Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Kim Sơn A (Ninh Bình) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề toán học?
Đi ngủ đi!
Số \(2\) là số chẵn.
Bạn học trường nào?
Không được làm việc riêng trong giờ học.
Chọn B
Câu phát biểu: “Số 2 là số chẵn” là mệnh đề toán học.
Chomệnh đề P:"∀x∈ℝ, x2−x+7≠0". Phủ định của mệnh đề \[P\] là:
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 > 0.\)
\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 = 0.\)
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 = 0.\)
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 \le 0.\)
Chọn C
Phủ định của P:"∀x∈ℝ, x2−x+7≠0" là P¯:"∃x∈ℝ, x2−x+7=0".
Cho hai mệnh đề P: “Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \]”, Q: “Tứ giác nội tiếp đường tròn”. Hãy phát biểu mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)”.
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \] là điều kiện cần để nó nội tiếp đường tròn.
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \] là điều kiện đủ để nó nội tiếp đường tròn.
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \] là điều kiện cần và đủ để nó nội tiếp đường tròn.
Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn thì nó có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \].
Chọn B
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \]thì nó nội tiếp đường tròn”. Đây là một mệnh đề đúng. Khi đó, \(P \Rightarrow Q\) còn được phát biểu ở trong trong hai cách sau đây:
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \] là điều kiện đủ để nó nội tiếp đường tròn.
Tứ giác nội tiếp đường tròn là điều kiện cần để nó có tổng số đo hai góc đối bằng \[180^\circ \].
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
\[\exists x \in \mathbb{R},\;2x < x.\]
\[\forall x \in \mathbb{R},\;2x > x.\]
\[\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} > 0.\]
\[\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} + 1 = 0.\]
Chọn A
Xét mệnh đề “\[\exists x \in \mathbb{R},\;2x < x\]”: Với \(x = - 1\), ta được: \(2 \cdot \left( { - 1} \right) < - 1\) (đúng).
Suy ra mệnh đề “\[\exists x \in \mathbb{R},\;2x < x\]” là mệnh đề đúng.
Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “2 là một số tự nhiên”?
\(2 \subset \mathbb{N}\).
\(2 \in \mathbb{N}\).
\(2 < \mathbb{N}\).
\(2 \le \mathbb{N}\).
Chọn B
“2 là một số tự nhiên” nghĩa là số 2 là một phần tử thuộc tập \(\mathbb{N}\). Vậy ta viết \(2 \in \mathbb{N}\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1\;;\;2\;} \right\}\), \(B = \left\{ {\;2\;;\;3\;} \right\}\). Tập hợp \(A \cup B\) bằng tập hợp nào sau đây?
\(\left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;} \right\}\).
\(\left\{ 2 \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
\(\left\{ 3 \right\}\).
Chọn D
Minh họa hình vẽ
Suy ra: \(M \cap N = [ - 1;3)\)
Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(2x - y < 3.\)
\(2x - y > 3.\)
\(x - 2y < 3.\)
\(x - 2y > 3.\)
Chọn B
Theo hình vẽ trên thì điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm. Thử với 4 phương án, ta loại phương án \(2x - y < 3\) và \(x - 2y < 3.\)
Đường thẳng trên hình vẽ qua điểm \(\left( {0; - 3} \right)\)nên phương án \(2x - y > 3\)thỏa mãn.
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;2} \right\}\) và \(B = \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). Số phần tử của tập hợp \(X = B\backslash A\) là:
2.
0.
1.
3.
Chọn A
Ta có \(X = B\backslash A = \left\{ {1;3} \right\}\). Suy ra số phần tử của tập này là 2 phần tử.
Cho bất phương trình \(2x + y > 3\). Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình?
\[\left( {0;0} \right).\]
\[\left( { - 4;2} \right).\]
\[\left( { - 2;2} \right).\]
\[\left( {5;3} \right).\]
Chọn D
Thay lần lượt tọa độ các điểm đã cho vào \(2x + y > 3\), ta thấy \(2 \cdot 5 + 3 > 3\) (thỏa). Vậy cặp số \[\left( {5;3} \right)\] thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Trong các hệ sau, hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y \ge 0\\x - 3y < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 6\\x - 3y < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 0\\x - 3{y^2} < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge 4\\{x^3} < 2\end{array} \right.\).
Chọn B
Mỗi bất phương trình trong hệ phải là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn nên phương án
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 6\\x - 3y < 2\end{array} \right.\) thỏa mãn.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\(O\left( {0;0} \right).\)
\(M\left( {1;1} \right).\)
\(N\left( { - 1;1} \right).\)
\(P\left( { - 1; - 1} \right).\)
Chọn C
Thử lần lượt 4 phương án vào hệ đã cho, ta thấy tọa độ điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\) không thỏa mãn.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
\(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\).
