\) sẽ đi qua điểm chung \(S\) và song song với cả \(AD\) và \(BC\).
Chọn đáp án: C. d đi qua S và song song với BC.
\(\frac{\pi }{4}.\)
\(\frac{{3\pi }}{2}.\)
\(\frac{\pi }{{10}}.\)
\(\frac{{6\pi }}{5}.\)
Áp dụng công thức chuyển đổi từ độ sang radian: \(\alpha = {a^ \circ } \cdot \frac{\pi }{{{{180}^ \circ }}}\).
\(\alpha = 216 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{6\pi }}{5}\)
Chọn đáp án: D. \(\frac{{6\pi }}{5}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Phương án B khẳng định: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. Khẳng định này Sai vì trong trường hợp đặc biệt 3 điểm phân biệt đó thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa chúng. Định lý chỉ đúng khi 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.
Chọn đáp án: B.
\(q = 3;\;q = - 3\).
\(q = - 2\).
\(q = 3\).
\(q = - 3\).
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\).
\({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} \Leftrightarrow - 162 = - 2 \cdot {q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 81 \Leftrightarrow q = \pm 3\).
Chọn đáp án: A. \(q = 3;q = - 3\).
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \] \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\({\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3}\)\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\x&{ = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\]
Chọn đáp án: C. \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
14.
5.
54.
11.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_4} = {u_1} + 3d\).
\({u_4} = 2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11\)
Chọn đáp án: D. 11.
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Hàm số phân thức xác định khi biểu thức ở mẫu số khác 0.
\(1 + {\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do đó, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn đáp án: D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(A \subset \left( P \right)\).
\(A \in \left( P \right)\).
\(A \notin \left( P \right)\).
\(A \not\subset \left( P \right)\).
Điểm là một phần tử, mặt phẳng là một tập hợp các điểm. Kí hiệu mối quan hệ phần tử thuộc tập hợp là (\( \in \)).
Chọn đáp án: B. \(A \in \left( P \right)\).
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\).
\(\cos x = 2\).
\(\sin x = - 2\).
\(\sin 2x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Giá trị của các hàm số \({\rm{sin}}\) và \({\rm{cos}}\) luôn bị chặn trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Các đáp án B, C, D đều có giá trị nằm ngoài đoạn này nên vô nghiệm (ví dụ \(\frac{{\sqrt 5 }}{2} \approx 1,11 > 1\)).
Xét đáp án A: \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) có nghiệm vì \(1 \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Chọn đáp án: A.
\(\left[ {2;3} \right]\).
\(\left[ {0;1} \right]\).
\(\left[ {1;5} \right]\).
\(\left[ { - 2;3} \right]\).
Ta đi từ tập giá trị cơ bản của hàm \({\rm{sin}}\): \( - 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1\).
Biến đổi để xuất hiện biểu thức của hàm số:
\( \Leftrightarrow - 2 \le 2{\rm{sin}}2x \le 2 \Leftrightarrow - 2 + 3 \le 2{\rm{sin}}2x + 3 \le 2 + 3 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5\)
Chọn đáp án: C. [1;5].
\[{u_{n + 1}} > {u_n}\].
\[{u_{n + 1}} \ge {u_n}\].
\[{u_{n + 1}} = {u_n}\].
\[{u_{n + 1}} < {u_n}\].
Theo định nghĩa dãy số trong chương trình Toán 11, một dãy số là dãy tăng khi số hạng liền sau luôn có giá trị lớn hơn số hạng liền trước nó.
Biểu thức: \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\).
Chọn đáp án: A. \({u_{n + 1}} > {u_n}\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Trong hình học không gian, hai đường thẳng được định nghĩa là chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một mặt phẳng, tức là hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Chọn đáp án: A.
Giải thích các đáp án còn lại tại sao sai:
Đáp án B: Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án C: Hai đường thẳng không song song thì có thể cắt nhau, trùng nhau hoặc chéo nhau.
Đáp án D: Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau hoặc trùng nhau.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
\(y = \cos 3x\).
\(y = \sin 2x\).
\(y = \cot x\).
\(y = \tan x\).
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi đó là hàm số chẵn.
Xét hàm số \(y = {\rm{cos}}3x\): Ta có \(y\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}\left( { - 3x} \right) = {\rm{cos}}3x = y\left( x \right)\), suy ra đây là hàm số chẵn.
Các hàm số còn lại gồm \(y = {\rm{sin}}2x,y = {\rm{tan}}x,y = {\rm{cot}}x\) đều là hàm số lẻ nên đồ thị của chúng đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).
Chọn đáp án: A. \(y = {\rm{cos}}3x\).
\[{\cos ^2}3x = \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\].
\[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\].
\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\].
\[{\sin ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\].
Các công thức ở phương án A, B, C đều đúng dựa theo các hệ thức và công thức lượng giác cơ bản.
Xét đáp án D: Công thức hạ bậc chính xác phải là \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2x = \frac{{1 - {\rm{cos}}4x}}{2}\). Biểu thức đề bài viết sai dấu thành dấu cộng (\( + \)).
Chọn đáp án: D.
