Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2023-2024 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án
24 câu hỏi
Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là M, N cách nhau 400 m và thẳng hàng với điểm A là chân của một tháp hải đăng A Từ M và N người ta nhìn đỉnh B của tháp lần lượt dưới hai góc \(\widehat {AMB} = 30^\circ ,\widehat {ANB} = 45^\circ \) (tham khảo hình vẽ sau). Chiều cao AB của tháp là: (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
\(AB \approx 652m.\)
\(AB \approx 546m\)
Chọn D
Ta có: \(\widehat {MNB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ \).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(MNB\) ta có:
\(\frac{{BM}}{{\sin \widehat {MNB}}} = \frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{\sin 135^\circ }} = \frac{{400}}{{\sin 15^\circ }}\)\( \Leftrightarrow BM = \frac{{400.\sin 135^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 400\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\).
Tam giác \(MAB\) vuông tại \(A\) có cạnh góc vuông \(AB\) đối diện góc \(30^\circ \) nên chiều cao
\(AB = \frac{1}{2}BM\)\( = 200\left( {\sqrt 3 + 1} \right) \approx 546\,m\).
Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \[2x - 5y + 1 \ge 0?\]
\[{M_4}\left( {2;\frac{1}{5}} \right).\]
\[{M_3}\left( {\frac{3}{2};\,1} \right).\]
\[{M_2}\left( {\frac{1}{2};\, - 1} \right).\]
\[{M_1}\left( { - 2; - \frac{4}{5}} \right).\]
Chọn D
+ Với \(x = - 2,y = - \frac{4}{5}\) ta có \[2\left( { - 2} \right) - 5\left( { - \frac{4}{5}} \right) + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\] là mệnh đề đúng \[ \Rightarrow {M_1}\left( { - 2; - \frac{4}{5}} \right)\] thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Cho tam giác \(ABC\)có \(\widehat A = 30^\circ \), cạnh \(BC = 7cm\). Bán kính \(R\)của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)là
\(R = 10\left( {cm} \right)\).
\(R = \frac{2}{5}\left( {cm} \right)\).
\(R = 7\left( {cm} \right)\).
\(R = \frac{5}{2}\left( {cm} \right)\).
Chọn C
+ Áp dụng định lý sin ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin {{30}^0}}} = BC = 7.\)
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{3x - 1}}\]là:
\[\left[ { - 4\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\].
\[\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\].
\[\left[ { - 4\,; + \infty } \right)\].
\[\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\].
Chọn A
+ Ta có hàm số xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 \ge 0}\\{3x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 4}\\{x \ne \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).
Biết \(\tan \alpha = 4\), khi đó giá trị của biểu thức \(A = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + \cos a}}\)bằng
\(\frac{4}{{17}}\).
\(\frac{1}{{17}}\).
\(\frac{2}{{17}}\).
\(\frac{5}{{17}}\).
Chọn D
+ Ta có \(A = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + \cos a}} = \frac{{cosx\left( {2\tan x - 3} \right)}}{{cosx\left( {4\tan x + 1} \right)}} = \frac{{2\tan x - 3}}{{4\tan x + 1}} = \frac{{2.4 - 3}}{{4.4 + 1}} = \frac{5}{{17}}.\)
Cho tập \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 5} \right) = 0} \right.} \right\}.\) Tính tổng \(S\)các phần tử của tập \(X.\)
\(S = - 9.\)
\(S = 24.\)
\(S = \frac{9}{2}.\)
\(S = - 5.\)
Chọn D
+ Ta có \(X = \left\{ {x \in Z\left| {\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 5} \right) = 0} \right.} \right\} = \left\{ { - 6, - 2,1,2} \right\} \Rightarrow S = - 5.\)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 2x + 2 < 0\)là
\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 2x + 2 \ge 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 2x + 2 > 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 2x + 2 \le 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 2x + 2 > 0\).
Chọn A
+ Đặt
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
Chọn B
+ Dùng MTCT
Cho hai tập hợp \[A = \left[ {m - 10;m - 2} \right]\]; \[B = \left( {1;6} \right)\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để \[A \cap B \ne \emptyset \].
\[5\].
\[9\].
\[12\].
\[4\].
