Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Việt Nam Ba Lan (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
\(\left\{ \begin{array}{l}u_1^{} = 2\\u_{n + 1}^{} = u_n^{} - 3,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\)
\({u_n} = 1 + {3^n}\).
\({u_n} = {\left( {n + 3} \right)^2} - {n^2}\).
\({u_n} = 2n + 5\).
Xét dãy số \({u_n} = 1 + {3^n}\). Ta có hiệu hai số hạng liên tiếp: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 + {3^{n + 1}}} \right) - \left( {1 + {3^n}} \right) = {3^{n + 1}} - {3^n} = 2 \cdot {3^n}\). Vì hiệu này phụ thuộc vào \(n\) (không phải hằng số) nên đây không phải là cấp số cộng.
Các dãy số còn lại đều có dạng bậc nhất theo \(n\) hoặc hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) là hằng số nên đều là cấp số cộng.
Đáp án: B.
Một trò chơi đu quay bánh xe có \(20\) ô xe chở khách (xem hình vẽ), khoảng cách từ tâm đu quay đến ô xe bằng \(50\,{\rm{m}}\). Các ô xe được thiết kế cân đối và đều nhau trên đường tròn, vòng quay ngược kim đồng hồ. Hỏi ô xe số 2 di chuyển đến vị trí ô xe số \(8\) thì đã di chuyển được quãng đường (đơn vị mét) gần nhất với số nào sau đây ?
\(102\,{\rm{m}}\).
\(94,25\,{\rm{m}}\).
\(92,45\,{\rm{m}}\).
\(96,50\,{\rm{m}}\).
Đường tròn được chia làm 20 phần bằng nhau nên góc ở tâm giữa hai ô xe liên tiếp là: \({\alpha _0} = \frac{{2\pi }}{{20}} = \frac{\pi }{{10}}{\rm{\;rad}}\).
Từ ô số 2 đến ô số 8 theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ trải qua: \(8 - 2 = 6\) khoảng chia.
Góc quay tương ứng là: \(\alpha = 6 \cdot \frac{\pi }{{10}} = \frac{{3\pi }}{5}{\rm{\;rad}}\).
Quãng đường di chuyển chính là độ dài cung tròn: \(s = R \cdot \alpha = 50 \cdot \frac{{3\pi }}{5} = 30\pi \approx 94,25{\rm{\;m}}\).
Đáp án: B.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = \sin 2x.\)
\(y = {x^3} + 1.\)
\(y = \cos 2x.\)
Xét hàm số \(y = {\rm{sin}}2x\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng. Với mọi \(x \in D\), ta có \( - x \in D\) và \(y\left( { - x} \right) = {\rm{sin}}\left( { - 2x} \right) = - {\rm{sin}}2x = - y\left( x \right)\). Do đó đây là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x\) và \(y = {\rm{cos}}2x\) là hàm số chẵn; hàm số \(y = {x^3} + 1\) không chẵn không lẻ.
Đáp án: B.
Từ đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) trong hình vẽ, suy ra hàm số \(y = {\rm{cos}}x\) nhận giá trị dương khi
\(x \in \left( { - \pi ;0} \right).\)
\(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].\)
\(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).\)
\(x \in \left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right).\)
Hàm số nhận giá trị dương khi phần đồ thị tương ứng nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(Ox\).
Dựa vào đồ thị đã cho trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), phần đồ thị nằm trên trục \(Ox\) ứng với khoảng \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Đáp án: C.
\(\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right].\)
\[\cos a \cdot \cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right].\]
\(\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)} \right].\)
\(\sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right].\)
Theo công thức biến đổi tích thành tổng đối với sin và cos, ta có hệ thức đúng là:
\({\rm{sin}}a{\rm{cos}}b = \frac{1}{2}\left[ {{\rm{sin}}\left( {a + b} \right) + {\rm{sin}}\left( {a - b} \right)} \right]\).
Do đó, khẳng định ở phương án C là sai.
Đáp án: C.