II/ TỰ LUẬN (5 điểm)
(0,5 điểm) Cho \({\rm{cos}}\alpha = \frac{2}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi .\) Tìm giá trị lượng giác \({\rm{sin2}}\alpha .\)Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0\). |
|
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{{ - \sqrt {21} }}{5}\).
| 0,25 |
\({\rm{sin2}}\alpha = 2\sin a\cos a = - \frac{{4\sqrt {21} }}{{25}}\) | 0,25 |
(0,5 điểm) Chứng minh rằng \[\sin x.{\cos ^3}x - \cos x.{\sin ^3}x = \frac{1}{4}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}x\].
VT = \[\sin x.{\cos ^3}x - \cos x.{\sin ^3}x\] = sinx. cos x (cos2x – sin2x) = \[\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x\] | 0,25 |
\[ = \frac{1}{4}\sin 4x = VP\] | 0,25 |
(1,0 điểm)
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(2sin2x + 1 = 0\); b) \(\tan \left( {3x - 10^\circ } \right) = \sqrt 3 \).
a) \(2sin2x + 1 = 0\)
\(2sin2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow sin2x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow sin2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\) | 0,25+0,25 |
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
|
|
b)\(\tan \left( {3x - 10^\circ } \right) = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow 3x - 10^\circ = 60^\circ + k180^\circ \,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\) | 0,25 |
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x = 70^\circ + k180^\circ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}70^\circ + k60^\circ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\) | 0,25 |
(1,0 điểm)
a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\).
b) Người ta trồng 610 cây trong một khu vườn theo cách sau: hàng thứ nhất có 2 cây, hàng thứ hai có 5 cây, và cứ thế mỗi hàng sau sẽ nhiều hơn hàng ngay trước đó 3 cây. Hỏi tổng số hàng cây trong khu vườn bằng bao nhiêu?
a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 4d - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 5\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.\,\) | 0,25 |
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.\)\(\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\) | 0,25 |
b) Người ta trồng 610 cây trong một khu vườn theo cách sau: hàng thứ nhất có 2 cây, hàng thứ hai có 5 cây, và cứ thế mỗi hàng sau sẽ nhiều hơn hàng ngay trước đó 3 cây. Hỏi tổng số hàng cây trong khu vườn bằng bao nhiêu?
Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\). Tổng số cây trồng được là: \(\begin{array}{l}{S_n} = 610\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left[ {2.2 + (n - 1)3} \right]}}{2} = 610\\ \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 1220 = 0\end{array}\)
| 0,25 |
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 20{\rm{ (nhan) }}}\\{n = - \frac{{61}}{3}{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.{\rm{. }}\) Vậy số hàng cây trong khu vườn là 20 hàng.
| 0,25 |
(2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) và giao điểm E của AM và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Tìm giao điểm của P của SB và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\).
c) Gọi F là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AF và BD, K là giao điểm của AF và CD, I là giao điểm của KM và SD. Chứng minh rằng N, E, I thẳng hàng.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)và giao điểm E của AM và \(\left( {SBD} \right)\).
Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có: Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(O = AC \cap BD\). \( \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\): \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\) | 0,5 |
Chọn mặt phẳng phụ chứa \(AM\) là mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng cần tìm \(\left( {SBD} \right)\), theo chứng minh trên ta có: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E = AM \cap SO\). Vì \(E \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right)\). Kết luận: Giao điểm của \(AM\) và \(\left( {SBD} \right)\) chính là điểm \(E\). | 0,5 |
b) Tìm giao điểm của P của SB và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\).
Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) song song với nhau. Xét hai mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\): Có điểm \(M\) chung. Có hai đường thẳng \(AD \subset \left( {MAD} \right)\) và \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) song song với nhau. Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của \(\left( {MAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(Mx\) đi qua \(M\) và song song với cả \(AD\) và \(BC\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), đường thẳng \(Mx\) (qua \(M\) song song với \(BC\)) sẽ cắt cạnh \(SB\) tại điểm \(P\). Vì \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(P\) sẽ là trung điểm của \(SB\) (theo định lý đường trung bình trong \(\Delta SBC\)). Do \(P \in Mx \subset \left( {MAD} \right) \Rightarrow P \in \left( {MAD} \right)\). Kết luận: Giao điểm của \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\) là trung điểm \(P\) của \(SB\). | 0,5 |
c) Gọi F là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AF và BD, K là giao điểm của AF và CD, I là giao điểm của KM và SD. Chứng minh rằng N, E, I thẳng hàng.
Để chứng minh ba điểm \(N,E,I\) thẳng hàng, ta cần chứng minh chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. Ở đây, hai mặt phẳng đó là \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). Ta lần lượt xét vị trí của các điểm: 1. Xét điểm \(E\): Theo câu a, \(E = AM \cap SO\). Vì \(E \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right)\). Vì \(E \in AM \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow E \in \left( {AMK} \right)\). \( \Rightarrow E\) là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (1) 2. Xét điểm \(N\): Theo giả thiết, \(N = AF \cap BD\). Vì \(N \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBD} \right)\). Vì \(N \in AF \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow N \in \left( {AMK} \right)\). \( \Rightarrow N\) là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (2) 3. Xét điểm \(I\): Theo giả thiết, \(I = KM \cap SD\). Vì \(I \in SD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\). Vì \(I \in KM \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow I \in \left( {AMK} \right)\). \[ \Rightarrow I\] là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (3) Từ (1), (2) và (3), ta thấy cả ba điểm \(N,E,I\) đều cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). Kết luận: Ba điểm \(N,E,I\) thẳng hàng (đpcm). | 0,5 |
