Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội) có đáp án
35 câu hỏi
Cho mệnh đề P: “\[\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 4x + 5 > 0\]”. Phủ định của mệnh đề P là
P¯:"∀x∈ℝ,x2+4x+5≤0".
P¯:"∃x∈ℝ,x2+4x+5<0".
P¯:"∀x∈ℝ,x2+4x+5<0".
P¯:"∃x∈ℝ,x2+4x+5≤0".
Chọn D
Phủ định của mệnh đề P là
Với giá trị thực nào của \(x\) mệnh đề chứa biến : là mệnh đề đúng ?
\(x = 0\).
\(x = 5\).
\(x = 1\).
\(x = \frac{4}{5}\).
Chọn A
- Mệnh đề đúng.
- Mệnh đề sai.
- Mệnh đề sai.
- Mệnh đề sai.
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {2,4,6,9} \right\}\) và \(B = \left\{ {1,2,3,4} \right\}\).Tập hợp \(A\backslash B\) bằng tập nào sau đây?
\(A = \left\{ {1,2,3,5} \right\}\).
\(\left\{ {1;3;6;9} \right\}.\)
\(\left\{ {6;9} \right\}.\)
\(\emptyset .\)
Chọn C
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {6;9} \right\}\)
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình \[2x + y < 1\]?
\[\left( { - 2;1} \right)\].
\[\left( {3; - 7} \right)\].
\[\left( {0;1} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
Chọn C
Thay \(x = - 2;y = 1\) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta được:
\(2 \cdot ( - 2) + 1 < 1 \Leftrightarrow - 3 < 1\) đúng,
Vậy \(( - 2;1)\) là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 1\).
Thay \(x = 3;y = - 7\) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta được:
\(2 \cdot 3 + ( - 7) < 1 \Leftrightarrow - 1 < 1\) đúng,
Vậy \(( - 2;1)\) là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 1\).
Thay \(x = 0;y = 1\) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta được:
\(2.0 + 1 < 1\) sai,
Vậy \(( - 2;1)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 1\).
Thay \(x = 0;y = 0\) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta được:
\(2.0 + 0 < 1\) đúng,
Vậy \(( - 2;1)\) là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 1\).
Cho \(\alpha \) là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
\(\tan \alpha < 0.\)
\(\cot \alpha > 0.\)
\(\sin \alpha < 0.\)
\(\cos \alpha > 0.\)
Chọn A
\(\alpha \) là góc tù nên \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\), do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\).
Cho biết \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }}\)?
\( - \frac{{19}}{{13}}\).
\(\frac{{19}}{{13}}\).
\(\frac{{25}}{{13}}\).
\( - \frac{{25}}{{13}}\)
Chọn B
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}\)
\(E = \frac{{1 + 3{{\tan }^2}\alpha }}{{2 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{1 + 3 \cdot \frac{3}{4}}}{{2 + \frac{5}{4}}} = \frac{{19}}{{13}}\).
Trong các tập hợp sau; tập hợp nào là tập con của tập \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)?
\({A_1} = \left\{ {1;5} \right\}\).
\({A_2} = \left\{ {1;4} \right\}\).
\({A_3} = \left\{ { - 1;2;3} \right\}\).
\({A_4} = \left\{ { - 2;4} \right\}\).
Chọn B
Cho \[A\], \[B\] là hai tập hợp bất kì. Phần gạch sọc trong hình vẽ bên là tập hợp nào sau đây?
\[A\backslash B\].
\[A \cap B\].
\[B\backslash A\].
\[A \cup B\].
Chọn D
Phần gạch sọc lấy tất cả những phần tử thuộc \(A\) và không thuộc \(B\)
Suy ra \(A \cup B\)
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y > 1\\2x + y < 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y \ge 2\\x - y < 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 1\\x + {y^3} < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} > 1\\x + y < 0\end{array} \right.\).
