Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2023-2024 THPT Việt Nam-Ba Lan (Hà Nội) có đáp án
50 câu hỏi
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
Bạn học lớp nào?
Hôm nay trời đẹp quá!
\[x + 1 = 3\].
Việt Nam là một quốc gia thuộc châu Âu.
Chọn D
Đáp án A, B không phải câu khẳng định; đáp án C là mệnh đề chứa biến
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Phương trình \[{x^2} - x + 1 = 0\] có nghiệm.
Tam giác vuông có độ dài các đường trung tuyến bằng nhau.
Phương trình \[{x^2} - 6x + 7 = 0\] có hai nghiệm phân biệt.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi.
Chọn C
\[\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0 \Rightarrow \] Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} + 1 \ge 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 1 \ge 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} + 1 \ge 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 1 \ge 0\).
Chọn D
Với \(x = 0 \Rightarrow {x^2} - 1 = - 1 < 0 \Rightarrow \)Mệnh đề sai
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 \ge 0\) là
\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 \le 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 < 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 < 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 \le 0\).
Chọn C
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in D,\,P\left( x \right)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in D,\,\overline {P\left( x \right)} \)”
=> Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 \ge 0\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - 3x + 1 < 0\)”
Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông” là
Nếu tứ giác \(ABCD\) có ba góc vuông thì nó là hình chữ nhật.
Nếu tứ giác \(ABCD\) không là hình chữ nhật thì nó không có ba góc vuông.
Nếu tứ giác \(ABCD\) không có ba góc vuông thì nó không là hình chữ nhật.
Nếu tứ giác \(ABCD\) có ba góc vuông thì nó không là hình chữ nhật.
Chọn A
“\(Q \Rightarrow P\)” là mệnh đề đảo của “\(P \Rightarrow Q\)
=> Phủ định của mệnh đề “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông” là “Nếu tứ giác \(ABCD\) có ba góc vuông thì nó là hình chữ nhật.”
Cho các mệnh đề \(P,Q\). Biết mệnh đề \(P\) sai, \(Q\) đúng. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
\(P \Rightarrow Q\).
\(Q \Rightarrow P\).
\(\bar P \Rightarrow Q\).
\(P \Rightarrow \bar Q\).
Chọn B
Mệnh đề “\(Q \Rightarrow P\)” chỉ sai khi \(Q\) đúng, \(P\) sai
Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3} \right\}\). Số tập con chứa hai phần tử của \(X\) là
8.
2.
3.
4.
Chọn C
Các tập con chứa hai phần tử của \(X\): \[\left\{ {1;2} \right\},\,\left\{ {1;3} \right\},\,\left\{ {2;3} \right\}\]
Cho tập hợp \[P\] gồm các số tự nhiên là bội của \(6\) và \(4\). Tập hợp nào sau đây bằng \(P\)?
\[A = \left\{ {24k,{\rm{ }}k \in \mathbb{N}} \right\}\].
\[B = \left\{ {12k,{\rm{ }}k \in \mathbb{N}} \right\}\].
\[C = \left\{ {10k,{\rm{ }}k \in \mathbb{N}} \right\}\].
\[D = \left\{ {2k,{\rm{ }}k \in \mathbb{N}} \right\}\].
Chọn B
Ta có \(BCNN\left( {6;4} \right) = 12\,\, \Rightarrow BC\left( {6;4} \right) = B\left( {12} \right) = \left\{ {12k,\,\,\,k \in \mathbb{N}} \right\}\)
Cho các tập hợp \(X = \left\{ {2;3;5} \right\}\)và \(Y = \left\{ {3;6;8} \right\}\). Tập hợp \(X \cup Y\)bằng
\(\left\{ 3 \right\}\).
\(\left\{ {2;3;5;6;8} \right\}\).
\(\left\{ {2;5} \right\}\).
\(\left\{ {2;3;6;8} \right\}\).
Chọn B
\(x \in X \cup Y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \in X\\x \in Y\end{array} \right.\, \Rightarrow \,X \cup Y = \left\{ {2;3;5;6;8} \right\}\)
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| x \right| \le 7} \right\}\) và \(B = \left\{ {y \in \mathbb{Z}|{\rm{ }}{y^2} > 30} \right\}\). Gọi \(X = A \cap B\), số phần tử của \(X\)bằng
0.
