Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THCS, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án - mã 1101
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{4}\).
Chọn A.
\(S = \left\{ {\pi + k2\pi } \right\}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {k2\pi } \right\}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(S = \left\{ {k\pi } \right\}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A.
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Thay tọa độ \(x = 0\) vào hàm số: \(f\left( 0 \right) = {\rm{cos}}0 + 1 = 1 + 1 = 2\). Đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\).
Chọn A.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A;B;C;D\) nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Khi đó, điểm \(B\) biểu diễn các góc lượng giác nào?
\( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( - \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Điểm \(B\) nằm trên tia dương của trục tung \(Oy\), ứng với vị trí góc lượng giác \(\frac{\pi }{2}\). Công thức tổng quát là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C.
\(d = 13\).
\(d = \frac{{11}}{2}\).
\(d = - 9\).
\(d = 9\).
Chọn D.
\(M = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\).
\(M = 1\).
\(M = \frac{1}{{{\rm{sin}}x}}\).
\(M = \frac{{{\rm{cos}}3x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}}\).
Quy đồng biểu thức \(M\):
\(M = \frac{{{\rm{cos}}2x \cdot {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}2x \cdot {\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{cos}}\left( {2x - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}x}}\).
Chọn C.
\(\mathbb{R}\).
\(\left[ {0;1} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
Hàm số lượng giác dạng \(y = {\rm{sin}}\left( X \right)\) luôn xác định với mọi biểu thức \(X \in \mathbb{R}\). Do đó tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Chọn A.
\({u_2} = 10\).
\({u_2} = 4\).
\({u_2} = 9\).
\({u_2} = 11\).
Chọn D.
\(0\).
\(1\).
Vô số.
\(2\).
Trên đoạn \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) (nửa trái đường tròn lượng giác), giá trị của hàm số \({\rm{cos}}x \le 0\). Trong khi đó vế phải \(\frac{1}{5} > 0\). Phương trình vô nghiệm trên đoạn này.
Chọn A.
\(x = 23\).
\(x = 25\).
\(x = 12\).
\(x = 24\).
Áp dụng tính chất cấp số cộng:
\(\left( { - x} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 2 \cdot 12 \Leftrightarrow x - 1 = 24 \Leftrightarrow x = 25\).
Chọn B.
Hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số lượng giác \(y = {\rm{sin}}2x\).
Đồ thị hàm lượng giác \(y = {\rm{sin}}2x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số \(y = {\rm{sin}}2x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Chọn B.
\(129^\circ \).
\(180^\circ \).
\(24^\circ \).
\(192^\circ \).
Gọi bốn góc có số đo là \({u_1},2{u_1},4{u_1},8{u_1}\). Tổng bốn góc trong tứ giác bằng \(360^\circ \):
\({u_1} + 2{u_1} + 4{u_1} + 8{u_1} = 360^\circ \Leftrightarrow 15{u_1} = 360^\circ \Leftrightarrow {u_1} = 24^\circ \).
Góc lớn nhất là: \(8{u_1} = 8 \cdot 24^\circ = 192^\circ \).
Chọn D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trung tâm Trải nghiệm sáng tạo trường Nguyễn Bỉnh Khiêm – Hà Nội lên kế hoạch cho học sinh trồng cây trên các bậc thang đã được cải tạo và bồi đất dọc theo sườn đồi từ thấp lên cao, trong đó có giống xoài mới. Đối với giống xoài mới, theo thiết kế, hàng thứ nhất (mặt đất) sẽ trồng \(1\) cây và từ hàng trên liền kề sẽ trồng số lượng cây gấp đôi hàng dưới. Để đảm bảo tính thẩm mĩ cho vườn cây thì nhất thiết ở mỗi hàng phải trồng đủ số cây theo thiết kế (hàng trên gấp đôi hàng dưới), nếu hàng cuối chưa đủ sẽ phải mua bổ sung. Hiện trong vườn cây giống, trung tâm đã có \(2000\) cây xoài. Gọi \({a_1};{a_2};{a_3};...;{a_n};...\) lần lượt là số cây xoài ở hàng thứ \(1;2;3;...;n;...\)Hàng thứ \(4\) phải trồng số cây xoài là \({a_4} = 4\).
Số lượng cây xoài ở mỗi hàng lần lượt lập thành cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Số lượng cây xoài ở hàng thứ \(n\) được tính bởi công thức: \({a_n} = {2^{n - 1}}\) (\(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).
Trung tâm cần phải mua và trồng bổ sung tối thiểu \(347\) cây xoài giống nữa ở hàng cuối mới đảm bảo tính thẩm mĩ.
Số cây xoài ở mỗi hàng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \[{a_1} = 1\] và công bội \(q = 2\).
a) SAI. Vì \({a_4} = {a_1}{q^3} = 1 \cdot {2^3} = 8\).
b) SAI. Công bội là \(q = 2\).
c) ĐÚNG. Công thức tổng quát số hạng: \({a_n} = {a_1}{q^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\) (\(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).
d) SAI. Tổng số cây trồng từ hàng 1 đến hàng thứ \(n\) là: \({S_n} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = {2^n} - 1\).
Để trồng hết số cây theo quy trình hoàn chỉnh của các hàng sao cho tổng số cây tối thiểu là 2000 cây, ta cần tìm \(n\) sao cho: \({S_n} \ge 2000 \Rightarrow {2^n} - 1 \ge 2000 \Leftrightarrow {2^n} \ge 2001\)
Ta có \({2^{10}} = 1024\) và \({2^{11}} = 2048\). Vậy \(n = 11\).
Tổng số cây cần thiết để hoàn thành đến hàng thứ 11 là: \({S_{11}} = {2^{11}} - 1 = 2047\) cây.