\(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).
\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S\).
Chọn C
Thử lần lượt 4 phương án vào hệ đã cho, ta thấy tọa độ \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn hệ. Vậy \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).
Biết \(\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\end{array} \right.\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F(x;y) = x + 3y\)
10.
8.
12.
4.
Chọn C
Miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\end{array} \right.\)được biểu diễn như hình vẽ bên dưới.
Miền nghiệm là miền tam giác \(OAB\), với \(O\left( {0;0} \right),\;A(0;4),\;B(4;0)\). Ta có
\(F(0;0) = 0 + 3 \cdot 0 = 0\); \(F(0;4) = 0 + 3 \cdot 4 = 12\); \(F(4;0) = 4 + 3 \cdot 0 = 4\).
Suy ra \({F_{\max }} = 12.\)
Cho góc \(\alpha \)thỏa mãn: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
Chọn D
Với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \)thì \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\tan \alpha < 0\) và \(\cot \alpha < 0\). Vậy khẳng định \(\sin \alpha > 0\) là khẳng định đúng.
Cho tam giác ABC có\[AB = c;AC = b;BC = a\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - bc\cos A\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\sin A\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\].
Chọn A
Áp dụng định lý cô-sin, ta có \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
Tam giác \(ABC\) có \[AB = 3,{\rm{ }}AC = 6,{\rm{ }}\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Tính diện tích tam giác \[ABC\].
\[{S_{\Delta ABC}} = 9\sqrt 3 \].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\].
\[{S_{\Delta ABC}} = 9\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{9}{2}\].
Chọn B
Diện tích tam giác ABC là
S=12AB⋅AC⋅sinA=12⋅3⋅6⋅sin60°=932
Tam giác \(MNP\) có góc \(M\) bằng \(150^\circ \)và cạnh \(NP = 3\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MNP\)là
\(3.\)
\(12.\)
\(6.\)
\(\frac{3}{2}.\)
Chọn A
Áp dụng định lý sin, ta được \(\frac{{NP}}{{\sin M}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{NP}}{{\sin 150^\circ \cdot 2}} = 3\).
Vectơ có điểm đầu là \(C\), điểm cuối là \(D\) được kí hiệu là
\(CD.\)
\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\)
\(\overrightarrow {CD} .\)
\(\overrightarrow {DC} .\)
Chọn C
Vectơ có điểm đầu là \(C\), điểm cuối là \(D\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {CD} \).
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)có giá trùng nhau.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)có giá song song.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)có giá song song hoặc trùng nhau.
Chọn D
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Cho bốn điểm phân biệt\[A,B,C,D\]. Vectơ tổng \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \] bằng
\(\overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
Chọn A
Ta có \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \].
Cho tam giác \[ABC\]có \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\), vectơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {NC} \] bằng
\[\overrightarrow {BC} .\]
\[\overrightarrow {NM} .\]
\[\overrightarrow {CB} .\]
\[\overrightarrow {MN} .\]
Chọn B
Do \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AN} \) nên
\[\overrightarrow u = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM} \].
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\).
\(a.\)
\(0\).
\(2a\).
\(3a\).
Chọn A
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\).
Cho hình bình hành\(ABCD\), biết điểm \(M\)thỏa mãn: \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {BA} .\]Khẳng định nào sau đây đúng?
\(M\)là trọng tâm tam giác \(ABC.\)
\(M\)là trọng tâm tam giác \(ABD.\)
\(DBMC\)là hình bình hành.
\(DBCM\)là hình bình hành.
Chọn C
Xét \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CD} \]
Suy ra, \(DBMC\)là hình bình hành.
Khẳng định nào sau đây là mệnh đề chứa biến?
\(8\)là một số chẵn
Số \(x\) nhỏ hơn \(1\).
TP.HCM ở miền nào của nước Việt Nam.
Học hành tiến bộ nhé!
Chọn B
“Số \(x\) nhỏ hơn \(1\)” là mệnh đề chứa biến.
Cho hai tập hợp \(M = ( - 3;3)\) và \(N = [ - 1;8].\) Xác định tập hợp \(M \cap N\)
\(M \cap N = \left( { - 1;3} \right)\).
\(M \cap N = ( - 3;8]\).
\(M \cap N = [ - 3; - 1)\).
\(M \cap N = [ - 1;3)\).