2.
4.
6.
Chọn C
\(\begin{array}{l}A:\,\,\,\,\left| x \right| \le 7 \Leftrightarrow - 7 \le x \le 7\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\,\,;\,\,\,\,\,B:\,\,\,\,{y^2} > 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y > \sqrt {30} \\y < - \sqrt {30} \end{array} \right.\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow A \cap B = \left\{ { - 7; - 6;6;7} \right\}\end{array}\)
Lớp 10A có 45 bạn học sinh trong đó có 25 bạn tham gia câu lạc bộ bóng đá, 28 bạn tham gia câu lạc bộ bóng rổ, 20 bạn tham gia câu lạc bộ cầu lông, 7 bạn tham gia cả ba câu lạc bộ và 3 bạn không tham gia câu lạc bộ nào. Số bạn chỉ tham gia một câu lạc bộ là
18.
16.
17.
19.
Chọn A
Số bạn tham gia CLB: \(45 - 3 = 42\) bạn
Từ hình vẽ ta thấy
\(A + B + C + D + E + F + 7 = 42\)
Có \(A + B + C + 2\left( {D + E + F} \right) + 3.7 = 25 + 28 + 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42 + D + E + F + 2.7 = 73 \Leftrightarrow D + E + F = 17\\ \Leftrightarrow A + B + C = 42 - \left( {D + E + F} \right) - 7 = 18\end{array}\)
Cho tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 \le x < 8} \right\}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[M = \left[ { - 4;8} \right)\].
\[M = \left( { - 4;8} \right]\].
\(M = \left( { - 4;8} \right)\).
\(M = \left[ { - 4;8} \right]\).
Chọn A
\(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 \le x < 8} \right\}\) => \[M = \left[ { - 4;8} \right)\]
Cho tập hợp: \(A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right|x - 5 < 4 - 2x} \right\}\). Hãy viết lại tập hợp \(A\) dưới dạng kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
\(A = \left( {3; + \infty } \right)\).
\(A = \left( { - \infty ;3} \right]\).
\(A = \left[ { - \infty ;3} \right)\).
\(A = \left( { - \infty ;3} \right)\).
Chọn D
\(x - 5 < 4 - 2x \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3 \Rightarrow A = ( - \infty ;3)\)
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 5;3} \right),B = \left( {1; + \infty } \right)\). Khi đó \(A \cap B\) là tập nào sau đây?
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( {1;3} \right]\).
\(\left[ { - 5; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 5;1} \right]\).
Chọn A
\(A \cap B\):
Cho các số thực a, b, c, d và \(a < b < c < d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {a;c} \right) \cap \left( {b;d} \right) = \left( {a;d} \right)\).
\(\left( {a;c} \right) \cap \left( {b;d} \right) = \left( {b;c} \right]\).
\(\left( {a;c} \right) \cap \left[ {b;d} \right) = \left[ {b;c} \right)\).
\(\left( {a;c} \right) \cup \left[ {b;d} \right) = \left( {b;c} \right)\).
Chọn C
\(\left( {a;c} \right) \cap \left[ {b;d} \right) = \left[ {b;c} \right)\)
Cho \(A = \left\{ {x \in R|x + 2 \ge 0} \right\},B = \left\{ {x \in R|5 - x \ge 0} \right\}\). Khi đó \(A\backslash B\) là
\(\left[ { - 2;5} \right]\).
\(\left[ { - 2;6} \right]\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Chọn C
\(x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \notin B\end{array} \right. \Rightarrow A\backslash B = \left( {5; + \infty } \right)\)
Gọi \(A\) là tập hợp các ước số tự nhiên của \(17682\), \(B\) là tập hợp tất cả các ước số tự nhiên của \(17703\). Số phần tử của tập hợp \(A \cap B\) là
\(4\).
\(12\).
\(8\).
\(6\).
Chọn A
ƯCLN(17682,17703) = 21 \( \Rightarrow A \cap B = \)Ư(21) \( = \left\{ {1;3;7;21} \right\}\)
Cho các tập hợp \(A = \left[ {m - 1;m + 3} \right],B\left[ { - 3;2} \right]\). Tìm điều kiện của m để \(A \subset B\).
\(m \le - 2\) hoặc \(m \ge 1\).
\( - 1 \le m \le 0\).
\( - 2 \le m \le - 1\).
