Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 6\)?
\(\left( {5;1} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {2; - 2} \right)\).
\(\left( {1; - 2} \right)\).
Chọn B
Ta có cặp số \(\left( {0;1} \right)\): \(2.0 - 3.1 = - 3 < 6\) suy ra cặp số \(\left( {0;1} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 6\).
Trong các hệ bất phương trình sau:
\(\left( 1 \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4y \le 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.\) \(\left( 2 \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 5\\{x^2} > 3y\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt y > 2\\x + 3y > 0\end{array} \right.\) \(\left( 4 \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\5x - \sqrt 3 y < \sqrt {11} \end{array} \right.\)
Hỏi có bao nhiêu hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn C
Có 2 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4y \le 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\5x - \sqrt 3 y < \sqrt {11} \end{array} \right.\).
Cho \(\Delta ABC\)có góc \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\(R = 4\).
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Chọn B
Theo định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1\).
Cho \(\Delta ABC\) với các cạnh \(AB = c,\,\,AC = b,\,\,BC = a\). Gọi \(R,\,\,r,\,\,S\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác \(ABC\). Công thức nào sau đây sai?
\[S = \frac{1}{2}ab\sin A\].
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\[S = \frac{{abc}}{{4R}}\].
\[S = \frac{{\left( {a + b + c} \right)r}}{2}\].
Chọn A
Công thức tính diện tích sai là \[S = \frac{1}{2}ab\sin A\].
Cho\(\Delta ABC\)có \[BC = a\], \[AC = b\], \[AB = c\]. Đẳng thức nào sau đây sai?
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\].
\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos A\].
Chọn D
Biểu thức định lí cosin sai là \[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos A\].
Số phần tử của tập hợp X=x∈ℚx2−3x−4x2−3=0 là
4.
1.
2.
3.
Chọn C
Xét phương trình \[\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4 = 0\\{x^2} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\\x = - \sqrt 3 \notin \mathbb{Q}\\x = \sqrt 3 \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.\]
Vậy \(X = \left\{ { - 1;4} \right\}\) có 2 phần tử.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;5;7} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3} \right\}\). Có tất cả bao nhiêu tập \(X\)thỏa mãn \(X \subset A\) và \(X \subset B\)?
3.
4.
6.
2.
Chọn B
Ta có: \(X \subset A\) và \(X \subset B\) suy ra \(X \subset A \cap B = \left\{ {1;2} \right\}\).
Vậy tập \(X\) có thể là các tập hợp sau: \(\phi ,\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ 2 \right\},\,\,\left\{ {1;2} \right\}\). Vậy có 4 tập hợp.
Tam giác \(ABC\) có \(BC = \sqrt 3 {\rm{ cm}}\), \(AC = \sqrt 2 {\rm{ cm}}\), \(AB = 1{\rm{ cm}}\). Đường trung tuyến \(AM\) có độ dài là
\(1{\rm{ cm}}\).
\(1,5{\rm{ cm}}\).
\(\frac{5}{2}{\rm{ cm}}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{ cm}}\).
Chọn D
Ta có: \[A{M^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2}} \right) - {{\sqrt 3 }^2}}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] (cm).
Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha .\]
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\)
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \sin \alpha .\)
Chọn B
Đẳng thức đúng là \(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\)
Cho \(A = \left( { - 2;1} \right)\). Tập hợp \({C_\mathbb{R}}A\) bằng
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right]\).
Chọn C
Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\)\(\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{5}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
Chọn B
Do \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \cos \alpha > 0\).
Từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}\).
Bất phương trình nào sau đây không làbất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x + 1 > 0\).
\(x + y < 2xy\).
\( - x + 4y \ge 3\).
\(y \ge 1\).
Chọn B
Bất phương trình không là bất phương trình bậc nhất một ẩn là \(x + y < 2xy\).
Mệnh đề khẳng định rằng:
Chỉ có một số thực có bình phương bằng \(3\).
Bình phương của mỗi số thực bằng \(3\).
Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng \(3\).
Nếu \(x\) là số thực thì \({x^2} = 3\).
Chọn C
Phát biểu mệnh đề là: Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng \(3\).
Hệ thức nào sau đây đúng?
\(5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 3.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = \frac{1}{4}.\)
Chọn A
Do \({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1 \Rightarrow 5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)
Cho \(\Delta ABC\) có diện tích \(S = 10\sqrt 3 \), nửa chu vi \(p = 10\). Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) của \(\Delta ABC\) là
\(\sqrt 3 \,.\)
\(3.\)
\(2.\)
\(\sqrt 2 .\)
Chọn A
Ta có: \(S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \).
Cho định lí “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau.
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
Chọn C
Mệnh đề đúng là: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.
Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\)?
\(M\left( {1\,;1} \right)\).
\(P\left( { - 1\,; - 1} \right)\).
\(O\left( {0\,;0} \right)\).
\(N\left( { - 1\,;1} \right)\).
