Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 TT GDNN-GDTX Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng.

Các câu B, C, D đều là các câu khẳng định (B là khẳng định đúng, C và D là khẳng định sai), do đó chúng là các mệnh đề.

"Buồn ngủ quá!" là một câu cảm thán biểu lộ cảm xúc, không phải là một câu khẳng định mang tính đúng hay sai. Do đó, câu A không phải là mệnh đề.

Chọn đáp án: A.

Theo quy tắc phủ định mệnh đề chứa ký hiệu lượng từ: phủ định của ký hiệu tồn tại (\(\exists \)) là ký hiệu với mọi (\(\forall \)), và phủ định của dấu bằng (\( = \)) là dấu khác (\( \ne \)).

Do đó, phủ định của mệnh đề \(P\) là: \(\forall x \in \mathbb{R},5x - 3{x^2} \ne 1\).

Chọn đáp án: C.

Một tập hợp \(X\) được gọi là tập con của tập hợp \(A\) nếu mọi phần tử của \(X\) đều thuộc \(A\).

Xét tập hợp ở phương án B: \(\left\{ {1,2,7} \right\}\) có chứa hai phần tử \(1\) và \(7\) không thuộc tập hợp \(A\). Do đó, tập hợp này không phải là tập con của \(A\).

Chọn đáp án: B.

Phép giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) lấy các phần tử chung thuộc cả hai tập hợp:

\(A \cap B = \{ x \in \mathbb{R}\mid - 2 < x < 7{\rm{\;v\`a \;}}1 < x < 9\} \)

Kết hợp điều kiện trên trục số ta có:

\(1 < x < 7 \Rightarrow A \cap B = \left( {1;7} \right)\)

Chọn đáp án: A.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) có dạng tổng quát là \(ax + by + c < 0\) (hoặc \( > \), \( \le \), \( \ge \)), trong đó \(a,b,c\) là các số thực và \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\). Các biến \(x,y\) chỉ được có số mũ là số nguyên dương bậc \(1\).

Ở phương án A: Bất phương trình \({x^2} + 2{y^2} \le 1\) chứa ẩn số có bậc là \(2\) (\({x^2}\) và \({y^2}\)). Do đó, đây không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn đáp án: A.

Thay tọa độ các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) vào vế trái \(f\left( {x,y} \right) = 2x + 3y\) của bất phương trình để đối chiếu:

Với \(\left( { - 2; - 3} \right)\): \(2\left( { - 2} \right) + 3\left( { - 3} \right) = - 13 \ge 7\) (Sai).

Với \(\left( {1;1} \right)\): \(2\left( 1 \right) + 3\left( 1 \right) = 5 \ge 7\) (Sai).

Với \(\left( {4;2} \right)\): \(2\left( 4 \right) + 3\left( 2 \right) = 14 \ge 7\) (Đúng).

Với \(\left( { - 1; - 5} \right)\): \(2\left( { - 1} \right) + 3\left( { - 5} \right) = - 17 \ge 7\) (Sai).

Chọn đáp án: C.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ A chứa \({y^2}\) nên không phải bậc nhất.

Hệ B chứa tích \(xy\) nên không phải bậc nhất.

Hệ D chứa \({x^2},{y^2}\) nên không phải bậc nhất.

Hệ C gồm hai bất phương trình \(x - y \le 5\) và \(x + 2y > - 1\) đều là bậc nhất đối với hai ẩn \(x\) và \(y\).

Chọn đáp án: C.

Ta thay trực tiếp tọa độ từng cặp số vào hệ bất phương trình:

Xét cặp số \(\left( { - 1;1} \right)\) ở phương án C: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 1 - 2 = - 2 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)}\\{2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot 1 + 2 = - 3 \not > 0\,\,\,\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vì cặp số \(\left( { - 1;1} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ hai nên nó không phải là nghiệm của hệ.

Chọn đáp án: C.

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau (\(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)):

\({\rm{tan}}{135^ \circ } = {\rm{tan}}\left( {{{180}^ \circ } - {{45}^ \circ }} \right) = - {\rm{tan}}{45^ \circ }\)

Mà \({\rm{tan}}{45^ \circ } = 1 \Rightarrow {\rm{tan}}{135^ \circ } = - 1\).