\(m \le - 1\) hoặc \(m \ge 2\).
Chọn C
Để \[A \subset B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 3\\m + 3 \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le - 1\]
Cho tập hợp \(A = \left( {0; + \infty } \right)\) và \[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left( {m + 1} \right){x^2} - 6x + 8 - 2m = 0} \right\}\]. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để B có đúng hai tập con và \(B \subset A\).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn D
Để B có đúng hai tập con và \(B \subset A \Leftrightarrow \)Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 6x + 8 - 2m = 0\)có một nghiệm kép duy nhất dương
Xét \(m = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}\,\,\left( {TM} \right)\)
Xét \(m \ne - 1 \Rightarrow \Delta = 36 - 4\left( {m + 1} \right)\left( {8 - 2m} \right) = 8{m^2} - 24m + 4\)
\[\Delta = 0 \Leftrightarrow 8{m^2} - 24m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2} \Rightarrow x > 0\,\left( {TM} \right)\\m = \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2} \Rightarrow x > 0\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]
Cho các tập hợp \(A = \left( {\frac{{m - 1}}{2};m + 5} \right],{\rm{ }}B = \left( { - \infty ; - 3 - m} \right] \cup \left( {4 - m; + \infty } \right)\) khác tập rỗng. Tổng các giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để \(A\backslash B = \emptyset \) là
\(7\).
\(3\).
\( - 3\).
\( - 7\).
Chọn B
\(A \ne \emptyset \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{2} < m + 5 \Leftrightarrow m > - 11\).
\(A\backslash B = \emptyset \Rightarrow A \subset B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 \le - 3 - m\\\frac{{m - 1}}{2} \ge 4 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 4\\m \ge 3\end{array} \right.\).
\(m\)là số nguyên thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 10; - 9;...; - 4;3;4;...;10} \right\}\).
Tổng các giá trị nguyên của \(m\)là \(3\).
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\( - 2x + 3xy \le 1\).
\(4x - 5y > 3\).
\({x^2} - 2x - 3 \le 0\).
\(3x - \frac{2}{y} \ge y\).
Chọn B
Đáp án A, C bậc 2, đáp án D có phân thức
Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 4y \le 12\)?
\(M\left( {3;4} \right)\).
\(N\left( {4;2} \right)\).
\(P\left( {6; - 1} \right)\).
\(Q\left( { - 3;5} \right)\).
Chọn D
Thay từng đáp án vào bất phương trình
Trong các cặp số sau đây, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình \[2x + y < 1\]?
\[\left( { - 2;1} \right)\].
\[\left( {3; - 7} \right)\].
\[\left( {0;1} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
Chọn C
Thay từng đáp án vào bất phương trình
Hình vẽ sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào (phần không bị gạch)?
\[2x - y + 1 \le 0\].
\[x - y + 1 \le 0\].
\[2x - y + 1 \ge 0\].
\[x - y + 1 \ge 0\].
Chọn A
Đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { - 0,5;0} \right)\,\,\)và\(\,\,B\left( {0;1} \right)\)
Phương trình đường thẳng (d) có dạng \(y = ax + b\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a\left( { - 0,5} \right) + b\\1 = a.0 + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( d \right):\,\,\,\,y = 2x + 1 \Rightarrow 2x - y + 1 = 0\) => Loại đáp án B và D
Vì \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình => chọn A
Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \le 0}\\{2x - 3y + 2 > 0}\end{array}} \right.\] ?
\[\left( {2;1} \right)\].
\[\left( {1;1} \right)\].
\[\left( { - 1;0} \right)\].
\[\left( { - 1;4} \right)\].
Chọn B
Thay từng đáp án vào hệ bất phương trình
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\] không chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( { - 1;0} \right).\)
\(B\left( {1;0} \right)\).
\(C\left( { - 3;4} \right)\).
\(D\left( {0;3} \right)\).
Chọn B
Thay từng đáp án vào hệ bất phương trình
Phần không bị gạch chéo ở hình sau đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào ?
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \ge - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2y \ge - 6\end{array} \right.\).