Chọn D
Ta thấy điểm \(N\left( { - 1\,;1} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}( - 1) + 1 - 2 = - 2 < 0\\2.\left( { - 1} \right) - 3.1 + 2 = - 3 < 0\end{array} \right.\). Vậy \(N\left( { - 1\,;1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\).
Cho \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},\,\,\;B = \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\). Tập hợp \(A\backslash B\) bằng
\(\left\{ {0;1;5;6} \right\}.\)
\(\left\{ {2;3;4} \right\}.\)
\(\left\{ {5;6} \right\}.\)
\(\left\{ {0;1} \right\}.\)
Chọn D
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\}\)
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \left. \mathbb{R} \right|4 < x \le 9} \right\}\). Tập A là tập nào sau đây?
\[\left[ {4;9} \right]\].
\((4;9]\).
\[{\rm{[4}};9)\].
\(\left( {4;9} \right)\).
Chọn B
Tập hợp \(A = \left( {4\,;9} \right]\).
Cho hai tập hợp \(A = \left[ {2;5} \right]\), \(B = \left( {3;10} \right)\). Tập hợp \(A \cup B\) bằng
\[{\rm{[2}};3)\].
\(\left( {3;5} \right]\).
\(\left[ {5;10} \right)\).
\(\left[ {2;10} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(A \cup B = \left[ {2;10} \right)\)
Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Công thức nào sau đây sai?
\[\sin C = \frac{c}{{2R}}\,.\]
\[a = 2R\sin A\,.\]
\[b\sin B = 2R\,.\]
\[\sin B = \frac{{b\sin A}}{a}\,.\]
Chọn C
Ta có định lí sin: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = \,2R\] nên công thức sai là \[b\sin B = 2R\,.\]
Tam giác \[ABC\]có \[\widehat C = {150^0},\;BC = \sqrt 3 ,AC = 2.\] Tính cạnh \(AB\).
\[\sqrt 3 .\]
\(10\).
\(1\).
\[\sqrt {13} \].
Chọn D
Theo định lí cosin: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^3} - 2.AC.BC.\cos C = {2^2} + {\sqrt 3 ^3} - 2.2.\sqrt 3 .\cos {150^{\rm{o}}} = 13 \Rightarrow AB = \sqrt {13} \)
Lớp 10A có 40 học sinh trong đó có 10 bạn học sinh giỏi Toán, 15 bạn học sinh giỏi Lý và 22 bạn không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Lý. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý?
\(15\).
\(10\).
\(7\).
\(18\).
Chọn C
Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh giỏi Toán.
Gọi \(B\) là tập hợp các học sinh giỏi Lý.
Theo bài ra ta có: \[n\left( A \right) = 10,\,\,n\left( B \right) = 15\] và \(n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 22 = 18\).
Ta có:
\[n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right) = 10 + 15 - 18 = 7\].
Vậy số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý của lớp 10A là 7.
Cho \(\alpha \) là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\cot \alpha < 0.\)
\(\sin \alpha < 0.\)
\(\cos \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0.\)
Chọn A
Vì \(\alpha \) là góc tù nên \(\cot \alpha < 0.\)
Mệnh đề chứa biến với \[x\] là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(P\left( 5 \right)\).
\(P\left( 4 \right)\).
\(P\left( 1 \right)\).
\(P\left( 3 \right)\).
Chọn A
Ta có: là mệnh đề đúng.
Nhân dịp trung thu, hai bạn Minh và Ngọc muốn mua quà cho các em nhỏ có hoàn cảnh khó khăn ở khu phố. Tổng số tiền hai bạn có là 1 triệu đồng. Một chiếc bánh trung thu có giá là 30 nghìn đồng, một chiếc đèn ông sao có giá 10 nghìn đồng. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số bánh trung thu và số đèn ông sao mà hai bạn định mua. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) thể hiện số tiền hai bạn đã mua quà mà không vượt quá số tiền hai bạn có.
\[3x + y \ge 100\].
\[3x + y \le 10\].
\[x + 3y \le 100\].
\[3x + y \le 100\].
Chọn D
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) thể hiện số tiền hai bạn đã mua quà mà không vượt quá số tiền 1 triệu đồng là \(30x + 10y \le 1000 \Leftrightarrow 3x + y \le 100\)
Mệnh đề nào sau đây sai?
“ \(\exists n \in \mathbb{N}:{n^2} = n\)”.
“\(\exists x \in \mathbb{R}:x < 1\)”.
“\(\forall n \in \mathbb{N}:n \le 2n\)”.
“\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} > 0\)”.
Chọn D
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} > 0\)” là mệnh đề sai vì \(\exists x = 0\) mà \({0^2} > 0\) không thỏa mãn.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(a = 24,\,b = 13,\,c = 15.\) Tính \[\widehat A\].
