Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Đông Anh (Hà Nội) có đáp án - mã 101
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
\(Sx\,{\rm{//}}\,AB\).
\(Sy\,{\rm{//}}\,AD\).
\(SO\).
\(SI\).
Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), có \(I = AB \cap CD\). Do đó \(I \in AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(I \in CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SI\).
Đáp án đúng: D
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
Điều kiện xác định: \(2{\rm{cos}}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x \ne \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \( - \frac{\pi }{3} + k2\pi \) có thể viết lại thành \(\frac{{5\pi }}{3} + m2\pi \), tập xác định của hàm số là:
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng: C
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos a + \sin b\cos b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos b\sin a - \cos a\sin b\).
Công thức đúng là: \({\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\).
Biến đổi lại ta được \({\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{cos}}b{\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b\).
Đáp án đúng: D
\(\sin a < 0\,;\,\,\cos a\, > \,0\).
\(\sin a > 0\,;\,\,\cos a\, > \,0\).
\(\sin a > 0\,;\,\,\cos a\, < \,0\).
\(\sin a < 0\,;\,\,\cos a\, < \,0\).
Với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \), điểm biểu diễn của góc \(a\) nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. Tại đây, trục tung (sin) có giá trị dương và trục hoành (cos) có giá trị âm. Do đó \({\rm{sin}}a > 0\) và \({\rm{cos}}a < 0\).
Đáp án đúng: C
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\[\left( {0; + \infty } \right)\].
Ta có: \({\rm{cos}}2x - 1 + m = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = 1 - m\).
Phương trình vô nghiệm khi: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m > 1}\\{1 - m < - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\).
Vậy tập hợp giá trị thực của \(m\) là \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng: C
\({\cot ^2}\alpha \).
\( - {\tan ^2}\alpha \).
\({\tan ^2}\alpha \).
\({\tan ^2}2\alpha \).
Biến đổi biểu thức:
\(\frac{{2{\rm{sin}}2\alpha - {\rm{sin}}4\alpha }}{{2{\rm{sin}}2\alpha + {\rm{sin}}4\alpha }} = \frac{{2{\rm{sin}}2\alpha - 2{\rm{sin}}2\alpha {\rm{cos}}2\alpha }}{{2{\rm{sin}}2\alpha + 2{\rm{sin}}2\alpha {\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{2{\rm{sin}}2\alpha \left( {1 - {\rm{cos}}2\alpha } \right)}}{{2{\rm{sin}}2\alpha \left( {1 + {\rm{cos}}2\alpha } \right)}} = \frac{{1 - {\rm{cos}}2\alpha }}{{1 + {\rm{cos}}2\alpha }}\)
Áp dụng công thức: \(1 - {\rm{cos}}2\alpha = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \) và \(1 + {\rm{cos}}2\alpha = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \), ta được: \(\frac{{2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}{{2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \).
Đáp án đúng: C
\(OM\).
\(AM\) .
\(CM\).
\(AC\).
Xét mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), ta thấy đường thẳng \(SD\) và đường thẳng \(OM\) cùng nằm trong mặt phẳng này (do \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\) và \(M \in SB \subset \left( {SBD} \right)\)).
Mặt khác, \(O \in AC \subset \left( {ACM} \right)\) và \(M \in \left( {ACM} \right) \Rightarrow OM \subset \left( {ACM} \right)\).
Do đó, giao điểm của \(SD\) và \(\left( {ACM} \right)\) chính là giao điểm của \(SD\) và \(OM\).
Đáp án đúng: A
\(y = {\sin ^2}x + \sin x\).
\(y = \sin x\).
\(y = {\sin ^2}x + \cos x\).
\(y = \tan 3x.\cos x\).
Xét hàm số \(y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Ta có:
\(f\left( { - x} \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( { - x} \right) + {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\left( { - {\rm{sin}}x} \right)^2} + {\rm{cos}}x = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}x = f\left( x \right)\).
Vậy đây là hàm số chẵn.
Đáp án đúng: C
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n + 1}},n \ge 1\]. Tìm khẳng định sai.
\({u_{10}} = \frac{8}{{31}}\).
\({u_{50}} = \frac{{47}}{{150}}\).
\({u_3} = \frac{1}{{10}}\).
\({u_{21}} = \frac{{19}}{{64}}\).
Với \(n = 50\): \({u_{50}} = \frac{{50 - 2}}{{3 \cdot 50 + 1}} = \frac{{48}}{{151}}\). Phương án B đưa ra kết quả \(\frac{{47}}{{150}}\) là sai.
Đáp án đúng: B
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 6\). Số hạng thứ năm của cấp số cộng bằng:
\({u_5} = 26\).
\({u_5} = 32\).
\({u_5} = 5\).
\({u_5} = 20\).
Số hạng thứ năm là: \({u_5} = {u_1} + 4d = 2 + 4 \cdot 6 = 26\).
Đáp án đúng: A
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\({\rm{cos}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = {\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng: B
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\(BD\).
\(SC\).
\(AD\).
\(AC\).
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung là \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là \(AD\) và \(BC\). Do đó, giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với cả \(AD\) và \(BC\).
Đáp án đúng: C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AD\) cắt\(BC\) tại \[E\]. Lấy \(M\) thuộc cạnh \[SB\] và \[O\] là giao điểm \(AC\) với \(BD\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hai đường thẳng \(AM\) và \[SO\] cắt nhau.
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(MD\).
Gọi \(I = SO \cap DM\). Gọi \(N\)là giao điểm giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\). Khi đó ba điểm \(A,\,I,\,N\) thẳng hàng.
