Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THPT Việt Nam Ba Lan (Hà Nội) có đáp án - Mã 158
22 câu hỏi
Cho \(A,B\) là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?
\(A \cup B\).
\(B\backslash A\).
\(A\backslash B\).
\(A \cap B\).
Dựa vào hình vẽ minh họa (biểu đồ Venn), phần không bị gạch chính là phần thuộc tập hợp \(B\) nhưng không thuộc tập hợp \(A\), tức là tập hợp \(B\backslash A\).
Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,BC = 5,CA = 6\). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:
\(\sqrt {48} \).
\(6\).
\(8\).
\(\sqrt {56} \).
Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác \(ABC\).
Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là:
\(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{3 + 5 + 6}}{2} = 7\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} = \sqrt {7 \cdot \left( {7 - 3} \right) \cdot \left( {7 - 5} \right) \cdot \left( {7 - 6} \right)} \)
\(S = \sqrt {7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt {56} \)
Chọn D.
Hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z < 10}\\{x + y < 5}\\{2x + 3y \ge 20}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 20y > 7}\\{x + {y^2} \le 100}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \sqrt y > 3}\\{{x^2} - y \ge - 2}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 5}\\{y + 2 < 0}\\{x + y \ge 100}\end{array}} \right.\).
Hệ A chứa 3 ẩn (\(x,y,z\)) nên không phải hệ bất phương trình hai ẩn.
Hệ B chứa bậc hai (\({x^2},{y^2}\)) nên không phải hệ bất phương trình bậc nhất.
Hệ C chứa căn thức (\(\sqrt y \)) và bậc hai (\({x^2}\)) nên không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ D gồm các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn \(x\) và \(y\).
Chọn D.
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right){\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x + 1 - {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x\) ta được:
\(M = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\).
\(M = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).
\(M = {\rm{cos}}x\).
\(M = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\).
Ta có công thức lượng giác cơ bản: \(1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\) và \({\rm{cot}}x = \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}}\).
Biến đổi biểu thức \(M\):
\(M = \left( {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right){\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x + 1 - {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x\)
\(M = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cdot {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x + 1 - {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x\)
\(M = {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1} \right) + 1\)
Vì \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\), thay vào ta được:
\(M = {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x \cdot \left( { - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + 1\)
\(M = - \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} \cdot {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 1\)
\(M = - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 1 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)
Chọn A.
Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, người ta đã sử dụng giác kế. Chọn một vị trí \(C\) cùng nằm trên bờ sông với điểm \(A\), cách \(A\) một khoảng bằng \(50{\rm{m}}\) và đo được các góc \(\widehat {BAC} = {70^ \circ }\), \(\widehat {BCA} = {50^ \circ }\) (như hình vẽ). Khoảng cách \(AB\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(44{\rm{m}}\).
\(43{\rm{m}}\).
\(45{\rm{m}}\).
\(42{\rm{m}}\).
Xét tam giác \(ABC\), ta có tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^ \circ }\):
\(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {BCA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{70}^ \circ } + {{50}^ \circ }} \right) = {60^ \circ }\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\widehat {ABC}}}\)
\( \Rightarrow AB = \frac{{AC \cdot {\rm{sin}}\widehat {BCA}}}{{{\rm{sin}}\widehat {ABC}}} = \frac{{50 \cdot {\rm{sin}}{{50}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}}\)
\(AB \approx \frac{{50 \cdot 0,7660}}{{0,8660}} \approx 44,23{\rm{m}}\)
Giá trị này gần nhất với \(44{\rm{m}}\).
Chọn A.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y > 0}\\{x - 3y + 3 < 0}\\{x + y - 5 > 0}\end{array}} \right.\)?
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {1; - 1} \right)\).
\(\left( {5;3} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình để kiểm tra:
Với \(A\left( { - 2;2} \right)\): \( - 2 - 2 = - 4 < 0\) (Sai bất phương trình thứ nhất).