Chọn D
Minh họa hình vẽ
Suy ra: \(M \cap N = [ - 1;3)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
Nếu tổng hai số \[a + b > 2\] thì có ít nhất một số lớn hơn 1.
Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau.
Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau.
Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
Chọn B
Xét mệnh đề “Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau ”. Mệnh đề này có mệnh đề đảo là “Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”.
Ta chứng minh mệnh đề đảo này là mệnh đề đúng.
Giả sử tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau. Xét hai tam giác vuông \(\Delta BCE\) và \(\Delta BCF\) có w BC là cạnh chung; w \(BE = CF\) (giả thiết). Suy ra \(\Delta BCE = \Delta BCF \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {ECB}\) hay tam giác ABC cân tại A. |  |
Cho tập \(B = \left\{ {x \in R:1 < x \le 3} \right\}.\)Khẳng định nào đúng?
\(B = \left( {1;3} \right]\).
\(B = \left[ {1;3} \right)\).
\(B = \left( {1;3} \right)\).
\(B = \left[ {1;3} \right]\).
Chọn A
Theo cách viết tập con của tập số thực, ta có \(B = \left( {1;3} \right]\).
Trong số \(45\) học sinh của lớp \(10A\) có \(15\) bạn đạt học lực giỏi, \(20\) bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có \(10\) bạn vừa đạt học lực giỏi, vừa đạt hạnh kiểm tốt. Biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải đạt học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt, số bạn không được khen thưởng bằng
\(20\).
\(35\).
\(10\).
\(25\).
Chọn A
Gọi A là tập hợp các học sinh đạt học lực giỏi
B là tập hợp các học sinh đạt hạnh kiểm tốt
Ta có \(n\left( A \right) = 15\); \(n\left( B \right) = 20\); \(n\left( {A \cap B} \right) = 10\)
Số học sinh đạt học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là
\(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 15 + 20 - 10 = 25.\)
Suy ra, số học sinh không đạt danh hiệu (không được khen thưởng) là
\(45 - 25 = 20\) (học sinh).
Bạn An làm một bài thi giữa kỳ I môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 6 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 0,5 điểm. Giả sử bạn An làm đúng x câu trắc nghiệm, y câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y để đảm bảo bạn An được ít nhất 9 điểm.
\(0,2x + 0,5y \ge 9\).
\(0,5x + 0,2y \ge 9\).
\(0,2x + 0,5y > 9\).
\(0,2x + 0,5y \le 9\).
Chọn A
Số điểm phần trắc nghiệm bạn An nhận được khi làm đúng x câu là \(0,2x\).
Số điểm phần tự luận bạn An nhận được khi làm đúng y câu là \(0,5y\).
Do tổng điểm 2 phần (trắc nghiệm và tự luận) ít nhất 9 điểm nên ta có bất phương trình
\(0,2x + 0,5y \ge 9\).
Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < - 2\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right..\]
Chọn D
Miền nghiệm không chứa biên (không lấy dấu “=”) nên ta loại phương án \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\] và phương án \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\] (phương án A và phương án C).
Theo hình vẽ, điểm \(\left( {0;1} \right)\)thuộc miền nghiệm. Thay toạ độ này vào hai phương án còn lại, chỉ có phương án \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\] thoả mãn.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\].
\[{\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = 1\].
\[{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 1\].
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 2\].
Chọn A
Công thức lượng giác cơ bản \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\].
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\;AC = 1\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 1.\)
\(BC = 2.\)
\(BC = \sqrt 2 .\)
\(BC = \sqrt 3 .\)
Chọn D
Áp dụng định lý cô-sin, ta được
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.\cos {60^{\rm{O}}} = 3 \Rightarrow BC = \sqrt 3 \).
Một chiếc thuyền xuất phát từ cảng chạy ra biển theo một đường thẳng được 3 km thì rẽ sang phải theo hướng lệch với hướng ban đầu một góc \(45^\circ \)và đi thẳng theo hướng đó thêm 6 km nữa thì dừng lại. Hỏi tại vị trí mới này, chiếc thuyền cách vị trí xuất phát ban đầu của nó bao nhiêu km? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)
\(4,42\,km.\)
\(19,54\,km.\)
\(8,39km\).
\(70,46\,km.\)
Chọn C
Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ trên. Khoảng cách từ vị trí mới đến vị trị ban đầu chính bằng độ dài đoạn AC. Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác ABC, ta được
\(AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos {{135}^{\rm{o}}}} \approx 8,39{\rm{ km}}{\rm{.}}\)
Cho hình vuông \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .\)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} .\)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} .\)
Chọn A
Theo hình vẽ, đẳng thức đúng là \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (cùng hướng và cùng độ dài).