Chọn A
Miền nghiệm được giới hạn bới đường thẳng đi qua 2 điểm\(A\left( {2;0} \right)\,\), \(B\left( {0;3} \right)\,\)và trục hoành
Từ đồ thị ta có \(y \ge 0\) => Loại đáp án C và D
Phương trình đường thẳng (d) có dạng \(y = ax + b\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.2 + b\\3 = a.0 + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{2}\\b = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( d \right):\,\,\,\,y = \frac{{ - 3}}{2}x + 3 \Rightarrow 3x + 2y = 6\) => Loại đáp án B => chọn A
Miền tam giác \[ABC\] kể cả ba cạnh \(AB,\,BC,\,CA\)trong hình là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\x - y + 2 \ge 0\\x - 2y + 2 \le 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \ge 0\\x - y + 2 \ge 0\\x - 2y + 2 \le 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\x - y + 2 \le 0\\x - 2y + 2 \le 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\x - y + 2 \ge 0\\x - 2y + 2 \ge 0\end{array} \right.\].
Chọn A
Lập phương trình các đường thẳng giới hạn miền nghiệm: \(\begin{array}{l}AB:\,\,x + y - 2 = 0\\AC:\,x - y + 2 = 0\\BC:\,\,x - 2y + 2 = 0\end{array}\)
Xét điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có
O cùng phía với miền nghiệm của bất phương trình có bờ là AB => \(x + y - 2 \le 0\)
O cùng phía với miền nghiệm của bất phương trình có bờ là AC => \(x - y + 2 \ge 0\)
O khác phía với miền nghiệm của bất phương trình có bờ là BC => \(x - 2y + 2 \le 0\)
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y \ge 0\\2x + y \le 4\\x - y \le - 1\end{array} \right.\)?
\(10\).
\(16\).
\(8\).
\(12\).
Chọn D
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình như hình vẽ bên
Số các điểm trong hình là số cặp số nguyên x, y thoả mãn hệ phương trình.
Một người thợ mộc làm một số bàn và ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng và mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm tối đa 45 giờ và tốn 6 giờ để làm một cái bàn, 3 giờ để làm một cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ làm số ghế ít nhất gấp ba lần số bàn để trang trí nột thất. Số tiền lãi người thợ mộc thu được nhiều nhất là
900 (nghìn đồng).
750 (nghìn đồng).
1 (triệu đồng).
800 (nghìn đồng).
Chọn A
Gọi \(x,y\) lần lượt là số bàn và số ghế người thợ mộc làm ra được.
Từ giả thiết của bài toán ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\y \ge 3x\\6x + 3y \le 45\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {3;9} \right),B\left( {0;15} \right)\)(phần màu trắng).
Số tiền lãi người thợ mộc thu được nhiều nhất là 900 (nghìn đồng) khi làm ra 3 cái bàn và 9 cái ghế.
Chọn đáp án A.
Cho góc \(\alpha \) tù. Khẳng định nào sau đây sai?
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Chọn A
\(0 < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \sin \alpha > 0\).
Cho \(\sin x = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x\).
\(\frac{{13}}{4}\).
\(\frac{7}{4}\).
\(\frac{{11}}{4}\).
\(\frac{{15}}{4}\).
Chọn D
\(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 4 - {\sin ^2}x = \frac{{15}}{4}\)
Đơn giản biểu thức \(G = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right){\cot ^2}x + 1 - {\cot ^2}x\), ta được kết quả là
\(\cos x\).
\(\frac{1}{{\cos x}}\).
\({\sin ^2}x\).
\({\cos ^2}x\).
Chọn C
\[\begin{array}{l}G = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right){\cot ^2}x + 1 - {\cot ^2}x = {\cot ^2} - {\sin ^2}x.{\cot ^2}x + 1 - {\cot ^2}x\\ = - {\sin ^2}x\frac{{co{s^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1 = 1 - co{s^2}x = {\sin ^2}x\end{array}\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\cos ^4}x - {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\).
\(P = 0\).
\(P = 1\).
\(P = - 1\).
\(P = 2\).
Chọn B
\(P = {\cos ^4}x - {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = co{s^4}x - 2co{s^2}x + 1 = {\left( {co{s^2}x - 1} \right)^2}\)
Có \(0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le co{s^2}x - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le {\left( {co{s^2}x - 1} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le P \le 1\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Tính \(\cot \alpha \).
\(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
\( - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
\(2\sqrt 2 \).
\( - 2\sqrt 2 \).