Gọi \(N\)là giao điểm giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\), khi đó \(N \in AM\).
a) Sai. \(AM \subset \left( {SAB} \right)\) và \(SO \subset \left( {SAC} \right)\). Hai đường thẳng này không cùng thuộc một mặt phẳng (chéo nhau) nên không thể cắt nhau.
b) Đúng. Ta có \(M \in SB \subset \left( {SBD} \right)\) và \(M \in \left( {MAD} \right)\), đồng thời \(D\) là điểm chung của cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là \(MD\).
c) Đúng. \(I,A,N\) đều là các điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MAD} \right)\), do đó chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này nên thẳng hàng.
d) Sai. Nếu \(N \in AM\) thì đường thẳng \(AM\) và \(SC\) cắt nhau tại \(N\), điều này vô lý vì \(AM\) và \(SC\) chéo nhau.
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\).
\(\sin 2\alpha = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
\(\cot 2\alpha = \frac{{7\sqrt 2 }}{8}\).
a) Đúng. Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\). Ta có \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
b) Đúng. \({\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}\).
c) Đúng. \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
d) Sai. \({\rm{cot}}2\alpha = \frac{{{\rm{cos}}2\alpha }}{{{\rm{sin}}2\alpha }} = \frac{{7/9}}{{ - 4\sqrt 2 /9}} = - \frac{7}{{4\sqrt 2 }} = - \frac{{7\sqrt 2 }}{8}\).
Công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = 1 + \frac{n}{3}\).
Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng 2620.
Số 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
Số \(\frac{{15}}{4}\) một số hạng của cấp số cộng đã cho.
a) Sai. \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\).
b) Sai.\({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left[ {2{u_1} + 99d} \right] = 50\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + 99 \cdot \frac{1}{2}} \right] = 50 \cdot \frac{{105}}{2} = 2625\).
c) Đúng. Thử với \(n = 8\): \({u_8} = 1 + \frac{8}{2} = 5\).
d) Sai. Cho \(1 + \frac{n}{2} = \frac{{15}}{4} \Leftrightarrow \frac{n}{2} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Vậy \(\frac{{15}}{4}\) không phải là số hạng của dãy.
Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là hai nghiệm.
Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).
Phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\).
a) Sai. Ta có \(2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình chỉ có duy nhất một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4}\).
b) Đúng. Các nghiệm dương của phương trình là \(\frac{\pi }{4},\frac{{3\pi }}{4}, \ldots \) nên nghiệm dương nhỏ nhất là \(\frac{\pi }{4}\).
c) Sai. Phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Đúng. Vì \({\rm{sin}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó (tham khảo hình vẽ dưới). Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?
___
Số hộp sữa xếp ở các hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công sai \(d = 2\).
Tổng số hộp sữa là \({S_n} = 900\). Ta có công thức:
\({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 900 = \frac{{n\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right)2} \right]}}{2} = \frac{{n \cdot 2n}}{2} = {n^2}\)
Suy ra \({n^2} = 900 \Rightarrow n = 30\) (hàng).
Số hộp sữa ở hàng dưới cùng (hàng thứ 30) là: \({u_{30}} = {u_1} + 29d = 1 + 29 \cdot 2 = 59\).
Kết quả: 59.
Phương trình \(\sin \left( {2x + 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \(\left( { - 180^\circ ;180^\circ } \right)\)?
__
\(\sin \left( {2x + 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x + 30^\circ } \right) = {\rm{sin}}60^\circ \).
Trường hợp 1: \(2x + 30^\circ = 60^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow 2x = 30^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ \).
Vì \(x \in \left( { - 180^\circ ;180^\circ } \right) \Rightarrow k = - 1 \to x = - 165^\circ \); \(k = 0 \to x = 15^\circ \) (2 nghiệm).
Trường hợp 2: \(2x + 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow 2x = 90^\circ + k360^\circ \Leftrightarrow x = 45^\circ + k180^\circ \)
Vì \(x \in \left( { - 180^\circ ;180^\circ } \right) \Rightarrow k = - 1 \to x = - 135^\circ \); \(k = 0 \to x = 45^\circ \) (2 nghiệm).
Tổng số nghiệm trên khoảng là \(2 + 2 = 4\).
Kết quả: 4.
Tìm số công sai \(d\) của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết rằng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\).
__
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array} \Rightarrow 10 + {u_6} = 26 \Rightarrow {u_6} = 16} \right.\).
Mặt khác: \({u_6} - {u_4} = 2d \Leftrightarrow 16 - 10 = 2d \Rightarrow 2d = 6 \Rightarrow d = 3\).
Kết quả: 3.
Tìm số hạng thứ 5 của dãy số sau đây: dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\).
___
Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2\).
Số hạng thứ 5 của dãy là: \({u_5} = {u_1} + 4d = 3 + 4 \cdot 2 = 11\).
Kết quả: 11.
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Tính \(\cos \alpha \).
_____
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\).
Ta có: \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = - \frac{4}{5} = - 0,8\).
Kết quả: −0,8.
Cho \(\alpha - \beta = \frac{\pi }{3}\). Tính giá trị của biểu thức sau: \(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\).
__
Khai triển biểu thức \(A\):
\(A = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{sin}}\beta + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta \).
Nhóm các hạng tử:
\(A = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right) + \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta } \right) + 2\left( {{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{sin}}\alpha {\rm{sin}}\beta } \right)\).
Áp dụng công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng:
\(A = 1 + 1 + 2{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) = 2 + 2{\rm{cos}}\frac{\pi }{3} = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3\).
Kết quả: 3.