Cho tam giác\[ABC\] vuông cân tại \(A\), có cạnh\(AB\)bằng \[a.\] Vectơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \] có độ dài bằng
\(a.\)
\(a\sqrt 3 .\)
\(a\sqrt 2 .\)
\(2a.\)
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \], với D là đỉnh của hình vuông ABDC.
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
PHẦN II. PHẦN TỰ LUẬN (3.0 điểm)
(0,5 điểm).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \),
mà tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \] \( \Rightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 .\)
Vậy \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \).
(0,5 điểm).
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2} \right\}\) và \(B = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}.\) Hãy liệt kê tất cả các tập hợp \(X\) thỏa mãn \(A \cup X = B.\)
Để \(A \cup X = B\) thì \(\left\{ {3;4;5} \right\} \subset X\). Suy ra tất cả có 8 tập \(X\)là
\(\left\{ {3;4;5} \right\}\); \(\left\{ {3;4;5;0} \right\}\); \(\left\{ {3;4;5;1} \right\}\); \(\left\{ {3;4;5;2} \right\}\);
\(\left\{ {3;4;5;0;1} \right\}\); \(\left\{ {3;4;5;0;2} \right\}\) ; \(\left\{ {3;4;5;1;2} \right\}\);\(\left\{ {3;4;5;0;1;2} \right\}\).
(1,0 điểm).
a) Biểu diễn trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \le 3.\)
b) Một cửa hàng dự định làm kệ sách và bàn làm việc để bán. Mỗi kệ sách cần 5 giờ chế biến gỗ và 4 giờ hoàn thiện. Mỗi bàn làm việc cần 10 giờ chế biến gỗ và 3 giờ hoàn thiện. Mỗi tháng cửa hàng có không quá 600 giờ để chế biến gỗ và không quá 240 giờ để hoàn thiện. Lợi nhuận dự kiến của mỗi kệ sách là 400 nghìn đồng và mỗi bàn làm việc là 750 nghìn đồng. Mỗi tháng cửa hàng cần làm bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
a) Vẽ đường thẳng \(\Delta :x + 2y - 3 = 0\) đi qua 2 điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\).
Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(0 + 2.0 - 3 < 0\) đúng.
Suy ra miền nghiệm của BPT đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) (kể cả \(\Delta \)) chứa điểm \(O\) như hình vẽ
b) Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc. \((x,y \in N)\)
Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 10y \le 600\\4x + 3y \le 240\end{array} \right.\]
Mỗi tháng khi bán \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc lợi nhuận thu được là
\[F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y\]. (nghìn đồng)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \[F\left( {x;y} \right)\] khi \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \[OABC\] với tọa độ các đỉnh \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)\].
Tính giá trị của biểu thức \[F\] tại các đỉnh của tứ giác này
\[F\left( {0;0} \right) = 0,\quad F\left( {0;60} \right) = 45000,\quad F\left( {24;48} \right) = 45600,\quad F\left( {60;0} \right) = 24000.\]
So sánh các giá trị thu được của \[F\] ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \[F\left( {24;48} \right) = 45600.\]
Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[24\] kệ sách và \[48\] bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
(1,0 điểm).
a) Cho tam giác \(ABC\)có \(BC = 6,AC = 5,AB = 4\). Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(MC = 2MB\), Tính góc B và cạnh AM.
b) Cho tam giác \(ABC\)có \(AB + AC = 13\;(AB > AC),\)góc \(A\) bằng \(60^\circ \), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng \(\sqrt 3 \). Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).
a)
Trong tam giác ABC, tính được
\(\cos B = \frac{{B{A^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2BA.BC}} = \frac{9}{{16}} \Rightarrow B \approx 55,77^\circ \)
Trong tam giác ABM, có \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2\). Áp dụng định lý cô-sin:
\(AM = \sqrt {B{A^2} + B{M^2} - 2BA.BM.\cos B} = \sqrt {11} .\)
b) Ta có
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{a + b + c}}{2}r \Rightarrow bc = 2(a + b + c)\);
\[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\].
Kết hợp với giả thiết, ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}b + c = 13\\bc = 2(a + b + c)\\\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình này, ta được 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 8\\c = 5\end{array} \right.;\quad \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 5\\c = 8\end{array} \right.\).
Đối chiếu điều kiện \(c > b\), ta được kết quả \(a = 7,\;b = 5,\;c = 8.\)
