Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THPT Minh Hà (Hà Nội) có đáp án

Theo định nghĩa, \(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên. Xét điều kiện của tập hợp \(E\):

\( - 1 < x \le 3\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên ta liệt kê được các giá trị nguyên thỏa mãn là: \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Do đó, ta viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử:

\(E = \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

Chọn đáp án: A.

Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau (\(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)), ta có các hệ thức lượng giác cơ bản sau:

\({\rm{sin}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha \)

\({\rm{cos}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \)

\({\rm{tan}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{tan}}\alpha \)

\({\rm{cot}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cot}}\alpha \)

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, ta thấy đẳng thức ở phương án B là khẳng định chính xác.

Chọn đáp án: B.

Theo hệ thức lượng trong tam giác về các công thức tính diện tích hình tam giác \(ABC\), ta có công thức tính diện tích theo độ dài ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) là:

\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Chọn đáp án: D.

Gọi \(T\) là tập hợp các học sinh thích môn Toán và \(E\) là tập hợp các học sinh thích môn Tiếng Anh. Từ giả thiết, ta có:

Số học sinh thích môn Toán: \(n\left( T \right) = 15\).

Số học sinh thích môn Tiếng Anh: \(n\left( E \right) = 10\).

Số học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh: \(n\left( {T \cap E} \right) = 7\).

Vì mỗi học sinh trong nhóm A đều thích ít nhất một trong hai môn, nên tổng số học sinh của nhóm A chính là số phần tử của tập hợp hợp \(T \cup E\):

\(n\left( A \right) = n\left( {T \cup E} \right) = n\left( T \right) + n\left( E \right) - n\left( {T \cap E} \right)\)

Thay các số liệu vào công thức, ta được:

\(n\left( A \right) = 15 + 10 - 7 = 18\)

Chọn đáp án: D.

Trước hết, xét đường thẳng ranh giới miền nghiệm \(d:3x + 2y = 6\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(d\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;3} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\). Vậy \(d\) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Dựa vào dữ kiện đồ thị trong đề thi, chỉ có Hình 2 vẽ đường thẳng đi qua chính xác hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\).

Tiếp theo, ta xác định miền nghiệm bằng cách thử tọa độ của gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(3x + 2y \ge 6\):

\(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 6\,\,{\rm{(V\^o \;l\'y )}}\)

Do đó gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) không chứa gốc tọa độ \(O\) (tính cả đường thẳng \(d\)). Đối chiếu với đồ thị, Hình 2 thể hiện đúng phần không bị gạch là miền không chứa gốc tọa độ.

Chọn đáp án: B.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng tổng quát là \(ax + by < c\) (hoặc dạng chứa dấu \( > , \le , \ge \)) với \(a,b\) không đồng thời bằng 0, các ẩn số \(x,y\) đều ở bậc một.

Xét đáp án A: \(2x - 9y > 10\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số \(a = 2,b = - 9,c = 10\).

Các đáp án khác đều vi phạm vì chứa bậc hai (\(3{x^2}\)), chứa ẩn ở mẫu (\(\frac{2}{y}\)) hoặc chứa ba ẩn (\(x,y,z\)).

Chọn đáp án: A.

Quy tắc phủ định một mệnh đề chứa ký hiệu lượng từ:

Phủ định của lượng từ "Với mọi" (\(\forall \)) là lượng từ "Tồn tại" (\(\exists \)).

Phủ định của dấu nhỏ hơn (\( < \)) là dấu lớn hơn hoặc bằng (\( \ge \)).

Áp dụng quy tắc trên, ta được mệnh đề phủ định là:

\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 5 \ge 0\)

Chọn đáp án: B.

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

1. \({\rm{tan}}\left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

2. Biến đổi phần tử số:

\({\rm{tan}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} - {\rm{sin}}\alpha = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha }} - 1} \right) = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)\)

Thay vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {1 - {\rm{cos}}\alpha } \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha \cdot \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

Rút gọn lượng \({\rm{sin}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) ở cả tử số lẫn mẫu số:

\(A = \frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = \frac{{ - \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = - 1\)

Chọn đáp án: B.

Thay tọa độ điểm \(\left( {1;5} \right)\) vào hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 5 + 2 = - 2 > 0\,\,\,\,\,{\rm{(Sai)}}}\\{2 \cdot 1 + 5 - 1 = 6 < 0\,\,\,\,{\rm{(Sai)}}}\end{array}} \right.\)

Do tọa độ điểm \(\left( {1;5} \right)\) làm cho cả hai bất phương trình trong hệ đều sai nên nó không thuộc miền nghiệm.

Chọn đáp án: A.

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by + c > 0\) nếu khi thay giá trị \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) vào biểu thức, ta thu được một khẳng định đúng: \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\). Do đó, khẳng định D đúng theo định nghĩa.

Chọn đáp án: D.

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc tính sai rõ ràng.

Chọn đáp án: B.

Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lý hàm số sin, ta có hệ thức:

\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}}\)

Thay các số liệu vào công thức:

\(AC = \frac{{5 \cdot {\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{5 \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn đáp án: C.

Ý a) ĐÚNG: Tập hợp \(B = \left[ { - 2;3} \right)\) biểu diễn nửa khoảng trên trục số sẽ lấy dấu ngoặc vuông ở số \( - 2\) và dấu ngoặc tròn ở số \(3\).

Ý b) ĐÚNG: Phần giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) lấy phần chung:

\(A \cap B = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left[ { - 2;3} \right) = \left[ { - 2;1} \right)\)

Ý c) SAI: Tìm hiệu của hai tập hợp \(C\) và \(A\):

\(C \setminus A = \left[ {0;5} \right] \setminus \left( { - \infty ;1} \right) = \left[ {1;5} \right]\)

Vì số 1 không thuộc khoảng \(A\) nên khi trừ đi tập \(A\), giá trị số 1 vẫn giữ lại trong tập hiệu, do đó tại vị trí số 1 phải dùng dấu ngoặc vuông \(\left[ {1;5} \right]\). Đề bài ghi ngoặc tròn \(\left( {1;5} \right]\) nên sai.