Chọn C
Ta thấy \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 \le 1\\m - 10 \ge 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 16\end{array} \right.\)
Suy ra \(A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow 3 < m < 16\). Lại có \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}\)
Vậy có 12 giá trị nguyên của \(m\) để![Cho hai tập hợp A=[m−10;m−2]; B=(1;6). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để A∩B≠∅. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/blobid4-1780929881.png)
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là
\[\left[ { - 1;6} \right] \cap \left( {6;10} \right) = \left\{ 6 \right\}.\]
\[\left[ { - 2;3} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right) = \left[ { - 2; + \infty } \right).\]
\[\left[ { - 1;5} \right]\backslash \left( {0;7} \right) = \left[ { - 1;0} \right].\]
\[\mathbb{R}\backslash \left( { - \infty ;6} \right] = \left( {6; + \infty } \right).\]
Chọn A
+ Vì \[\left[ { - 1;6} \right] \cap \left( {6;10} \right) = \emptyset .\]
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}.\)
\(\cos \alpha = - \frac{2}{3}.\)
Chọn B
+ Từ \({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).
Cho tam giác \[ABC\]có \[a = 8,b = 3,\widehat {C\,} = 120^\circ .\] Khi đó diện tích tam giác \[ABC\] bằng
\[24\,.\]
\[12.\]
\[12\sqrt 3 \].
\[6\sqrt 3 \].
Chọn D
+ Ta có diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}8.3.\sin 120^\circ = 6\sqrt 3 .\)
Phần không bị gạch, kể cả biên trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge - 4\\x - y \ge - 4\\x \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le - 4\\x - y \ge - 4\\x \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge - 4\\x - y \le - 4\\x \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le - 4\\x - y \le - 4\\x \le 6\end{array} \right.\).
Chọn A
+ Vì điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của cả ba bất phương trình trong hệ.
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ { - 2;0;4;9} \right\},B = \left\{ { - 2;4;9;18} \right\}\]. Khi đó tập \[A \cap B\]là tập nào sau đây?
\(\left\{ { - 2;4;9} \right\}\).
\(\left\{ { - 2;4} \right\}\).
\(\left\{ { - 2;0;4;9;18} \right\}\).
\(\left\{ {4;9} \right\}\).
Chọn A
+ Ta có \[A \cap B = \left\{ { - 2;4;9} \right\}.\]
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{9}{{5 - x}} + \frac{1}{{{x^2} + 25}}\]là:
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5;5} \right\}\].
\[\left( { - \infty ;5} \right]\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\].
\[\left( { - \infty ;5} \right)\].
Chọn C
+ Ta có hàm số xác định khi \(5 - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 5.\) Vậy tập xác định của hàm số là : \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\]
Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y \ge - 6\)là miền mặt phẳng không bị gạch bỏ (không kể bờ), hình vẽ nào sau đây đúng ?
Chọn D
+ Ta thấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\)thuộc miền nghiệm của bất phường trình \(3x - 2y \ge - 6\) và đường thẳng \(d:3x - 2y = - 6\)cắt trục \(Oy\) tại \(\left( {0;3} \right).\)
Tam giác \[ABC\]có \[\widehat B = 60^\circ \], \(\widehat C = 45^\circ \),\[AB = 5\]. Tính cạnh \[AC\].
\(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
\(\sqrt 6 \).
\(\frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
Chọn C
+ Áp dụng định lý sin ta có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{5.\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
"∃x∈ℕ, 2x+1=0"
"∃x∈ℕ, x+1=0"
"∃x∈Z, x+1=0"
"∃x∈ℕ, 2x−1=0"
Chọn C
+ Vì với \(x = - 1 \in \mathbb{Z}\) mệnh đề đúng.
Một công ty cần thuê xe để chở \(120\)thùng sơn và \(6,5\) tấn bột bả. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có \(9\)chiếc và loại xe B có \(8\) chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa \(20\) thùng sơn và \(0,5\) tấn bột bả; mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa \(10\) thùng sơn và \(2\) tấn bột bả. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là thấp nhất?
2 xe loại A và 6 xe loại
5 xe loại A và 2 xe loại B.
4 xe loại A và 3 xe loại B.
3 xe loại A và 5 xe loại B.
Chọn B
Gọi \(x\)(xe), \(y\)(xe) lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê. Số tiền cần bỏ ra để thuê xe là: \(f\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng)
Ta có \(x\) xe loại A và \(y\) xe loại B sẽ chở được \(20x + 10y\) thùng sơn và \(0,5x + 2y\) tấn bột bả.