Góc có số đo \[\frac{{2\pi }}{5}\]đổi sang độ là
\[240^\circ \].
\[270^\circ \].
\[135^\circ \].
\[72^\circ \].
Ta có: \(\frac{{2\pi }}{5} \cdot \frac{{180^\circ }}{\pi } = 72^\circ \).
Đáp án: D.
Số lượng khách hàng nữ mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày của một công ty bán bảo hiểm được thống kê trong bảng số liệu sau :
Khoảng tuổi | \(\left[ {20;30} \right)\) | \(\left[ {30;40} \right)\) | \(\left[ {40;50} \right)\) | \(\left[ {50;60} \right)\) | \(\left[ {60;70} \right)\) |
Số khách hàng | \(3\) | \(9\) | \(12\) | \(10\) | \(6\) |
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {30;40} \right)\]là
\(30\).
\(9\).
\(40\).
\(35\).
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là trung điểm của nửa khoảng đó: \(x = \frac{{a + b}}{2}\).
Với nhóm \(\left[ {30;40} \right)\), giá trị đại diện là: \(\frac{{30 + 40}}{2} = 35\).
Đáp án: D.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\). Năm số hạng đầu của dãy số này là
\[4,\,5,\,6,\,7,\,8.\]
\[4,\,6,\,9,\,13,\,18.\]
\[4,\,5,\,7,\,10,\,14.\]
\[4,\,16,\,32,\,64,\,128.\]
\({u_1} = 4\)
\({u_2} = {u_1} + 1 = 4 + 1 = 5\)
\({u_3} = {u_2} + 2 = 5 + 2 = 7\)
\({u_4} = {u_3} + 3 = 7 + 3 = 10\)
\({u_5} = {u_4} + 4 = 10 + 4 = 14\)
Vậy 5 số hạng đầu là: \(4,5,7,10,14\).
Đáp án: C.
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và tổng của \(50\) số hạng đầu bằng \(5150\). Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 1 + 4n\).
\({u_n} = 3 + 2n\).
\({u_n} = 2 + 3n\).
Công thức tính tổng: \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left[ {2{u_1} + 49d} \right] = 25\left[ {2 \cdot 5 + 49d} \right] = 25\left[ {10 + 49d} \right]\).
Theo bài ra: \(25\left( {10 + 49d} \right) = 5150 \Leftrightarrow 10 + 49d = 206 \Leftrightarrow 49d = 196 \Leftrightarrow d = 4\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 4 = 4n + 1\).
Đáp án: B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x \ne 0}\\{{\rm{cot}}x - \sqrt 3 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án: B.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_4} + {u_5} = - 3\\3{u_5} - 2{u_7} = 5\end{array} \right.\). Tìm \[{u_3}.\]
\({u_3} = - 2.\)
\({u_3} = 5.\)
\({u_3} = 3.\)
\({u_3} = 1.\)
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_3} + {u_5} = 2{u_4}\).
Thay vào phương trình đầu: \(2{u_4} + {u_4} = - 3 \Leftrightarrow 3{u_4} = - 3 \Leftrightarrow {u_4} = - 1\).
Ta có hệ thức theo \({u_1}\) và công sai \(d\):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 3d = - 1}\\{3\left( {{u_1} + 4d} \right) - 2\left( {{u_1} + 6d} \right) = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 3d = - 1}\\{{u_1} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 5}\\{d = - 2}\end{array}} \right.\).
Vậy số hạng \({u_3} = {u_1} + 2d = 5 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 1\).
Đáp án: D.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
\({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\sin n,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)
\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)
Xét dãy số ở phương án C: \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right)\).
Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) thì \(2n\) luôn là số chẵn, do đó \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {5^n} + 1\).
Ta thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{5^{n + 1}} + 1} \right) - \left( {{5^n} + 1} \right) = 4 \cdot {5^n} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Vậy đây là dãy số tăng.
Đáp án: C.