Chọn A
Cho tập hợp \(A = \left( {2; + \infty } \right)\). Khi đó \(C_R^{}A\) là:
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right]\).
\(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Chọn B
Tập hợp \(X = \left\{ {n \in \mathbb{N}/2 < n \le 5} \right\}\) được viết dưới dạng liệt kê là
\(X = \left\{ {3;4;5} \right\}.\)
\(X = \left\{ {2;3;4} \right\}.\)
\(X = \left\{ {3;4} \right\}.\)
\(X = \left\{ {2;3;4;5} \right\}.\)
Chọn A
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\). Tập \[A\backslash B\] được biễu diễn bằng hình nào dưới đây?
Chọn C
\[A\backslash B\] là lấy những phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\).
Cho hai tập hợp\[A = \left\{ { - 1;0;2;3;4} \right\}\] và \[B = \left\{ {1;2;4} \right\}\] . Khi đó tập hợp A\( \cap \)B là
\[A \cap B = \left\{ 1 \right\}.\]
\[A \cap B = \left\{ { - 1;0;3} \right\}.\]
\[A \cap B = \left\{ {2;4} \right\}.\]
\[A \cap B = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\]
Chọn C
\[A \cap B = \left\{ {2;4} \right\}.\]
Một lớp \[10\]C của trường THPT Nguyễn Trãi có \[46\] học sinh, trong đó có \[26\] học sinh thích môn Ngữ Văn, \[16\] học sinh thích môn Toán và \[12\] học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ Văn và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Ngữ Văn và Toán?
\(26\).
\(8\).
\(34\).
\(12\).
Chọn B
Số học sinh thích cả hai môn Ngữ Văn và Toán là
\(26 + 16 - (46 - 16) = 42 - 30 = 12\)
Cho tập hợp \(E = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0} \right\}\). Viết tập hợp 
bằng cách liệt kê phần tử.
\(E = \left\{ { - 5;1;3} \right\}\).
\(E = \left\{ {1;3;5} \right\}\).
\(E = \left\{ { - 3; - 1;5} \right\}\).
\(E = \left\{ { - 5; - 3; - 1} \right\}\).
Chọn B
\(\begin{array}{l}\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\{x^2} - 4x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 \in \mathbb{Z}\\x = 1 \in \mathbb{Z}\\x = 3 \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó \(E = \left\{ {1;3;5} \right\}\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y < 0\\x - y > 1\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(P\left( {5\,\,;\,\,2} \right)\).
\(Q\left( {0\,\,;\,\, - 2} \right)\).
\(M\left( {3\,\,;\,\,4} \right)\).
\(N\left( {3\,\,;\,\,2} \right)\).
Chọn B
Thay \(x = 5;y = 2\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y < 0}\\{x - y > 1}\end{array}} \right.\) ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2.5 + 2 < 0{\rm{ (vl) }}}\\{5 - 2 > 1}\end{array}} \right.\)
Vậy \(P(5;2)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình
Thay \(x = 0;y = - 2\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y < 0}\\{x - y > 1}\end{array}} \right.\) ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{2.0 - 2 < 0}\\{0 - ( - 2) > 1}\end{array}\quad } \right.\)(luôn đúng)
Vậy \(Q(0; - 2)\) thuộc miền nghiệm
Thay \[x = 3;y = 4\] vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y < 0}\\{x - y > 1}\end{array}} \right.\) ta được
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2.3 + 4 < 0}\\{3 - 4 > 1}\end{array}} \right.\quad \](vô lý
Vậy \(M\left( {3\,\,;\,\,4} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình
Thay \[x = 3;y = 2\] vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y < 0}\\{x - y > 1}\end{array}} \right.\) ta được
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2.3 + 2 < 0}\\{3 - 2 > 1}\end{array}} \right.\] (vô lý)
Vậy \(N\left( {3\,\,;\,\,2} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình
Phần không gạch chéo trong hình vẽ dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(3x - 2y \le 6.\)
\(3x + 2y \le 6.\)
\(3x + 2y \ge 6.\)
\(3x - 2y \ge 6.\)
Chọn C
Gọi \(\left( d \right):y = ax + b\) với \(a,b \in \mathbb{R}\).