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\20x + 10y \ge 120\\0,5x + 2y \ge 6,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác \(ABCD\)(kể cả biên) với \(A\left( {5;2} \right),B\left( {9;1} \right)\), \(C\left( {9;8} \right)\), \(D\left( {2;8} \right)\) như hình vẽ
Ta có: \(f\left( {5;2} \right) = 26\); \(f\left( {9;1} \right) = 39\); \(f\left( {9;8} \right) = 60\); \(f\left( {2;8} \right) = 32\)
Suy ra \(f\left( {x;y} \right)\) nhỏ nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)\)
Vậy để chi phí thuê là thấp nhất thì cần thuê \(5\) xe loại A và \(2\) xe loại B.
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{9}{{\sqrt {x + 4} }} + \frac{{\sqrt {7 - 2x} }}{{{x^2} - 6x + 5}}\]là:
\[D = \left[ { - 4;\frac{7}{2}} \right)\].
\[D = \left( { - 4;\frac{7}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[D = \left[ { - 4;\frac{7}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;5;\frac{7}{2}} \right\}\].
Chọn B
+ Ta có hàm số xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 > 0}\\{7 - 2x \ge 0}\\{{x^2} - 6x + 5 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 4}\\{x \le \frac{7}{2}}\\{x \ne 1,x \ne 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 4;\frac{7}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
(a) Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}| - 5 \le x \le 3} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0} \right\}\).
Hãy liệt kê các phần tử của tập \(A\) và tập \(B\).
(b) Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;3} \right]\) và \(B = \left( { - 5;9} \right)\). Tìm \(A \cap B\) và \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\).
Ta có: \( - 5 \le x \le 3\) mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(A = \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Ta có: \(\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} = 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow B = \left\{ { - 1;0;2} \right\}\).
Ta có: \(A \cap B = \left( { - 5;3} \right] \Rightarrow \) \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( { - 5;3} \right] = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
(a) \(y = \sqrt {5 - 2x} + \sqrt {1 + 3x} \).
(b) \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{{x^2} + 3x - 10}}\).
a) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\1 + 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{5}{2}\\x \ge - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định \(D = \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right]\).
b) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{x^2} + 3x - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \ne - 5\\x \ne 2\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).
1) Biết \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\left( {{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(P = \sqrt 5 \sin \alpha + \cos \alpha \).
2) (a) Cho tam giác ABC, biết \(AB = 4cm,\,AC = 9cm\) và \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Tính độ dài cạnh BC.
(b) Cho tam giác ABC, biết \(\widehat {BAC} = {45^0},\,\widehat {ABC} = {30^0}\) và tam giác ABC có bán kính đường
tròn ngoại tiếp \(R = 4\). Tính diện tích tam giác ABC.
1) Từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) vì \({90^0} < \alpha < {180^0}\).
Khi đó: \(P = \sqrt 5 \sin \alpha + \cos \alpha \, = \sqrt 5 .\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) + \left( { - \frac{2}{3}} \right) = 1\)
2) a) dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\, = {4^2} + {9^2} - 2.4.9.\cos {60^0} = 61\). Vậy \(BC = \sqrt {61} \).
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A = 2.4.\sin {45^0} = 4\sqrt 2 \).
\(\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R\sin B = 2.4.\sin {30^0} = 4\). \(\widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{45}^0}} \right) = {105^0}\).
Khi đó: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.4.4\sqrt 2 .\sin {105^0} = 4 + 4\sqrt 3 \).
Cho tam giác ABC có ba cạnh \(AB = c,\,BC = a,\,CA = b\) thỏa mãn \({a^3} = {b^3} + {c^3}\). Chứng minh rằng góc \(\widehat {BAC}\) nhọn và \(\widehat {BAC} > {60^0}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,b,c > 0\\{a^3} = {b^3} + {c^3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < b < a\\0 < c < a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{b}{a} < 1\\0 < \frac{c}{a} < 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}\\{\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{a^3}}} < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}\)
\( \Rightarrow 1 < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0\)
Suy ra góc \(\widehat {BAC}\) nhọn.
\({a^3} = {b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) > a\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\) \( \Rightarrow {a^2} > {b^2} - bc + {c^2} \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < \frac{1}{2} \Rightarrow \cos A < \cos {60^0}\)
Vậy \(\widehat {BAC} > {60^0}\).
