Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THCS, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án - mã 1102
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Giải phương trình \({\rm{sin}}x + 1 = 0\) ta được tập nghiệm là
\(S = \left\{ {k2\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có: \({\rm{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C.
\(M = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\).
\(M = \frac{{{\rm{cos}}3x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}}\).
\(M = \frac{1}{{{\rm{sin}}x}}\).
\(M = 1\).
Điều kiện xác định: \({\rm{sin}}x \ne 0\) và \({\rm{cos}}x \ne 0\).
Ta biến đổi biểu thức \(M\): \(M = \frac{{{\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}x - {\rm{cos}}2x \cdot {\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}}\)
Áp dụng công thức cộng \({\rm{sin}}\left( {A - B} \right) = {\rm{sin}}A{\rm{cos}}B - {\rm{cos}}A{\rm{sin}}B\):
\(M = \frac{{{\rm{sin}}\left( {2x - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\).
Chọn A.
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ {0;1} \right]\).
\(\mathbb{R}\).
Hàm số lượng giác \(y = {\rm{cos}}2x\) luôn xác định với mọi số thực \(x\). Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Chọn D.
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
Ta có mối liên hệ giữa \({\rm{tan}}x\) và \({\rm{cot}}x\) khi cả hai cùng xác định là:
\({\rm{tan}}x \cdot {\rm{cot}}x = 1 \Rightarrow {\rm{tan}}x = \frac{1}{{{\rm{cot}}x}} = \frac{1}{2}\).
Chọn C.
1.
0.
2.
Vô số.
Vì trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) (thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV), giá trị của hàm số sin luôn không dương (\({\rm{sin}}x \le 0\)).
Trong khi đó, đề bài cho \({\rm{sin}}x = \frac{1}{5} > 0\).
Do đó, phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\).
Chọn B.
\(x = 11\).
\(x = 23\).
\(x = 12\).
\(x = 24\).
Để ba số \( - x;12;2x + 1\) lập thành một cấp số cộng, số hạng ở giữa phải bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên: \(12 = \frac{{ - x + \left( {2x + 1} \right)}}{2} \Leftrightarrow 24 = x + 1 \Leftrightarrow x = 23\).
Chọn B.
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {\pi ;0} \right)\).
Thay tọa độ các điểm vào hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}x + 1\):
Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = {\rm{sin}}0 + 1 = 1\). Điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc đồ thị.
Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 2 \ne 0\).
Với \(x = \pi \Rightarrow f\left( \pi \right) = {\rm{sin}}\pi + 1 = 1 \ne 0\).
Chọn A.
\(d = - 7\).
\(d = \frac{9}{2}\).
\(d = 9\).
\(d = 7\).
Công sai \(d\) của cấp số cộng được tính bằng hiệu hai số hạng liên tiếp:
\(d = {u_2} - {u_1} = 9 - 2 = 7\).
Chọn D.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Khi đó, điểm \(D\) biểu diễn các góc lượng giác nào?
\(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( - \frac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Điểm \(D\) nằm trên trục tung \(Oy\) ở phía chiều âm. Tia đầu là tia \(OA\), tia cuối \(OD\) quay theo chiều âm một góc bằng \(\frac{\pi }{2}\) (hoặc chiều dương góc \(\frac{{3\pi }}{2}\)).
Vậy các góc lượng giác có điểm biểu diễn là \(D\) sẽ có dạng: \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B.
\(24^\circ \).
\(12^\circ \).
\(30^\circ \).
\(48^\circ \).
Gọi số đo bốn góc của tứ giác theo thứ tự từ bé đến lớn lập thành cấp số nhân lần lượt là: \(x,2x,4x,8x\) (với \(x > 0\)).
Tổng các góc trong một tứ giác bằng \(360^\circ \):
\(x + 2x + 4x + 8x = 360^\circ \Leftrightarrow 15x = 360^\circ \Leftrightarrow x = 24^\circ \).
Góc bé nhất là góc đầu tiên có số đo \(x = 24^\circ \).
Chọn A.
Hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm lượng giác \(y = {\rm{sin}}2x\). 
Hàm số \(y = {\rm{sin}}2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {\rm{sin}}2x\), đồ thị có xu hướng “đi lên” từ trái sang phải trên khoảng từ điểm \(x = - \frac{\pi }{4}\) đến điểm \(x = \frac{\pi }{4}\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
Chọn C.
\({u_2} = - 9\).
\({u_2} = 9\).
\({u_2} = 4\).
\({u_2} = 10\).
Áp dụng công thức truy hồi với \(n = 1\): \({u_2} = 2{u_1} - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9\).
Chọn B.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{tan}}\left( { - x} \right)\) xác định trên tập \(D\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) = {\rm{tan}}x,\,\forall x \in D\).