Ta có đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
\(\left( d \right):3x + 2y = 6\)
Thay tọa độ của \(O\) vào đường thẳng \(\left( d \right)\) ta có \(0 < 6\). Do phần không gạch chéo là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(O\) (kể cả bờ) nên bất phương trình thỏa yêu cầu là \(3x + 2y \ge 6.\)
Cho góc nhọn \(\alpha \) có \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\). Giá trị của \(\cot \alpha \) bằng.
\( - \frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(4\)
\(3\).
Chọn B
Ta có \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 7;b = 9;c = 4.\) Giá trị \(\cos A\)là
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
Chọn B
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{2}{3}\)
Cho tam giác \[ABC\] có cạnh \[BC = 4\,cm\], \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\[4\,cm\].
\[6\,cm\].
\[2\,cm\].
\[8\,cm\].
Chọn A
Theo định lý sin ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}R = \frac{{BC}}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{4}{{2 \cdot \sin 30^\circ }} = \frac{4}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 4\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\\y - x < 3\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\).
\(B\left( { - 2\,\,;\,\,3} \right)\).
\(C\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\).
\(D\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right).\)
Chọn D
Thay tọa độ điểm \(D\) vào hệ bất phương trình, ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 2.0 = - 1 < 0\\ - 1 + 3.0 = - 1 > - 2\\0 - \left( { - 1} \right) = 1 < 3\end{array} \right.\) thỏa hệ bất phương trình.
Hình nào sau đây biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 3\)
Chọn C
Xét \(\left( d \right):x - y = 3\).
\(\left( d \right):y = x - 3\)
Bảng giá trị
Xét \(O(0;0)\) không thuộc (d) ta có
\(0 - 0 < 3\) luôn đúng
Suy ra \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 3\)
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 3\) là nửa mặt phẳng có bờ là \(\left( d \right):y = x - 3\) chứa điểm \(O(0;0)\) và không lấy bờ.
Cho tam giác \(ABC\). Tìm công thức sai.
\[\frac{a}{{\sin A}} = 2R\,.\]
\[\sin A = \frac{a}{{2R}}\,.\]
\[b\sin B = 2R\,.\]
\[\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\,.\]
Chọn C
Ta có: \(\frac{b}{{\sin B}} = 2R\).
Cho \(\Delta ABC\)có \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi S là diện tích tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[S = \frac{1}{2}b.c.\sin A.\]
\[S = 2b.c.\sin A.\]
\[S = \frac{1}{2}b.c.\cos A.\]
\[S = b.c.\sin A.\]
Chọn A
\(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A\)
Trên nửa đường tròn đơn vị; cho điểm \(M\) sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \) (hình vẽ)
Giá trị của \(\cos \alpha \) bằng
\(\cos \alpha = - \sqrt 3 \).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{2}\).
\(\cos \alpha = \sqrt 3 \).
Chọn C
Ta có: \(\cos \alpha = {x_M} = - \frac{1}{2}\)
Cho \(\cos x = \frac{1}{2}\). Tính biểu thức \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x\).
\(\frac{{13}}{4}\).
\(\frac{7}{4}\).
\(\frac{{11}}{4}\).
\(\frac{{15}}{4}\).