Chọn D
Có \(\sin \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{9} \Rightarrow co{s^2}\alpha = \frac{8}{9} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}cos\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos\alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\)
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow cos\alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \cot \alpha = - 2\sqrt 2 \).
Cho \(\tan \alpha = - 2\). Tính \(P = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}\).
\[P = \frac{3}{5}\].
\[P = \frac{5}{3}\]
\[P = - \frac{3}{5}\]
\[P = \frac{{ - 3}}{{3\sqrt 2 }}\]
Chọn A
\(P = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }} = \frac{{\tan \alpha \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} - \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = \frac{{\left( {\tan \alpha - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}} = \frac{3}{5}\)
Giá trị của \(M = {\cos ^2}0^\circ + {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + .... + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \) là
\[45.\]
\[91.\]
\[89.\]
\[90.\]
Chọn B
\[\begin{array}{l}A = {\cos ^2}0^\circ + {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + ... + {\cos ^2}90^\circ \\ \Leftrightarrow A = \left( {{{\cos }^2}0^\circ + {{\cos }^2}90^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + {\cos ^2}45^\circ \\ \Leftrightarrow A = 1 + 1 + ... + 1 + \frac{1}{2} = \frac{{91}}{2}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}B = {\cos ^2}91^\circ + {\cos ^2}92^\circ + {\cos ^2}93^\circ + ... + {\cos ^2}180^\circ \\ \Leftrightarrow B = \left( {{{\cos }^2}91^\circ + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}92^\circ + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}134^\circ + {{\cos }^2}136^\circ } \right)\\ + {\cos ^2}135^\circ + {\cos ^2}180^\circ \\ \Leftrightarrow B = 1 + 1 + ... + 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{{91}}{2}\end{array}\]
Vậy \[M = A + B = 91\].
Cho hình bên. Giá trị \(\cot \alpha \) bằng
\[\frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{3}{2}.\]
\[\frac{2}{3}.\]
\[ - \frac{2}{3}.\]
Chọn D
\(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{2} = - \tan \left( {180^\circ - \widehat {ABC}} \right) = - \tan \alpha \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{ - 2}}{3}\)
Biết \((1 + \tan x + \frac{1}{{\cos x}})(1 + \tan x - \frac{1}{{\cos x}}) + 2 = 2({\tan ^n}x + {\cot ^m}x)\,\,\,\)với điều kiện biểu thức có nghĩa. Khi đó \(2m - n\)có giá trị bằng
\(1\).
\(2\).
\( - 3\).
\( - 1\).
Chọn D
\(\begin{array}{l}(1 + \tan x + \frac{1}{{\cos x}})(1 + \tan x - \frac{1}{{\cos x}}) + 2 = 2({\tan ^n}x + {\cot ^m}x)\,\,\,\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + \tan x} \right)^2} - \frac{1}{{co{s^2}x}} + 2 = 2({\tan ^n}x + {\cot ^m}x)\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + 2\tan x + {\tan ^2}x - 1 - {\tan ^2}x + 2 = 2({\tan ^n}x + {\cot ^m}x)\,\,\\ \Leftrightarrow 2(\tan x + 1) = 2({\tan ^n}x + {\cot ^m}x)\,\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2m - n = - 1\end{array}\)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
\(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ \).
\(\cos 45^\circ = \sin 135^\circ \).
\(\cos 60^\circ = - \cos 120^\circ \).
\(\sin 30^\circ = \cos 120^\circ \).
Chọn D
\(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ \ne \cos 120^\circ \)
Cho tam giác \[ABC\] nhọn có \[BC = 3a\] và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là \[R = a\sqrt 3 \]. Tính số đo góc \[A\].
\(A = 75^\circ \).
\(A = 45^\circ \).
\(A = 30^\circ \).
\(A = 60^\circ \).
Chọn D
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow \sin A = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow A = {60^o}\)
Cho tam giác \(ABC\)có ba đường trung tuyến \({m_a},{m_b},{m_c}\)thỏa mãn \(m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2\). Khi đó tam giác \(ABC\)là tam giác gì?
Tam giác cân.
Tam giác đều.
Tam giác vuông.
Tam giác vuông cân.
Chọn C
\(\begin{array}{l}m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} + \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} = 5\frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4{c^2} = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 5{c^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2}\end{array}\)
Vậy tam giác ABC vuông tại C
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 120^\circ \), cạnh \(AC = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\). Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
\(R = 2\;{\rm{cm}}\).