Số cây trung tâm hiện có là 2000 cây.
Vậy số cây cần mua bổ sung tối thiểu là: \(2047 - 2000 = 47{\rm{\;c\^a y}}\).
\({S_1} = 4;{S_2} = 8\).
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4\) và công sai \(d = 2\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 2 + 2n\).
Số \(46\) là số hạng thứ \(20\) của cấp số cộng.
a) SAI. \({S_1} = 4\); \({S_2} = {2^2} + 3 \cdot 2 = 10\).
b) ĐÚNG. \({u_1} = {S_1} = 4\); \({u_2} = {S_2} - {S_1} = 10 - 4 = 6 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 2\).
c) ĐÚNG. \({u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n + 2\).
d) SAI. \(2n + 2 = 46 \Leftrightarrow 2n = 44 \Leftrightarrow n = 22\). Số 46 là số hạng thứ 22.
\(A = 1 + {\rm{sin}}2x\).
Khi \(x = 0\) thì \(A = 0\).
\(A \in \left[ { - 2;0} \right]\).
Nếu \({\rm{cos}}2x = 1\) thì \(A = 1\).
a) ĐÚNG. Khai triển: \(A = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = 1 + {\rm{sin}}2x\).
b) SAI. Thay \(x = 0 \Rightarrow A = 1 + {\rm{sin}}0 = 1\).
c) SAI. Ta có \[ - 1 \le \sin 2x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\], suy ra \[0 \le 1 + \sin 2x \le 2,\forall x \in \mathbb{R}\].
Tập giá trị là \(A \in \left[ {0;2} \right]\).
d) ĐÚNG. \({\rm{cos}}2x = 1 \Rightarrow {\rm{sin}}2x = 0 \Rightarrow A = 1 + 0 = 1\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(y = - \cos x,\forall x \in D\).
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) là \(12\pi \).
a) SAI. Tập xác định của hàm số côsin là \(D = \mathbb{R}\).
b) SAI. Vì hàm côsin chẵn nên \(f\left( x \right) = {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x\).
c) ĐÚNG. \({\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
d) ĐÚNG. Các nghiệm trong khoảng \(\left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) gồm \(0,2\pi ,4\pi ,6\pi \).
Tổng nghiệm: \(0 + 2\pi + 4\pi + 6\pi = 12\pi \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_3} - {v_6} = - 15}\\{{v_1} + {v_2} = 11}\end{array}} \right.\]. Tính giá trị của số hạng \({v_{25}}\).
____
Biến đổi hệ phương trình theo \({v_1}\) và \(d\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{v_1} + 2d} \right) - \left( {{v_1} + 5d} \right) = - 15}\\{{v_1} + \left( {{v_1} + d} \right) = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3d = - 15}\\{2{v_1} + d = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 5}\\{{v_1} = 3}\end{array}} \right.\).
Giá trị của \({v_{25}}\) là: \({v_{25}} = {v_1} + 24d = 3 + 24 \cdot 5 = 123\).
Đáp số: 123.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2{u_n} + 1}}}\end{array}} \right.\), với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 1\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{40}}}}\).
_____
Nghịch đảo hệ thức truy hồi ta thu được: \(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).
Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({v_1} = 1,d = 2\).
Tổng cần tìm: \(T = {S_{40}} = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + 39 \cdot 2} \right] = 20 \cdot 80 = 1600\).
Đáp số: 1600.
Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 12 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 8 m. Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h = m + a{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(m;a\) là các số thực dương cho trước. Giá trị của tỷ số \(T = \frac{m}{a}\) là bao nhiêu?
__
Ta có \( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi đó, ta có hệ phương trình dựa vào biên độ của hàm số côsin ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + a = 12}\\{m - a = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 10}\\{a = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = \frac{{10}}{2} = 5\).
Đáp số: 5.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\) có dạng \(x = \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a + b\).
__
Phương trình tương đương: \(\frac{\pi }{4} - x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} - k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghịệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = - 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{4} \Rightarrow a = 5,b = 4\).
Tổng thu được: \(T = 5 + 4 = 9\).
Đáp số: 9.
Cho hình vuông \({a_1}\) có độ dài cạnh là \(40{\rm{m}}\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({a_2}\). Cứ tiếp tục như vậy ta được các hình vuông tương ứng \({a_3},{a_4}, \ldots \) (hình vẽ).
Diện tích hình vuông thứ 15 là \(a\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tìm giá trị của a (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
_____
Diện tích hình vuông đầu tiên: \({S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Tỷ lệ các cạnh chia tạo thành tam giác vuông nhỏ ở góc có hai cạnh góc vuông lần lượt bằng \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{3}{4}\) cạnh của hình vuông \({a_1}\).
Theo định lý Pythagore, bình phương cạnh mới bằng: \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\) bình phương cạnh cũ.
Do đó diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{5}{8} = 0,625\).
Diện tích hình vuông thứ 15: \({S_{15}} = {S_1} \cdot {q^{14}} = 1600 \cdot {\left( {0,625} \right)^{14}} \approx 2,2204\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\). Làm tròn đến hàng phần trăm được \(2,22\).
Đáp số: 2,22.
Cho góc lượng giác \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) và có \({\rm{sin}}x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\) (làm tròn đến hàng phần mười).
_____
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow {\rm{cos}}x < 0\). Ta có: \({\rm{cos}}x = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Khai triển biểu thức \(A\):
\(A = {\rm{cos}}\frac{\pi }{4}{\rm{cos}}x - {\rm{sin}}\frac{\pi }{4}{\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{ - 4 - \sqrt 2 }}{6} \approx - 0,902\).
Làm tròn đến hàng phần chục được \( - 0,9\).
Đáp số: −0,9.