\(28^\circ 37'.\)
\(58^\circ 24'\,.\)
\(33^\circ 34'\,.\)
\(117^\circ 49'\,.\)
Chọn D
Ta có: \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} = - \frac{7}{{15}} \Rightarrow \widehat A \approx {117^{\rm{o}}}49'\]
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\sin 90^\circ < \sin 100^\circ \).
\(\tan 85^\circ < \tan 125^\circ \).
\(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ \).
\(\cos 145^\circ > \cos 125^\circ \).
Chọn C
Bất đẳng thức đúng là \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ \).
Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;5} \right)\), \(B = \left( {1;7} \right)\). Tập hợp \(A \cap B\) bằng
\(\left( {1;5} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ;7} \right)\).
\[\left( {5;7} \right)\].
Chọn A
Ta có: \(A \cap B = \left( {1;5} \right)\)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “\[\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 > 0\]” là
\[\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 \le 0\].
\[\exists x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 > 0\].
\[\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 < 0\].
\[\exists x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 \le 0\].
Chọn D
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\[\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 > 0\]” là “\[\exists x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 \le 0\]”.
Miền tam giác OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x + 2y \ge - 2\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \le 0\\x - 2y \ge 2\end{array} \right.\)
Chọn C
+ Ta có các đường thẳng \(OA,\,\,OB,\,\,AB\) có phương trình lần lượt là \(x = 0,\,\,y = 0,\,\,x - 2y = - 2\).
+ Điểm \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) thuộc miền tam giác \(OAB\) và là một điểm biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.\). Vậy miền tam giác \(OAB\) là miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge - 2\end{array} \right.\).
Phần không bị gạch (kể cả bờ) trong hình vẽ là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(x - y \ge 1\).
\(x - y \le 1\).
\(x + y > 1\).
\(x + y \le 1\).
Chọn B
Đường thẳng \(x - y = 1\) đi qua hai điểm \(\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;0} \right)\).
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(x - y \le 1\). Vậy bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là \(x - y \le 1\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(a = 6,b = 8,c = 10.\)Diện tích \(S\) của \(\Delta ABC\) là
\(12.\)
\(30.\)
\(48.\)
\(24.\)
Chọn D
Cách 1. Ta có nửa chu vi là \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\)
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {12.\left( {12 - 6} \right).\left( {12 - 8} \right).\left( {12 - 10} \right)} = 24\).
Cách 2. Ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại C.
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}.6.8 = 24\).
Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?
Mùa thu Hải Phòng đẹp quá!
Các em hãy làm bài thật tốt nhé!
Bạn có thấy đề thi môn Toán dễ không?
Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
Chọn D
Phát biểu là một mệnh đề: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;5} \right],{\rm{ }}B = \left[ {2m - 1;2m + 3} \right)\).
a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\).
b) Tìm \(m\) để \(A \cap B = \emptyset \).
a) Tập hợp \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\)
b) \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 1\\2m - 1 > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m > 3\end{array} \right.{\rm{ }}\)
Cho \(\sin x + \cos x = \frac{1}{5}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {\sin x - \cos x} \right|\).
Ta có: \({P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x.\cos x\)
Theo giả thiết: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{{25}}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{{25}} \Rightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = \frac{1}{{25}}\)
\( \Rightarrow 2\sin x.\cos x = - \frac{{24}}{{25}}\)
Do đó: \({P^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow P = \frac{7}{5}\) (vì \(P \ge 0\)).
Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\,m\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang một góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang một góc \(15^\circ 30'\) (như hình vẽ). Tính độ cao \(CH\) của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có: \(\,\widehat {ABC} = 90^\circ \, + \,15^\circ 30'\, = \,105^\circ 30'\).
\(\widehat {ACB} = 180^\circ \, - \widehat {ABC} - \widehat {BAC} = 180^\circ \, - 60^\circ - \,105^\circ 30'\, = \,14^\circ 30'\).
Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ABC\), ta có:
\[\frac{{AC}}{{\sin \,\widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \,\widehat {ACB}}} \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin \,105^\circ 30'}}{{\sin \,14^\circ 30'}} \approx 269,4\left( m \right)\].
\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có \[\widehat {ACH} = 30^\circ \] nên \(CH = \frac{{AC}}{2} \approx 134,7\,\left( m \right)\).
Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu đồng. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu đồng. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6 giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4 giờ/ngày. Hỏi một ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại để tiền lãi cao nhất?
Gọi là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong một ngày.
Số tiền lãi mỗi ngày là: \(L(x,y) = 2x + y\) (triệu đồng).
Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt là: \[3x + y\] (giờ).
Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện là: \(x + y\) (giờ).
Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\)\(\left( * \right)\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
Miền nghiệm của \((*)\) là miền tứ giác \(OABC\)như hình vẽ với \(O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)\).
Ta có: \(L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1,3) = 5,L(0,4) = 4\).
Suy ra: GTLN của \(L\left( {x;y} \right)\) bằng \(5\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)
Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.