Với \(B\left( {1; - 1} \right)\): \(1 - \left( { - 1} \right) = 2 > 0\) (Đúng), \(1 - 3\left( { - 1} \right) + 3 = 7 > 0\) (Sai bất phương trình thứ hai).
Với \(C\left( {5;3} \right)\):
Chọn C.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;4;5} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3} \right\}\). Có tất cả bao nhiêu tập \(X\) thỏa mãn: \(X \subset A\) và \(X \subset B\)?
\(2\).
\(8\).
\(6\).
\(4\).
Vì \(X \subset A\) và \(X \subset B\) nên \(X \subset \left( {A \cap B} \right)\).
Ta tìm tập hợp giao \(A \cap B\):
\(A \cap B = \left\{ {1;2} \right\}\)
Các tập con của tập hợp \(\left\{ {1;2} \right\}\) là: \(\emptyset ,\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1;2} \right\}\).
Vậy có tất cả \(4\) tập hợp \(X\) thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề?
Các em hãy cố gắng học tập!
Một tam giác cân thì mỗi góc đều bằng \({60^ \circ }\) phải không?
Đề thi hôm nay khó quá!
\(3\) là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất.
Các câu A, C là câu cảm thán, câu B là câu hỏi nên không phải là mệnh đề.
Chọn D.
Cho góc \(\alpha \,\left( {{0^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)\) thỏa mãn \({\rm{cot}}\alpha = - \frac{1}{2}\). Giá trị \({\rm{cos}}\alpha \) bằng:
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\( \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Vì \({\rm{cot}}\alpha = - \frac{1}{2} < 0\) và \({0^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) nên \(\alpha \) là góc tù (\({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\)), suy ra \({\rm{cos}}\alpha < 0\).
Ta có công thức:
\(1 + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{5}\)
Lại có:
\({\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha \cdot {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)
Vì \({\rm{cos}}\alpha < 0\) nên:
\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Chọn B.
Cho mệnh đề . Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là:
P¯:" ∀x∉ℝ| x2−x + 2 > 0".
P¯:" ∃ x∈ℝ| x2−x + 2 ≥ 0".
P¯:" ∀ x∈ℝ,x2−x + 2 ≥ 0".
P¯:" ∃ x∈ℝ,x2−x + 2 > 0".
Chọn B.
Cho các tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\); \(B = \left\{ {0;1;2} \right\}\); \(C = \left\{ { - 3;0;1;2} \right\}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(A \cap B = \left\{ {0;1;3} \right\}\).
\(A \cap C = \left\{ {0;1;2; - 3} \right\}\).
\(A\backslash C = \left\{ {3;4} \right\}\).
\(A \cup B = \left\{ {0;1;2;4} \right\}\).
Xét từng khẳng định:
\(A \cap B = \left\{ {0;1;2} \right\}\) (A sai).
\(A \cap C = \left\{ {0;1;2} \right\}\) (B sai).
\(A\backslash C\) gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(C\), tức là \(\left\{ {3;4} \right\}\) (C đúng).
\(A \cup B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} = A\) (D sai).
Chọn C.
Miền không gạch chéo trong hình (tính cả bờ \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
\(x + 2y \le 4\).
\(2x + y \ge 4\).
\(x + 2y \ge 4\).
\(x + 2y > 4\).
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(\left( {4;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y = 4\).
Miền nghiệm không gạch chéo không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).
Thay tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức \(x + 2y\): \(0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 4\).
Vì miền nghiệm tính cả bờ \(d\) nên bất phương trình tương ứng là \(x + 2y \ge 4\).
Chọn C.
Cho góc \(\alpha \,\left( {{{90}^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)\) thỏa mãn \({\rm{sin}}\alpha = m\,\left( {0 < m < 1} \right)\). Khi đó:
\({\rm{cos}}\alpha > 0\).
\({\rm{cos}}\alpha = \sqrt {1 - {m^2}} \).
\({\rm{sin}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = m\).