Phần II. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Bảng thống kê sau cho biết điểm chuẩn của các trường công lập thuộc thành phố Hà Nội trong kì thi tuyển sinh vào \(10\) năm \(2024\):
Điểm | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right)\) | \(\left[ {40;45} \right)\) |
Số trường | \(2\) | \(10\) | \(28\) | \(27\) | \(38\) | \(12\) |
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau (Các kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm):
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng \(33,25\).
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng \(36,49\).
Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng \(33,43\).
Ngưỡng điểm để đưa ra danh sách 29 trường có điểm chuẩn cao nhất năm \(2024\) là \(37,00\).
Tổng số trường (kích thước mẫu): \(N = 2 + 10 + 28 + 27 + 38 + 12 = 117\).
a) Sai. Tính số trung bình:
.
b) Đúng. Nhóm có tần số lớn nhất là \(\left[ {35;40} \right)\) với \({n_5} = 38\). Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_o} = 35 + \frac{{38 - 27}}{{\left( {38 - 27} \right) + \left( {38 - 12} \right)}} \cdot 5 = 35 + \frac{{11}}{{37}} \cdot 5 \approx 36,49\).
c) Đúng. Ta có \(\frac{{117}}{2} = 58,5\). Tần số tích lũy đến trước nhóm \(\left[ {30;35} \right)\) là \(2 + 10 + 28 = 40\). Nhóm chứa trung vị là \(\left[ {30;35} \right)\).
\({M_e} = 30 + \frac{{58,5 - 40}}{{27}} \cdot 5 \approx 33,43\).
d) Sai. Để tìm ngưỡng điểm của 29 trường cao nhất, ta tìm phân vị sao cho phần phía trên tích lũy đủ 29 trường (tương đương tần số tích lũy từ dưới lên là \(117 - 29 = 88\)). Nhóm chứa giá trị này là nhóm \(\left[ {35;40} \right)\). Ngưỡng điểm cần tìm là:
\(X = 35 + \frac{{88 - 67}}{{38}} \cdot 5 = 35 + \frac{{105}}{{38}} \approx 37,76 \ne 37,00\).
\(x = \frac{{11\pi }}{{32}}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình bằng \(\frac{\pi }{4}\).
Phương trình đã cho có đúng \(33\)nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4}\,;\;\frac{{19\pi }}{2}} \right)\).
Phương trình tương đương: \(4x - \frac{{3\pi }}{8} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow 4x = \frac{{11\pi }}{8} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
a) Đúng. Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}}\) là một nghiệm.
b) Đúng. Do đuôi nghiệm có chu kỳ là \(\frac{\pi }{2} = \frac{{2\pi }}{4}\) nên họ nghiệm được biểu diễn bởi đúng 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}}\).
Nghiệm âm lớn nhất ứng với \(k = - 1 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{5\pi }}{{32}}\).
Tổng của chúng bằng: \(\frac{{11\pi }}{{32}} + \left( { - \frac{{5\pi }}{{32}}} \right) = \frac{{6\pi }}{{32}} = \frac{{3\pi }}{{16}} \ne \frac{\pi }{4}\).
d) Sai. Xét nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)\):
\(\frac{\pi }{4} < \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2} < \frac{{19\pi }}{2} \Leftrightarrow 8 < 11 + 16k < 304 \Leftrightarrow - 3 < 16k < 293 \Leftrightarrow - 0,1875 < k < 18,3125\)
Vì \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;18} \right\}\), có tất cả \(18 - 0 + 1 = 19\) nghiệm.
\(\left( {{a_n}} \right)\)là một cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 2\\q = - 2\end{array} \right..\)
Số hạng thứ \(8\) của dãy bằng \(256.\)
Số \( - 2048\)là một số hạng của dãy.
