Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT chuyên Trần Phú (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Ta có cặp số  \(\left( {0;1} \right)\): \(2.0 - 3.1 =  - 3 < 6\) suy ra cặp số \(\left( {0;1} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 6\).

Chọn C

Có 2 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) là  \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4y \le 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\5x - \sqrt 3 y < \sqrt {11} \end{array} \right.\).

Chọn B

Theo định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1\).

Chọn A

Công thức tính diện tích sai là \[S = \frac{1}{2}ab\sin A\].

Chọn D

Biểu thức định lí cosin sai là \[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos A\].

Chọn C

Xét phương trình  \[\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4 = 0\\{x^2} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\\x =  - \sqrt 3  \notin \mathbb{Q}\\x = \sqrt 3  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.\]

Vậy \(X = \left\{ { - 1;4} \right\}\) có 2 phần tử.

Chọn B

Ta có: \(X \subset A\) và \(X \subset B\) suy ra \(X \subset A \cap B = \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy tập \(X\) có thể là các tập hợp sau: \(\phi ,\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ 2 \right\},\,\,\left\{ {1;2} \right\}\). Vậy có 4 tập hợp.

Chọn D

Ta có: \[A{M^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2}} \right) - {{\sqrt 3 }^2}}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] (cm).

Chọn B

Đẳng thức đúng là \(\cot \left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - \cot \alpha .\)

Chọn C

Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\)

Chọn B

Do \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ  \Rightarrow \cos \alpha  > 0\).

Từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{5}\).

Chọn B

Bất phương trình không là bất phương trình bậc nhất một ẩn là \(x + y < 2xy\).

Chọn C

Phát biểu mệnh đề  là: Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng \(3\).

Chọn A

Do \({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1 \Rightarrow 5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)

Chọn A

Ta có: \(S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \).

Chọn C

Mệnh đề đúng là: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

Chọn D

Ta thấy điểm  \(N\left( { - 1\,;1} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}( - 1) + 1 - 2 =  - 2 < 0\\2.\left( { - 1} \right) - 3.1 + 2 =  - 3 < 0\end{array} \right.\). Vậy \(N\left( { - 1\,;1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\).

Chọn D

Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\}\)

Chọn B

Tập hợp \(A = \left( {4\,;9} \right]\).

Chọn D

Ta có: \(A \cup B = \left[ {2;10} \right)\)

Chọn C

Ta có định lí sin: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = \,2R\] nên công thức sai là  \[b\sin B = 2R\,.\]

Chọn D

Theo định lí cosin: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^3} - 2.AC.BC.\cos C = {2^2} + {\sqrt 3 ^3} - 2.2.\sqrt 3 .\cos {150^{\rm{o}}} = 13 \Rightarrow AB = \sqrt {13} \)

Chọn C

Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh giỏi Toán.

Gọi \(B\) là tập hợp các học sinh giỏi Lý.

Theo bài ra ta có: \[n\left( A \right) = 10,\,\,n\left( B \right) = 15\] và \(n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 22 = 18\).

Ta có:

\[n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right) = 10 + 15 - 18 = 7\].

Vậy số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý của lớp 10A là 7.

Chọn A

Vì \(\alpha \) là góc tù nên \(\cot \alpha  < 0.\)

Chọn A

Ta có:  là mệnh đề đúng.

Chọn D

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) thể hiện số tiền hai bạn đã mua quà mà không vượt quá số tiền 1 triệu đồng là \(30x + 10y \le 1000 \Leftrightarrow 3x + y \le 100\)

Chọn D

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} > 0\)” là mệnh đề sai vì \(\exists x = 0\) mà \({0^2} > 0\) không thỏa mãn.

Chọn D

Ta có: \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} =  - \frac{7}{{15}} \Rightarrow \widehat A \approx {117^{\rm{o}}}49'\]

Chọn C

Bất đẳng thức đúng là \(\cos 95^\circ  > \cos 100^\circ \).

Chọn A

Ta có: \(A \cap B = \left( {1;5} \right)\)

Chọn D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\[\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 > 0\]” là “\[\exists x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 3x + 5 \le 0\]”.

Chọn C

+ Ta có các đường thẳng \(OA,\,\,OB,\,\,AB\) có phương trình lần lượt là \(x = 0,\,\,y = 0,\,\,x - 2y =  - 2\).

+ Điểm \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) thuộc miền tam giác \(OAB\) và là một điểm biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge  - 2\end{array} \right.\).  Vậy miền tam giác \(OAB\) là miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y \ge  - 2\end{array} \right.\).

Chọn B

Đường thẳng \(x - y = 1\) đi qua hai điểm \(\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;0} \right)\).

Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(x - y \le 1\). Vậy bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là  \(x - y \le 1\).

Chọn D

Cách 1. Ta có nửa chu vi là \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {12.\left( {12 - 6} \right).\left( {12 - 8} \right).\left( {12 - 10} \right)}  = 24\).

Cách 2. Ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại C.

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}.6.8 = 24\).

Chọn D

Phát biểu là một mệnh đề: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

Ta có: \({P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x.\cos x\)

Theo giả thiết: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{{25}}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{{25}} \Rightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = \frac{1}{{25}}\)

\( \Rightarrow 2\sin x.\cos x =  - \frac{{24}}{{25}}\)

Do đó: \({P^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow P = \frac{7}{5}\) (vì \(P \ge 0\)).

Ta có: \(\,\widehat {ABC} = 90^\circ \, + \,15^\circ 30'\, = \,105^\circ 30'\).

\(\widehat {ACB} = 180^\circ \, - \widehat {ABC} - \widehat {BAC} = 180^\circ \, - 60^\circ  - \,105^\circ 30'\, = \,14^\circ 30'\).

Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ABC\), ta có:

\[\frac{{AC}}{{\sin \,\widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \,\widehat {ACB}}} \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin \,105^\circ 30'}}{{\sin \,14^\circ 30'}} \approx 269,4\left( m \right)\].

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có \[\widehat {ACH} = 30^\circ \] nên \(CH = \frac{{AC}}{2} \approx 134,7\,\left( m \right)\).

Gọi  là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong một ngày.

Số tiền lãi mỗi ngày là: \(L(x,y) = 2x + y\) (triệu đồng).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt là: \[3x + y\] (giờ).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện là: \(x + y\) (giờ).

Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\)\(\left( * \right)\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

Miền nghiệm của \((*)\) là miền tứ giác \(OABC\)như hình vẽ với \(O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)\).

Ta có: \(L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1,3) = 5,L(0,4) = 4\).

Suy ra: GTLN của \(L\left( {x;y} \right)\) bằng \(5\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)

Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.