\({\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cdot {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = 1 - m\).
a) Sai: Vì \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) (\(\alpha \) ở góc phần tư thứ II) nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\).
b) Sai: Từ \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {m^2}\). Do \({\rm{cos}}\alpha < 0\) nên \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {m^2}} \).
c) Đúng: Theo công thức góc bù nhau, \({\rm{sin}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha = m\).
d) Sai: Biến đổi vế trái (VT):
\({\rm{VT}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - 1} \right) + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{sin}}\alpha \)
\({\rm{VT}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cdot \left( { - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right) + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{sin}}\alpha \)
\({\rm{VT}} = - \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{sin}}\alpha \)
\({\rm{VT}} = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = - {\rm{sin}}\alpha = - m\)
Xét biểu thức đề bài: Đề bài ghi \( = 1 - m\). Vậy mệnh đề này Sai (Do \( - m \ne 1 - m\)).
Cho hai tập hợp: \(A = \{ x \in \mathbb{R}\mid - 2 < x \le 5\} \), \(B = \{ x \in \mathbb{R}\mid x > 1\} \). Khi đó:
\(A = \left( { - 2;5} \right]\).
\(A \cap B = \left( {1;5} \right)\).
\(A \cup B = \left[ { - 2; + \infty } \right)\).
\({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Ta viết lại hai tập hợp dưới dạng khoảng, đoạn: \(A = \left( { - 2;5} \right]\) và \(B = \left( {1; + \infty } \right)\).
a) Đúng: Rõ ràng từ định nghĩa của tập \(A\).
b) Sai: \(A \cap B = \left( { - 2;5} \right] \cap \left( {1; + \infty } \right) = \left( {1;5} \right]\). Thiếu dấu ngoặc vuông tại phần tử số \(5\).
c) Sai: \(A \cup B = \left( { - 2;5} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right) = \left( { - 2; + \infty } \right)\). Phải là ngoặc tròn tại \( - 2\).
d) Đúng: Vì đúng ra \(A \cap B = \left( {1;5} \right]\), nên phần bù của nó trong \(\mathbb{R}\) là:
\({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R} \setminus \left( {1;5} \right] = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
Hưởng ứng phong trào ủng hộ đồng bào miền Bắc bị lũ lụt do cơn bão YAGI gây ra, bạn Bình được mẹ cho \(250\,000\) đồng mua vở và bút. Biết giá một quyển vở là \(8\,000\) đồng, một cây bút là \(5\,000\) đồng. Gọi \(x,y\,\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số vở và số bút Bình mua được. Khi đó:
Số tiền mua vở là \(8x\) (nghìn đồng), số tiền mua bút là \(5y\) (nghìn đồng).
Bất phương trình số tiền mua là \(8x + 5y \le 250\).
Bình có thể mua được \(20\) quyển vở và \(20\) chiếc bút.
Nếu Bình đã mua \(20\) chiếc bút thì Bình có thể mua tối đa \(19\) quyển vở.
a) Đúng: Giá một quyển vở là \(8\) nghìn đồng \( \Rightarrow 8x\), một cây bút là \(5\) nghìn đồng \( \Rightarrow 5y\).
b) Đúng: Tổng số tiền không vượt quá \(250\) nghìn đồng: \(8x + 5y \le 250\).
c) Sai: Thay \(x = 20,y = 20\) vào bất phương trình: \(8\left( {20} \right) + 5\left( {20} \right) = 160 + 100 = 260 > 250\) (Không thỏa mãn).
d) Sai: Nếu \(y = 20 \Rightarrow 8x + 5\left( {20} \right) \le 250 \Leftrightarrow 8x + 100 \le 250 \Leftrightarrow 8x \le 150 \Leftrightarrow x \le 18,75\).
Do \(x \in \mathbb{N}\) nên số vở tối đa Bình có thể mua là \(18\) quyển. Do đó khẳng định mua tối đa \(19\) quyển là sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết \(BC = 8,CA = 6,\hat C = {60^ \circ }\). Khi đó:
\(AB \approx 7,20\).