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{9\pi }}{4}\).
a) Sai: Vì \(f\left( x \right) = {\rm{tan}}\left( { - x} \right) = - {\rm{tan}}x\). Hàm số xác định khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định phải là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Sai: Vì hàm \({\rm{tan}}\) là hàm số lẻ nên \({\rm{tan}}\left( { - x} \right) = - {\rm{tan}}x\).
c) Đúng: Ta có:
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow {\rm{tan}}\left( { - x} \right) = 1 \Leftrightarrow - x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + m\pi \,\left( {m = - k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Đúng: Tìm các nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\):
\( - \pi \le - \frac{\pi }{4} + m\pi \le 2\pi \Leftrightarrow - 1 \le - \frac{1}{4} + m \le 2 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le m \le \frac{9}{4}\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).
Các nghiệm cụ thể tương ứng là:
Với \(m = 0 \Rightarrow {x_1} = - \frac{\pi }{4}\)
Với \(m = 1 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}\)
Với \(m = 2 \Rightarrow {x_3} = \frac{{7\pi }}{4}\)
Tổng các nghiệm là: \({x_1} + {x_2} + {x_3} = \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{9\pi }}{4}\).
Khi \(x = 0\) thì \(A = 1\).
\(A = 1 + {\rm{sin}}2x\).
\(A \in \left[ {0;2} \right]\).
Nếu \({\rm{cos}}2x = - 1\) thì \(A = - 2\).
Khai triển biểu thức \(A\): \(A = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - {\rm{sin}}2x = 1 - {\rm{sin}}2x\).
a) Đúng: Thay \(x = 0 \Rightarrow A = 1 - {\rm{sin}}0 = 1\).
b) Sai: Vì công thức đúng phải là \(A = 1 - {\rm{sin}}2x\).
c) Đúng: Vì \( - 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow - 1 \le - {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - {\rm{sin}}2x \le 2 \Rightarrow A \in \left[ {0;2} \right]\).
d) Sai: Nếu \({\rm{cos}}2x = - 1 \Rightarrow 2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Khi đó \({\rm{sin}}2x = 0 \Rightarrow A = 1 - 0 = 1 \ne - 2\). Hơn nữa, vì \(A \in \left[ {0;2} \right]\) nên \(A\) không thể bằng \( - 2\).
Hàng thứ 3 phải trồng số cây xoài là \({a_3} = 4\).
Số lượng cây xoài ở mỗi hàng lần lượt lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 2\).
Số lượng cây xoài ở hàng thứ \(n\) được tính bởi công thức: \({a_n} = {2^n}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).
Trung tâm cần phải mua và trồng bổ sung tối thiểu 247 cây xoài giống nữa ở hàng cuối mới đảm bảo tính thẩm mĩ.
Số lượng cây xoài ở các hàng lập thành một cấp số nhân \(\left( {{a_n}} \right)\) có số hạng đầu \({a_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).
a) Đúng: \({a_3} = {a_1} \cdot {q^2} = 1 \cdot {2^2} = 4\).
b) Đúng: Số lượng cây hàng sau gấp đôi hàng trước nên đây là cấp số nhân có \(q = 2\).
c) Sai: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là \({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = 1 \cdot {2^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\).
d) Sai: Tổng số cây trồng từ hàng 1 đến hàng thứ \(n\) là: \({S_n} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = {2^n} - 1\).
Để trồng hết số cây theo quy trình hoàn chỉnh của các hàng sao cho tổng số cây tối thiểu là 2000 cây, ta cần tìm \(n\) sao cho: \({S_n} \ge 2000 \Rightarrow {2^n} - 1 \ge 2000 \Leftrightarrow {2^n} \ge 2001\)
Ta có \({2^{10}} = 1024\) và \({2^{11}} = 2048\). Vậy \(n = 11\).
Tổng số cây cần thiết để hoàn thành đến hàng thứ 11 là: \({S_{11}} = {2^{11}} - 1 = 2047\) cây.
Số cây trung tâm hiện có là 2000 cây.
Vậy số cây cần mua bổ sung tối thiểu là: \(2047 - 2000 = 47{\rm{\;c\^a y}}\).
\({S_1} = 2,{S_2} = 0\).
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 4\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 6 + 4n\).
Số \( - 74\) là số hạng thứ 20 của cấp số cộng.
a) Đúng: \({S_1} = 4 \cdot 1 - 2 \cdot {1^2} = 2\).
\({S_2} = 4 \cdot 2 - 2 \cdot {2^2} = 8 - 8 = 0\).
b) Đúng: Ta có \({u_1} = {S_1} = 2\).
\({u_1} + {u_2} = {S_2} = 0 \Rightarrow 2 + {u_2} = 0 \Rightarrow {u_2} = - 2\).
Công sai \(d = {u_2} - {u_1} = - 2 - 2 = - 4\).
c) Sai: Số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 4} \right) = 2 - 4n + 4 = 6 - 4n\).
d) Đúng: Cho \({u_n} = - 74\):
\(6 - 4n = - 74 \Leftrightarrow - 4n = - 80 \Leftrightarrow n = 20\).
Vậy \( - 74\) là số hạng thứ 20.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_3} - {v_6} = - 15}\\{{v_1} + {v_2} = 11}\end{array}} \right.\). Tính giá trị \({v_{20}}\).