Chọn đáp án: C.

Ta có giá trị lượng giác của góc đặc biệt \({45^ \circ }\):

\({\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2},{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó: \({\rm{cos}}{45^ \circ } + {\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \)

Chọn đáp án: A.

Theo hệ thức lượng định lí côsin trong tam giác, ta có công thức tính nhanh giá trị góc \(A\) là:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A \Rightarrow {\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Do đó phương án B đúng.

Phương án C sai cấu trúc diện tích phải là \(S = \frac{1}{2}ab{\rm{sin}}C\). Phương án D sai dấu trong công thức Heron.

Chọn đáp án: B.

Sử dụng công thức diện tích tam giác theo tích hai cạnh và sin của góc xen giữa:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}A\)

Thay số vào biểu thức:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\)

Chọn đáp án: A.

Mệnh đề a: ĐÚNG. Theo định nghĩa khoảng trên tập số thực, \(A = \left( { - 5;2} \right) = \{ x \in \mathbb{R}\mid - 5 < x < 2\} \).

Mệnh đề b: SAI. Tập hợp \(B = \left( {1;3} \right)\) là khoảng mở, ký hiệu đúng tại hai đầu mút phải là hai dấu ngoặc tròn.

Mệnh đề c: ĐÚNG. Giao của hai tập hợp:

\(A \cap B = \left( { - 5;2} \right) \cap \left( {1;3} \right) = \left( {1;2} \right)\)

Mệnh đề d: ĐÚNG. Hợp của hai tập hợp:

\(A \cup B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {1;3} \right) = \left( { - 5;3} \right)\)

Thay tọa độ \(x = - 1,y = 2\) vào từng bất phương trình:

Bất phương trình (1): \(3\left( { - 1} \right) - 5\left( 2 \right) = - 13\). Vì \( - 13 < - 15\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 1;2} \right)\) không là nghiệm \( \Rightarrow \) Mệnh đề a ĐÚNG.

Bất phương trình (2): \(2\left( { - 1} \right) + 2 = 0\). Vì \(0 \le 0\) đúng nên \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm \( \Rightarrow \) Mệnh đề b ĐÚNG.

Bất phương trình (3): \(3\left( { - 1} \right) - 9\left( 2 \right) = - 21\). Vì \( - 21 > 7\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 1;2} \right)\) không là nghiệm \( \Rightarrow \) Mệnh đề c SAI.

Bất phương trình (4): \( - 4\left( { - 1} \right) + 3\left( 2 \right) = 10\). Vì \(10 \ge 5\) đúng nên \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm \( \Rightarrow \) Mệnh đề d ĐÚNG.

Vì \(\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)\) (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên \({\rm{sin}}\alpha > 0\), \({\rm{tan}}\alpha < 0\), và \({\rm{cot}}\alpha < 0\).

Mệnh đề a: ĐÚNG. Ta có công thức:

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\left( {{\rm{do\;sin}}\alpha > 0} \right)\)

Mệnh đề b: SAI. Giá trị đúng phải mang dấu âm:

\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Mệnh đề c: ĐÚNG. Tính giá trị \({\rm{cot}}\alpha \):

\({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Mệnh đề d: ĐÚNG. Sử dụng máy tính cầm tay bấm tìm góc từ \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{3}\) trong miền góc tù:

\(\alpha = {\rm{arccos}}\left( { - \frac{2}{3}} \right) \approx 131,{81^ \circ } \approx {131^ \circ }48{\rm{'}}\)

Mệnh đề a: ĐÚNG. Nửa chu vi tam giác \(p\) là:

\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\)

Mệnh đề b: SAI. Tính giá trị \({\rm{cos}}A\) qua định lí hàm số côsin:

\({\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{9^2} + {{12}^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 12}} = \frac{{81 + 144 - 49}}{{216}} = \frac{{176}}{{216}} = \frac{{22}}{{27}}\)

Mệnh đề c: SAI. Áp dụng hệ thức Heron để tính toán diện tích tam giác:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14 \cdot \left( {14 - 7} \right) \cdot \left( {14 - 9} \right) \cdot \left( {14 - 12} \right)} \)

\(S = \sqrt {14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt {980} = 14\sqrt 5 \)

Mệnh đề d: SAI. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) qua công thức diện tích:

\(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{756}}{{56\sqrt 5 }} = \frac{{27}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\)

Câu i) là câu cầu khiến, không phải mệnh đề.