Góc \(A\) là góc tù.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) xấp xỉ bằng \(1,96\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(4\sqrt 3 \).
a) Sai: Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\):
\(A{B^2} = C{A^2} + B{C^2} - 2 \cdot CA \cdot BC \cdot {\rm{cos}}C = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)
\(A{B^2} = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 52 \Rightarrow AB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \approx 7,211 \approx 7,21\)
b) Sai: Áp dụng định lý côsin để tính góc \(A\):
\({\rm{cos}}A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{52 + 36 - 64}}{{2 \cdot \sqrt {52} \cdot 6}} = \frac{{24}}{{12\sqrt {52} }} = \frac{2}{{\sqrt {52} }} > 0\)
Vì \({\rm{cos}}A > 0\) nên góc \(A\) là góc nhọn.
c) Đúng: Diện tích tam giác \(ABC\):
\(S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot BC \cdot {\rm{sin}}C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = 24 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \)
Nửa chu vi tam giác:
\(p = \frac{{6 + 8 + \sqrt {52} }}{2} = 7 + \sqrt {13} \)
Bán kính đường tròn nội tiếp \(r\):
\(r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{7 + \sqrt {13} }} \approx \frac{{20,7846}}{{10,6055}} \approx 1,96\)
Vậy mệnh đề này Đúng.
d) Đúng: Trọng tâm \(G\) chia tam giác thành 3 phần có diện tích bằng nhau:
\({S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \)
Bác An dự định trồng dưa lê và dưa vàng trên đất nông nghiệp. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dưa lê thì cần \(20\) công và thu được tiền lãi là \(30\) triệu đồng, nếu trồng dưa vàng thì cần \(30\) công và thu được tiền lãi là \(40\) triệu đồng. Nếu bác An có \(8{\rm{\;ha}}\) đất nông nghiệp và tối đa \(180\) công thợ thì bác An có thể lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích đất trồng dưa lê và dưa vàng (đơn vị: ha, \(x \ge 0,y \ge 0\)).
Từ giả thiết, ta có hệ bất phương trình giới hạn:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{20x + 30y \le 180}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)
Miền nghiệm của hệ là một đa giác với các đỉnh: \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\) (giao điểm của \(x + y = 8\) và \(2x + 3y = 18\)), và \(C\left( {0;6} \right)\).
Hàm tiền lãi thu được là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).
Ta tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:
Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(F\left( {0,0} \right) = 0\)
Tại \(A\left( {8;0} \right)\): \(F\left( {8,0} \right) = 30 \cdot 8 = 240\)
Tại \(B\left( {6;2} \right)\): \(F\left( {6,2} \right) = 30 \cdot 6 + 40 \cdot 2 = 180 + 80 = 260\)
Tại \(C\left( {0;6} \right)\): \(F\left( {0,6} \right) = 40 \cdot 6 = 240\)
Vậy số tiền lãi lớn nhất bác An có thể thu được là \(260\) triệu đồng.
Đáp số: \(260\)
Trong một cuộc khảo sát lớp 10A1: Có \(25\) học sinh yêu thích môn chạy bộ; \(23\) học sinh yêu thích môn cầu lông; \(14\) học sinh thích cả hai môn; \(6\) học sinh không thích môn nào. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn thể thao là: \(N = 25 + 23 - 14 = 34\).
Tổng số học sinh của lớp 10A1 bao gồm cả những học sinh không thích môn nào: \(34 + 6 = 40\).
Đáp số: \(40\)
Cho mệnh đề với \(a\) là số nguyên cho trước. Tìm giá trị bé nhất của \(a\) để mệnh đề đúng với \(x = 1\).
Để mệnh đề đúng với \(x = 1\), ta thay \(x = 1\) vào bất phương trình:
\({1^2} + 4 \cdot 1 - a < 0 \Leftrightarrow 5 - a < 0 \Leftrightarrow a > 5\)
Vì \(a\) là số nguyên và \(a > 5\), nên giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(6\).