Chọn A
\(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\)
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1{\rm{ }} \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}{\rm{ }}\)
\(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = a,AC = b,AB = c\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\sin {\rm{A}}{\rm{.}}\)
\({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc.\cos {\rm{A}}{\rm{.}}\)
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - bc.\cos {\rm{A}}{\rm{.}}\)
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos {\rm{A}}{\rm{.}}\)
Chọn D
Với góc \(\alpha \) bất kì, thỏa mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \), đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \sin \alpha .\)
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha {\rm{ }}\left( {\alpha \ne 90^\circ } \right).\)
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha .\)
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha {\rm{ }}\left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right).\)
Chọn C
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \Rightarrow {\rm{ A }}\)sai
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right) \Rightarrow {\rm{ B}}\) Sai
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \Rightarrow C\) đúng
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0 < \alpha < 180^\circ } \right) \Rightarrow D{\rm{ }}\)Sai
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x + y\) với \((x,y)\) thuộc miền tam giác \(ABC\) kể cả các cạnh của tam giác đó (phần không tô đậm) là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x + y \le 2\\y \ge 0\end{array} \right.\) bằng
\( - 3\).
\(6\).
\(8\).
\(0\).
Chọn B
Miền nghiệm là miền tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1;3} \right)\), \(B\left( { - 1;0} \right)\) và \(C\left( {2;0} \right)\).
Tại \(A\left( { - 1;3} \right)\), \(F = 0\).
Tại \(B\left( { - 1;0} \right)\), \(F = - 3\).
Tại \(C\left( {2;0} \right)\), \(F = 6\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(F = 6\) tại \(C\left( {2;0} \right)\)
Cho tam giác ABC có \(a = 8,b = 10\), góc \(C\) bằng \(60^\circ \). Độ dài cạnh \(c\)là
\(c = 3\sqrt {21} \).
\(c = 7\sqrt 2 \).
\(c = 2\sqrt {11} \).
\(c = 2\sqrt {21} \).
Chọn A
Theo định lý côsin, ta có \(c = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos c = {8^2} + {10^2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ = 84 \Rightarrow c{\rm{ }} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} .\)
Cho tam giác ABC có góc \(\widehat B = 50^\circ \), \(\widehat C = 85^\circ \) và cạnh \(a = \sqrt 2 \). Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
\(2.\)
\(1.\)
\(\sqrt 2 .\)
\(2\sqrt 2 .\)
Chọn B
Ta có: \(\widehat A = 45^\circ \)
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2.\sin 45^\circ }} = 1\)
Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm\), \(AC = 8cm\) và \(BC = 7cm\) . Số đo góc \[A\]bằng
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[120^\circ \].
\[90^\circ \].
Chọn A
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{1}{2}{\rm{ }} \Rightarrow \hat A = 60^\circ \).
Cho \[\alpha \] là góc tù và \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\]. Giá trị của biểu thức \[A = 2\sin \alpha - \cos \alpha \] bằng
\[\frac{{ - 7}}{5}\].
\[\frac{7}{5}\].
\[1\].
\[\frac{{11}}{5}\].
Chọn D
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{3}{5}\\\cos \alpha = - \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
Vì \(\alpha \) là góc tù nên \(\cos \alpha < 0\), do đó \(\cos \alpha = \frac{{ - 3}}{5}\).
\[A = 2\sin \alpha - \cos \alpha = 2.\frac{4}{5} - \left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}\]
Hai trạm quan sát ở thành phố Đà Nẵng và Nha Trang đồng thời nhìn thấy vệ tinh với góc nâng lần lượt là \(75^\circ \) và \(60^\circ \)(Hình 3). Biết khoảng cách giữa hai trạm là \(520km\). Vệ tinh cách trạm quan sát tại thành phố Đà Nẵng gần bằng
\(580{\rm{ (km)}}\).
\(425{\rm{ (km)}}\).
\(466{\rm{ (km)}}\).
\(637{\rm{ (km)}}\).
Chọn D
Cho tam giác \[ABC\] có các góc \(\widehat A = 15^\circ ,\widehat B = 45^\circ \). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\).
\(\sqrt 6 \).
\[1 + \sqrt 3 \].
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Chọn D
Ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{\sin {{120}^ \circ }}}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