\(R = 4\;{\rm{cm}}\).
\(R = 1\;{\rm{cm}}\).
\(R = 3\;{\rm{cm}}\).
Chọn A
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Leftrightarrow R = 2\)
Cho tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
\(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\).
\(S = \frac{1}{2}a.c.\sin B\).
\(S = \frac{{abc}}{R}\).
\(S = p.r\).
Chọn C
\({S_{ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}\)
Một tam giác có ba cạnh là \(52\), \(56\), \(60\). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng
\(\frac{{65}}{4}\).
\(16\).
\(32\).
\(15,8\).
Chọn B
\(p = \frac{{52 + 56 + 60}}{2} = 84 \Rightarrow S = \sqrt {84\left( {84 - 52} \right)\left( {84 - 56} \right)\left( {84 - 60} \right)} = 1344 \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 16\)
Gọi \(M = m_a^2 + m_b^2 + m_c^2\) là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác \(ABC\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
\(M = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
\(M = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
\(M = \frac{3}{2}({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
\(M = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
Chọn A
\(M = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} + \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} + \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4} = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})\)
Tam giác \(ABC\) có \(AB = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2},\;BC = \sqrt 3 ,\;CA = \sqrt 2 \). Gọi \(D\) là giao điểm của đường phân giác trong góc \(A\) với cạnh \(BC\). Khi đó số đo góc \(\widehat {ADB}\) bằng
\({45^\circ }.\)
\({60^\circ }.\)
\({75^\circ }.\)
\({90^\circ }.\)
Chọn C
\[\begin{array}{l}\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} \Rightarrow B = 45^\circ \,\,\\\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \Rightarrow A = 120^\circ \Rightarrow {A_1} = 60^\circ \\ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \end{array}\]
Cho 20 đường tròn giống hệt nhau được đặt tiếp xúc nhau như hình bên.
Các điểm A, B và C là tâm của các đường tròn. Giá trị \(\frac{{{\rm{sin}}\widehat {ABC}}}{{{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}\) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{4}\)
\(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\)
Chọn D
Gọi bán kính đường tròn là r
\(BC = 8r\); \(AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {6r} \right)}^2} + {{\left( {6r} \right)}^2}} = 6r\sqrt 2 \)
Định lý sin: \(\frac{{{\rm{sin}}\widehat {ABC}}}{{{\rm{sin}}\widehat {BAC}}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{6r\sqrt 2 }}{{8r}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\)
Thiết kế mặt cắt của lề đường cho đường dành cho xe buýt không người lái được thể hiện trong hình dưới đây. Mảnh kim loại \(CD\) được đặt vào bê tông và được sử dụng để điều khiển hướng và tốc độ của xe buýt. Tính độ dài \(CD\).
\(CD \approx 85mm\).
\(CD \approx 80mm\).
\(CD \approx 79mm\).
\(CD \approx 87mm\).
Chọn A
\(\widehat {ADB} = 30^\circ \)(so le trong) \( \Rightarrow \widehat {BAD} = 40^\circ \)
Định lý sin: \(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD \approx 257,12\)
\(\widehat {ACB} = 38^\circ \)(so le trong) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 32^\circ \)
Định lý sin: \[\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Rightarrow BC \approx 172,12\]
\( \Rightarrow CD = BD - BC \approx 85mm\)
Cho hình vẽ bên với \(M\)là điểm bên trong tam giác sao cho \(\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA} = 120^\circ \).
Đặt \(MA = x;MB = y;MC = z\). Biết rằng các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 5\\{y^2} + {z^2} + yz = 6\\{x^2} + {z^2} + xz = 7\end{array} \right.\). Tính giá trị của biểu thức \(S = xy + yz + xz\).
\(\frac{{4\sqrt {26} }}{3}\).
\(\frac{{18\sqrt 7 }}{3}\).
\(18\sqrt 7 \)
\(\frac{{2\sqrt {78} }}{3}\)
Chọn D
\(AB = \sqrt 5 ;BC = \sqrt 6 ;CA = \sqrt 7 \)\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\].
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sin 120^\circ (xy + yz + xz) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}S \Rightarrow S = \frac{{2\sqrt {78} }}{3}\).
