Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Trãi (TP.HCM) có đáp án
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
1
\[({u_n})\]
\[{\rm{d}} = - 60,{u_1} = 820\]
\[{u_5} = {{\rm{u}}_{\rm{1}}} + {\rm{4d}} = 820 + 4( - 60) = 580\]
Ta có \[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}. \Leftrightarrow \]\[{\rm{d}} = - 60,{u_1} = 820\]
\[\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\]
\[t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]
\[ - \,\sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\]
\[{t^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.\]
\[6t + \frac{{1 - {t^2}}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \,1\\t = 13\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[ \Rightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right] = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
\[S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}} = a + \frac{{{{21.3}^b}}}{4}.\]
Ta có \({u_1} = 2;{u_6} = 486\), mà \({u_6} = {u_1}.{q^5}\) nên \({u_1}.{q^5} = 486 \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3\)
\[3S = 3 + {2.3^2} + {3.3^3} + ... + {11.3^{11}}\]
\( - 2S = S - 3S = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{10}} - {10.3^{11}} = \frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - {11.3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{{{21.3}^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4}{.3^{11}}.\)
\(\frac{{70}}{\pi }.\)
Ta có \(P = a + \frac{b}{4}.\)\( = 70.\frac{\pi }{{180}} = \frac{7}{{18}}\pi \)
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z.\)
Ta có \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \)
\({88^0}\).
\({80^0}\).
\(\frac{2}{3} \)rad.
\(\frac{3}{2} \)rad.
Ta có \(l = R.\alpha \Leftrightarrow \alpha = \frac{{40}}{3}:20 = \frac{2}{3}\)
\(\left( { - 1;1} \right).\)
\(\mathbb{R}\).
\(\left\{ { - 1;1} \right\}.\)
\({\rm{[}} - 1;1].\)
Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\) là \({\rm{[}} - 1;1].\)
\(y = \cos 2x\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = x\cot x.\)
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in Z.\)
\[2\cos 2x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
\[d = \frac{1}{3}.\;\;\;\;\;\;\;\]
\[\;d = 2.\]
\[d = 3.\]
\[d = \frac{1}{2}.\]
Chọn B
Ta có Cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] và \[\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 6.2} \right) = 75\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}d = 2\\{u_1} = 3;{u_1} = - 17\end{array} \right.\]
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cos x.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.\)
\( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.\)
\(\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.\)
\( - \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 3\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 2\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 3\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 2\end{array} \right..\]
Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 192\\{u_7} = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\{u_1}{q^6} = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\{u_1}{q^5}.q = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\192.q = 384\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^5} = 192\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 2\end{array} \right.\]
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z.\)
\({\sin ^2}x - 3\sin x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\sin x = 2\,PTVN\end{array} \right.\)
\[ - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}; - \frac{6}{7}.\]
\[\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}.\]
\[ - \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}.\]
\[{u_n} = \frac{{ - n}}{{n + 1}},{u_1} = \frac{{ - 1}}{2};{u_2} = \frac{{ - 2}}{3};{u_3} = \frac{{ - 3}}{4};{u_4} = \frac{{ - 4}}{5};{u_5} = \frac{{ - 5}}{6}\].
\({u_6} = 96.\)
\({u_6} = 32.\)
\({u_6} = 104.\)
\({u_6} = 48.\)
Chọn A
Ta có cấp số nhân có \(q = 2,{S_6} = 189\) nên
\(189 = \frac{{{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right)}}{{q - 1}} \Leftrightarrow 189 = \frac{{{u_1}\left( {{2^6} - 1} \right)}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow {u_1} = 3 \Rightarrow {u_6} = {u_1}.{q^5} = 96\)
Thứ \[20.\]
Thứ \[15.\]
Thứ \[36.\]
Thứ \[35.\]
Ta có \({u_n} = 100 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 \Leftrightarrow - 5 + \left( {n - 1} \right)3 = 100 \Leftrightarrow n = 36\)
8.
7.
6.
5.
Ta có\[{u_n} = \frac{8}{{15}} \Rightarrow n = 7\]
\[\cos \alpha < 0.\]
\[\tan \alpha < 0.\]
\[\cot \alpha < 0.\]
\[\sin \alpha > 0.\]
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z.\)
Cung có độ dài bằng đường kính.