___
Biểu diễn các số hạng qua số hạng đầu \({v_1}\) và công sai \(d\):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{v_1} + 2d} \right) - \left( {{v_1} + 5d} \right) = - 15}\\{{v_1} + \left( {{v_1} + d} \right) = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3d = - 15}\\{2{v_1} + d = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 5}\\{2{v_1} + 5 = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 5}\\{{v_1} = 3}\end{array}} \right.\)
Giá trị của \({v_{20}}\) là:
\({v_{20}} = {v_1} + 19d = 3 + 19 \cdot 5 = 3 + 95 = 98\).
Đáp số: 98.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2{u_n} + 1}}}\end{array}} \right.\), với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},n \ge 1\). Tính giá trị của \(T = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{50}}}}\).
_____
Nhận xét \({u_n} > 0\) với mọi \(n\). Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:
\(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).
Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).
Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).
Biểu thức \(T\) chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\):
\(T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500\).
Đáp số: 2500.
Cho hình vuông \({a_1}\) có độ dài cạnh là \(40{\rm{m}}\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({a_2}\). Cứ tiếp tục như vậy ta được các hình vuông tương ứng \({a_3},{a_4}, \ldots \) (hình vẽ).
Diện tích hình vuông thứ 20 là \(a\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\). Tìm giá trị của \(a\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
_____
Xét hình vuông cạnh \(x\). Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, độ dài mỗi đoạn nhỏ là \(\frac{x}{4}\). Theo quy tắc nối để tạo hình vuông mới nhỏ hơn bên trong, các đỉnh của hình vuông mới sẽ chia cạnh của hình vuông cũ theo tỉ lệ \(1:3\) (một đoạn là \(\frac{x}{4}\) và đoạn còn lại là \(\frac{{3x}}{4}\)).
Áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh hình vuông mới (\(x{\rm{'}}\)):
\({\left( {x{\rm{'}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{9{x^2}}}{{16}} = \frac{{10}}{{16}}{x^2} = \frac{5}{8}{x^2}\).
Vì diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh, gọi \({S_n}\) là diện tích hình vuông thứ \(n\), ta có mối liên hệ: \({S_{n + 1}} = \frac{5}{8}{S_n}\).
Do đó, diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là diện tích hình vuông \({a_1}\): \({S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) và công bội là \(q = \frac{5}{8} = 0,625\).
Diện tích của hình vuông thứ 20 (\({S_{20}}\)) là: \(a = {S_{20}} = {S_1} \cdot {q^{19}} = 1600 \cdot {\left( {0,625} \right)^{19}} \approx 0,21176\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Làm tròn đến hàng phần trăm: \(a \approx 0,21\).
Đáp số: 0,21.
Mực nước cao nhất tại một cảng biển là \(12{\rm{m}}\) khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là \(8{\rm{m}}\). Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao mực nước \(h\,\left( {\rm{m}} \right)\) theo thời gian \(t\,\left( {\rm{h}} \right)\,\,\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h = m + a{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(m,a\) là các số thực dương cho trước. Giá trị của \(T = m \cdot a\) là bao nhiêu?
___
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) lần lượt là \(1\) và \( - 1\).
Vì \(a > 0\), ta có:
Mực nước cao nhất là: \({h_{{\rm{max}}}} = m + a \cdot 1 = m + a = 12\).
Mực nước thấp nhất là: \({h_{{\rm{min}}}} = m + a \cdot \left( { - 1} \right) = m - a = 8\).
Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + a = 12}\\{m - a = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m = 20}\\{2a = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 10}\\{a = 2}\end{array}} \right.\).
Giá trị của tích \(T\): \(T = m \cdot a = 10 \cdot 2 = 20\).
Đáp số: 20.
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - 1 = 0\) có dạng \(x = - \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a + b\).
___
Lời giải
Ta có phương trình:
\({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Để tìm nghiệm âm lớn nhất, ta cần \(x < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - k2\pi < 0 \Leftrightarrow k2\pi > \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow k > \frac{1}{8}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên giá trị \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(k = 1\).
Thay \(k = 1\) vào ta được nghiệm âm lớn nhất: \(x = \frac{\pi }{4} - 2\pi = - \frac{7}{4}\pi \).
Đối chiếu với dạng \(x = - \frac{a}{b}\pi \), suy ra \(a = 7\) và \(b = 4\) (đây đã là phân số tối giản).
Tính \(T\): \(T = a + b = 7 + 4 = 11\).
Đáp số: 11.
Cho góc lượng giác \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) và có \({\rm{sin}}x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
_____
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) (góc phần tư thứ II) nên \({\rm{cos}}x < 0\).
Ta có: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow {\rm{cos}}x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Khai triển biểu thức \(A\) bằng công thức cộng của hàm côsin:
\(A = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right){\rm{cos}}x + {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right){\rm{sin}}x\)
\(A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{3} = - \frac{4}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{6} = \frac{{ - 4 + \sqrt 2 }}{6}\)\( \approx - 0,43096\).
Làm tròn đến hàng phần chục (hàng phần mười) ta được: \( - 0,4\).
Đáp số: −0,4.