\({S_{10}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{10}} = - 682.\)
a) Đúng. Ta có \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = - 2\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), vậy đây là một cấp số nhân có số hạng đầu \({a_1} = 2\) và công bội \(q = - 2\).
b) Sai. Số hạng thứ 8 là: \({a_8} = {a_1} \cdot {q^7} = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^7} = - 256 \ne 256\).
c) Sai. Xét \({a_n} = - 2048 \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = - 2048 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = - 1024\) (vô nghiệm). Vậy \( - 2048\) không là số hạng của dãy.
d) Đúng. Tổng 10 số hạng đầu là: \({S_{10}} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 2 \cdot \frac{{ - 1023}}{3} = - 682\).
\[\cos \alpha = \;\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\(\tan \left( {\alpha - \beta } \right) < \frac{1}{2}\).
\[\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}.\]
\[\frac{{3 - 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }}{{3 + 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }} = \frac{1}{{64}}.\]
Vì \(\alpha ,\beta \) nằm ở góc phần tư thứ II nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\) và \({\rm{sin}}\beta > 0\).
Tính các giá trị lượng giác:
\({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);
\({\rm{sin}}\beta = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\({\rm{tan}}\alpha = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4};{\rm{tan}}\beta = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
a) Sai. Giá trị đúng phải là \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Do đó ý a) sai dấu.
b) Sai.\({\rm{tan}}\left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\alpha - {\rm{tan}}\beta }}{{1 + {\rm{tan}}\alpha \cdot {\rm{tan}}\beta }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt {10} }}{8}}} = \frac{{2\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}}{{8 + \sqrt {10} }} \approx 0,55 > \frac{1}{2}\).
c) Đúng.\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = {\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{cos}}\alpha {\rm{sin}}\beta = \frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\).
d) Đúng. Biến đổi biểu thức vế trái bằng công thức hạ bậc góc nhân đôi:
\({\rm{VT}} = \frac{{2{{\left( {1 - {\rm{cos}}2\alpha } \right)}^2}}}{{2{{\left( {1 + {\rm{cos}}2\alpha } \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)}^2}}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^4}\alpha = {\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^4} = \frac{1}{{64}}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Tính tổng các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {2\cos \,x - 1} \right)\left( {\sin \,2x - m} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right].\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
_____
Phương trình tách thành hai trường hợp: \({\rm{cos}}x = \frac{1}{2}\) (1) hoặc \({\rm{sin}}2x = m\) (2).
Xét phương trình (1): \({\rm{cos}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \). Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\), phương trình (1) có duy nhất một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\).
Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm trên khoảng xét, phương trình (2) phải tạo ra thêm đúng 1 nghiệm mới.
Đặt \(t = 2x\). Vì \(x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Phương trình trở thành \({\rm{sin}}t = m\).
Dựa vào đường tròn lượng giác, để \({\rm{sin}}t = m\) có đúng 1 nghiệm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp giá trị biên cực đại: \(m = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\) (thỏa mãn, là nghiệm mới).
Trường hợp nghiệm của (2) trùng với nghiệm của (1): \(x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow m = {\rm{sin}}\frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khi \(m = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), phương trình (2) sinh ra hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) trên khoảng xét. Vì \(x = \frac{\pi }{3}\) đã trùng với nghiệm của (1) nên chỉ có thêm 1 nghiệm mới duy nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\).
Vậy các giá trị \(m\) thỏa mãn gồm \(m = 1\) và \(m = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87\). Tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + 0,87 = 1,87\).
Đáp số: 1,87.
Cho \[\sin a + \cos a = \frac{1}{3}\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Biết \[A = \sin a - \cos a = - \frac{{\sqrt m }}{n}\] (\(n\) là số nguyên tố). Tính \[m + n\].
___
Bình phương giả thiết: \({\left( {{\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a} \right)^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 1 + 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = - \frac{8}{9}\).
Ta có: \({A^2} = {\left( {{\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a} \right)^2} = 1 - 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = 1 - \left( { - \frac{8}{9}} \right) = \frac{{17}}{9}\).
Vì \( - \frac{\pi }{2} < a < 0 \Rightarrow {\rm{sin}}a < 0\) và \({\rm{cos}}a > 0 \Rightarrow A = {\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a < 0\).
Suy ra: \(A = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\). Đối chiếu dạng bài cho ta có \(m = 17\) và \(n = 3\) (3 là số nguyên tố).
Vậy \(m + n = 17 + 3 = 20\).
Đáp số: 20.