Đáp số: \(6\)
Cho hai tập hợp \(A = \left[ {7 - m;2m - 5} \right]\) và \(B = \left( {9;12} \right]\) với \(A \ne \emptyset \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ {0;2024} \right]\) để \(A \cap B \ne \emptyset \)?
Trước hết, để tập hợp \(A \ne \emptyset \) thì:
\(7 - m \le 2m - 5 \Leftrightarrow 3m \ge 12 \Leftrightarrow m \ge 4\)
Để hai tập hợp giao nhau bằng rỗng (\(A \cap B = \emptyset \)), xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tập \(A\) nằm hoàn toàn bên trái tập \(B\):
\(2m - 5 \le 9 \Leftrightarrow 2m \le 14 \Leftrightarrow m \le 7\)
Trường hợp 2: Tập \(A\) nằm hoàn toàn bên phải tập \(B\):
\(7 - m > 12 \Leftrightarrow m < - 5\)
Kết hợp điều kiện \(m \ge 4\), ta có \(A \cap B = \emptyset \) khi:
\(4 \le m \le 7\)
Do đó, để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì điều kiện ngược lại (trong phạm vi \(m \ge 4\)) là:
\(m > 7\)
Mà \(m\) là số nguyên thuộc \(\left[ {0;2024} \right]\) nên \(m \in \left\{ {8;9;10;...;2024} \right\}\).
Số lượng giá trị nguyên của \(m\) là:
\(2024 - 8 + 1 = 2017\)
Đáp số: \(2017\)
Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), góc \(\widehat {BAC} = {30^ \circ }\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\). Do \(BM \bot CN\) nên tam giác \(GBC\) vuông tại \(G\).
Đặt \(GB = 2x \Rightarrow GM = x\) và \(GC = 2y \Rightarrow GN = y\).
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông \(GBC\):
\(G{B^2} + G{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^2} = {6^2} \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} = 36 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 9\)
Xét các tam giác vuông \(GNB\) và \(GMC\):
\(A{B^2} = 4 \cdot B{N^2} = 4 \cdot \left( {G{B^2} + G{N^2}} \right) = 4\left( {4{x^2} + {y^2}} \right) = 16{x^2} + 4{y^2}\)
\(A{C^2} = 4 \cdot C{M^2} = 4 \cdot \left( {G{C^2} + G{M^2}} \right) = 4\left( {4{y^2} + {x^2}} \right) = 4{x^2} + 16{y^2}\)
Suy ra: \(A{B^2} + A{C^2} = 20\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 20 \cdot 9 = 180\)
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\) với \(\hat A = {30^ \circ }\):
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}{30^ \circ }\)
\(36 = 180 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sqrt 3 \cdot AB \cdot AC = 144 \Rightarrow AB \cdot AC = \frac{{144}}{{\sqrt 3 }} = 48\sqrt 3 \)
Diện tích tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = 12\sqrt 3 \approx 20,8\)
Đáp số: \(20,8\)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{3^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{178^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{179^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }.\)
Ta sử dụng tính chất của hai góc bù nhau: \({\rm{cos}}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = - {\rm{cos}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).
Nhóm các số hạng từ hai đầu lại với nhau:
\(P = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{179}^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{178}^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{91}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)
Vì \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{179^ \circ } = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ }\), nên mỗi nhóm có dạng \(2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).
\(P = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)
\(P = 2\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + {0^2} + {\left( { - 1} \right)^2}\)
Lại sử dụng tính chất góc phụ nhau cho biểu thức trong ngoặc: \({\rm{cos}}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{sin}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\).
\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)
\( = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{1^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{2^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{44}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)
\( = 44 \cdot 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 44 + \frac{1}{2} = 44,5\)
Thay ngược vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = 2 \cdot 44,5 + 0 + 1 = 89 + 1 = 90\).
Đáp số: \(90\)