Câu ii) là câu khẳng định đúng, đây là một mệnh đề.

Câu iii) là câu khẳng định đúng, đây là một mệnh đề.

Câu iv) là câu khẳng định sai (do 2019 không chia hết cho 4), đây cũng là một mệnh đề.

Vậy tổng cộng có 3 mệnh đề trong danh sách trên.

Kết quả: 3

Số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ văn nghệ là:

\(20 - 6 = 14{\rm{\;(hoc\;sinh)}}\)

Số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao là:

\(10 - 6 = 4{\rm{\;(hoc\;sinh)}}\)

Tổng số học sinh chỉ tham gia duy nhất một câu lạc bộ là:

\(14 + 4 = 18{\rm{\;(hoc\;sinh)}}\)

Kết quả: 18

Số tiền Lan bỏ ra để mua 7 cây bút là: \(7 \cdot 6.000 = 42.000\) đồng.

Số tiền còn lại của Lan dùng để mua tập là:

\(200.000 - 42.000 = 158.000{\rm{\;}}\)đồng.

Gọi số quyển tập tối đa Lan mua được là \(x\) (\(x \in \mathbb{N}\)). Ta có bất phương trình chi phí:

\(8.000 \cdot x \le 158.000 \Rightarrow x \le \frac{{158.000}}{{8.000}} = 19,75\)

Vì số quyển tập phải là một số nguyên dương nên số quyển tập tối đa mà Lan có thể mua được là 19 quyển.

Kết quả: 19

Thay các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt vào biểu thức:

\({\rm{sin}}{90^ \circ } = 1,{\rm{cos}}{0^ \circ } = 1,{\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{1}{2},{\rm{cos}}{180^ \circ } = - 1\)

Tính toán giá trị của \(A\):

\(A = 3 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) + 10 \cdot \left( { - 1} \right)\)

\(A = 3 + 2 - \frac{3}{2} - 10 = 5 - 1,5 - 10 = - 6,5\)

Kết quả: -6,5

Áp dụng hệ thức lượng cơ bản \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\) cho các nhóm góc giống nhau:

\(\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{170}^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{170}^ \circ }} \right) = 1\)

\(\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{150}^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{150}^ \circ }} \right) = 1\)

\(\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{0^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{0^ \circ }} \right) = 1\)

Các số hạng còn dư bao gồm: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{0^ \circ } = 0\) và \({\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}{135^ \circ } = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\).

Cộng tất cả các thành phần lại với nhau: \(A = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4\).

Kết quả: 4

Bước 1: Xác định các đỉnh tọa độ của miền nghiệm đa giác tạo bởi hệ bất phương trình:

Biên đường thẳng đường thẳng: \({d_1}:y - 2x = 2\), \({d_2}:2y - x = 4\), \({d_3}:x + y = 5\).

Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{2y - x = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\)

Giao điểm \(B\) của \({d_1}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {1;3} \right)\)

Giao điểm \(C\) của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - x = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( {2;3} \right)\)

Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu \(F\left( {x,y} \right) = y - x\) tại ba tọa độ đỉnh đỉnh đa giác:

Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \(F\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\).

Tại \(B\left( {1;3} \right)\): \(F\left( {1,3} \right) = 3 - 1 = 2\).

Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \(F\left( {2,3} \right) = 3 - 2 = 1\).

Bước 3: So sánh tìm giá trị nhỏ nhất:

Nhận thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của biểu thức là \(F = 1\) đạt được tại điểm đỉnh \(C\left( {2;3} \right)\).

Suy ra giá trị cặp nghiệm tối ưu là \({x_0} = 2\) và \({y_0} = 3\).

Bước 4: Tính giá trị biểu thức yêu cầu:

\(2x_0^2 + y_0^2 = 2 \cdot {\left( 2 \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} = 2 \cdot 4 + 9 = 17\)

Kết quả: 17