Litva là một nước trong liên minh Châu Âu, đã gia nhập khu vực đồng tiền chung Châu Âu thông qua việc sử dụng đồng Euro vào ngày \(01\) tháng \(01\) năm \(2015.\) Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước Litva quyết định dùng \[122550\] đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có \[4901\] đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi \(100\) đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?
___
Số xu ở mỗi tầng (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = 4901\) và công sai \(d = - 100\).
Gọi \(n\) là số tầng, tổng số xu là tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng:
\({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 122550 \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 4901 - 100\left( {n - 1} \right)} \right] = 122550\)
\( \Leftrightarrow n\left( {9902 - 100n} \right) = 245100 \Leftrightarrow 100{n^2} - 9902n + 245100 = 0\)
Giải phương trình bậc hai thu được nghiệm nguyên dương duy nhất là \(n = 50\).
Đáp số: 50.
Cô Ngọc mua một chiếc ô tô giá \[600\] triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị của ô tô giảm đi \[8\% \] (so với năm trước đó). Giả sử sau bốn năm, cô bán xe bằng giá trị còn lại của xe và thêm tiền để mua xe mới giá \[800\] triệu đồng thì cô phải bù thêm bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng)? (Các phép toán làm tròn đến hàng triệu).
____
Giá trị còn lại của xe ô tô sau 4 năm sử dụng là: \(V = 600 \cdot {\left( {1 - 0,08} \right)^4} = 600 \cdot {\left( {0,92} \right)^4} \approx 429,836\) (triệu đồng).
Số tiền cô Ngọc phải bù thêm là: \(\Delta T = 800 - 429,836 = 370,164\) (triệu đồng).
Làm tròn đến hàng triệu theo yêu cầu đề bài, kết quả thu được là 370 triệu đồng.
Đáp số: 370.
Tổng các nghiệm trong đoạn \[\left[ { - 50\pi ;100\pi } \right]\] của phương trình \[\frac{{\cos 3x}}{{\sqrt 3 \tan x + 1}} = 0\] là \(m\pi .\) Giá trị của \(m\) bằng bao nhiêu?
_____
Điều kiện xác định: \({\rm{cos}}x \ne 0\) và \({\rm{tan}}x \ne - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) và \(x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình có nghiệm khi tử số bằng 0: \({\rm{cos}}3x = 0 \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Biểu diễn nghiệm và loại các điểm vi phạm điều kiện trên đường tròn lượng giác, ta chỉ giữ lại họ nghiệm duy nhất là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Xét điều kiện nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 50\pi ;100\pi } \right]\):
\( - 50\pi \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le 100\pi \Leftrightarrow - 50 - \frac{1}{6} \le k \le 100 - \frac{1}{6} \Rightarrow - 50 \le k \le 99\)
Số các giá trị nguyên của \(k\) là: \(99 - \left( { - 50} \right) + 1 = 150\).
Tổng các nghiệm bằng:
\(S = \mathop \sum \limits_{k = - 50}^{99} \left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 150 \cdot \frac{\pi }{6} + \pi \cdot \frac{{\left( { - 50 + 99} \right) \cdot 150}}{2} = 25\pi + 3675\pi = 3700\pi \)
Do đó giá trị của \(m\) là 3700.
Đáp số: 3700.
Vận tốc của một con lắc đơn được mô hình hóa bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 3{\rm{sin}}\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right)\), trong đó \(v\left( t \right)\) là vận tốc được tính bằng đơn vị \({\rm{cm/s}}\) tại thời điểm \(t\) giây. Trong \(12\) giây đầu, vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất bao nhiêu lần?
__
Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng \(3{\rm{\;cm/s}}\) khi:
\({\rm{sin}}\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 1,5t + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Xét thời gian trong 12 giây đầu tức là \(0 \le t \le 12\):
\(0 \le - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3} \le 12 \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{12 + \frac{{5\pi }}{9}}}{{\frac{{4\pi }}{3}}} \approx 3,28\).
Vì \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\). Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất 3 lần.
Đáp số: 3.