Cung tương ứng với góc ở tâm \({60^0}\).
Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Cung có độ dài bằng 1.
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z.\)
\[x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in Z.\]
\(x = \pi + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = k2\pi ,k \in Z.\)
\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\pi + k2\pi \)
\(y = \sin 2x + \cos x.\)
\(y = \sin x - \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = \frac{{1 + 2\cos x}}{{\sin x}}.\)
Hàm số \(y = \sin 2x + \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z.\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.,k \in Z.\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in Z.\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.,k \in Z.\)
\({\cot ^2}x - \cot x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = 0\\\cot x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
8; 13; 18.
6; 12; 18.
7; 12; 17,
6; 10; 14.
Cấp số cộng có năm số hạng \[2;6;{\rm{ }}12;{\rm{ }}18;22\]
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = \pi + k2\pi ,k \in Z.\)
\(x = k2\pi ,k \in Z.\)
Ta có \[\cos 2x - 6\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\cos x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\\cos x = 2\,PTVN\end{array} \right.\]
\(15;{\rm{ }}5;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{1}{5};{\rm{ }}...\)
\(5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\(\sqrt 2 ;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}4\sqrt 2 ;{\rm{ }}....\)
\(128;{\rm{ }} - 64;{\rm{ }}32;{\rm{ }} - 16;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\({u_4} = - 8.\)
\({u_3} = - 6.\)
\({u_1} = - 2.\)
\({u_2} = 4.\)
Ta có \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n \Rightarrow {u_1} = - 2;{u_2} = 4;{u_3} = - 6;{u_4} = 8.\)
\[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}.\]
\[{u_n} = \sqrt {n + 2} .\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
dãy số \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{1}{4};{u_3} = \frac{1}{8}....\]là dãy số giảm
\(x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.\)
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z.\)
Ta có \(\cot 2x = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.\)
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {1; + \infty } \right).\)
\(\left[ { - 1;1} \right].\)
\(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Để phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm là \( - 1 \le m \le 1\)
\(D = R\backslash \left\{ {k\pi |k \in Z} \right\}.\)
D = R\{0}.
D = R.
\(D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in Z} \right\}.\)
Điều kiện \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}n - 1.\]
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right).\]
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right).\]
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} \right).\]
Cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 3\] và \[d = \frac{1}{2}\] nên \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 3 + \left( {n - 1} \right).\frac{1}{2}\)
\[\frac{1}{3}.\]
1.
\[\frac{1}{2}.\]
0.
\[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = \frac{{3n + 1 - 2}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\] nên dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn trên bởi số \(1\)
\(x = 64.\)
\(x = 68.\)
\(x = 32.\)
\(x = 14.\)
Để các số \(2;{\rm{ }}\,8;{\rm{ }}\,{\rm{x}};{\rm{ }}\,128\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì \(x = 8.4 = 32\).
(1điểm) Giải phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
(1điểm) Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 820 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe ô tô giảm 60 triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau 4 năm sử dụng.
Giá trị còn lại của chiếc xe sau 1 năm, 2 năm, 3 năm, 4 năm sử dụng lập thành CSC \[({u_n})\]với công sai \[{\rm{d}} = - 60,{u_1} = 820\]
Giá trị còn lại của chiếc xe sau 4 năm sử dụng là \[{u_5} = {{\rm{u}}_{\rm{1}}} + {\rm{4d}} = 820 + 4( - 60) = 580\]
(0,5điểm)Cho x thỏa mãn \[6\left( {\sin x - \cos x} \right) + \sin x\cos x + 6 = 0\]. Tính \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\]
Đặt \[t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]. Điều kiện \[ - \,\sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\]
Ta có \[{t^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.\]
Phương trình đã cho trở thành \[6t + \frac{{1 - {t^2}}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \,1\\t = 13\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[ \Rightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right] = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
(0,5điểm) Biết rằng \[S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}} = a + \frac{{{{21.3}^b}}}{4}.\] Tính \(P = a + \frac{b}{4}.\)
Từ giả thiết suy ra \[3S = 3 + {2.3^2} + {3.3^3} + ... + {11.3^{11}}\]. Do đó
\( - 2S = S - 3S = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{10}} - {10.3^{11}} = \frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - {11.3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{{{21.3}^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4}{.3^{11}}.\)
Vì