Ý d) ĐÚNG: Thực hiện phép toán hợp với tập \(C\):

\(\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left[ { - 2;1} \right) \cup \left[ {0;5} \right] = \left[ { - 2;5} \right]\).

Vì \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có: \({\rm{cos}}\alpha < 0,{\rm{tan}}\alpha < 0,{\rm{cot}}\alpha < 0\).

Ý a) ĐÚNG: Góc tù thì giá trị \({\rm{cos}}\alpha \) luôn âm.

Ý b) SAI: Sử dụng công thức \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\), ta có:

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}\)

Do \({\rm{cos}}\alpha < 0\) nên: \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {\frac{{24}}{{25}}} = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Từ đây ta tìm giá trị \({\rm{tan}}\alpha \):

\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{ - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

Mệnh đề đưa ra giá trị \({\rm{tan}}\alpha = - 2\sqrt 6 \) nên sai.

Ý c) ĐÚNG: Ta tìm giá trị của \({\rm{cot}}\alpha \):

\({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = - 2\sqrt 6 \)

Áp dụng hệ thức lượng giác của hai góc bù nhau:

\({\rm{cot}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cot}}\alpha = - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = 2\sqrt 6 \)

Ý d) SAI: Tính toán giá trị biểu thức \(C\):

Tử số: \({\rm{tan}}\alpha - {\rm{cot}}\alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}} - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = \frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}\)

Mẫu số: \(29{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 29 \cdot \frac{1}{{25}} + 4 \cdot \frac{{24}}{{25}} = \frac{{125}}{{25}} = 5\)

Suy ra: \(C = \frac{{\frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}}}{5} = \frac{{23\sqrt 6 }}{{60}}\). Kết quả đề bài đưa ra sai mẫu số.

Ý a) ĐÚNG: Đây là công thức diện tích tam giác theo hai cạnh và góc xen giữa chính xác.

Ý b) ĐÚNG: Thay số liệu vào công thức:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt 2 \cdot {\rm{sin}}{45^ \circ } = 12\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 12\)

Ý c) SAI: Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác \(ABC\) để tìm độ dài cạnh \(AC\):

\(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2 \cdot BA \cdot BC \cdot {\rm{cos}}B\)

\(A{C^2} = {6^2} + {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt 2 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = 36 + 32 - 48 = 20 \Rightarrow AC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \)

Ý d) ĐÚNG: Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến \(BM\):

\(B{M^2} = \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4} = \frac{{2\left( {36 + 32} \right) - 20}}{4} = \frac{{116}}{4} = 29 \Rightarrow BM = \sqrt {29} \)

Do \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên diện tích tam giác \(BMC\) bằng một nửa diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta BMC}} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\).

Khoảng cách \(CH\) chính là đường cao hạ từ đỉnh \(C\) xuống đáy \(BM\) của tam giác \(BMC\):

\({S_{\Delta BMC}} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BM \Rightarrow 6 = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot \sqrt {29} \Rightarrow CH = \frac{{12}}{{\sqrt {29} }} = \frac{{12\sqrt {29} }}{{29}}\)

Ý a) ĐÚNG: Cả ba bất phương trình đều ở dạng bậc nhất hai biến số \(x,y\).

Ý b) SAI: Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) vào bất phương trình thứ hai: \(2 - 2\left( { - 1} \right) = 4 \le - 4\) (Vô lý). Điểm \(M\) không thuộc miền nghiệm.

Ý c) ĐÚNG: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ranh giới bằng cách giải các hệ phương trình đôi một, ta xác định được đúng 3 đỉnh là \(A\left( {0;2} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2;3} \right)\). Miền nghiệm chính là tam giác \(ABC\).

Ý d) ĐÚNG: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) sẽ đạt được tại một trong ba đỉnh của tam giác:

Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \({F_A} = 2 - 0 = 2\)

Tại \(B\left( {1;4} \right)\): \({F_B} = 4 - 1 = 3\)

Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \({F_C} = 3 - 2 = 1\)

So sánh các giá trị, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được tại điểm \(C\).

A: Là khẳng định toán học chính xác \( \to \) Mệnh đề đúng.

B: Đây là câu hỏi \( \to \) Không phải mệnh đề.

C: Phương trình có hệ số \(a \cdot c = 1 \cdot \left( { - 4} \right) = - 4 < 0\) nên luôn có hai nghiệm trái dấu \( \to \) Mệnh đề đúng.

D: Một tam giác chỉ có một góc bằng \({60^ \circ }\) thì chưa đủ điều kiện để là tam giác đều \( \to \) Mệnh đề sai.

F: Theo định nghĩa số chẵn luôn chia hết cho 2 \( \to \) Mệnh đề đúng.

Tổng cộng có 3 câu là mệnh đề đúng (A, C, F).

Đáp số: 3

Tập hợp hợp \(A \cup B\) bao gồm tất cả các phần tử xuất hiện trong cả hai tập hợp (phần tử trùng nhau chỉ viết một lần):

\(A \cup B = \left\{ { - 1;0;1;2;4;8;10;12} \right\}\)

Tập hợp trên có tổng cộng 8 phần tử.

Đáp số: 8

Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cos trong tam giác \(ABC\):

\({\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Thay số vào công thức:

\({\rm{cos}}A = \frac{{{7^2} + {8^2} - {{13}^2}}}{{2 \cdot 7 \cdot 8}} = \frac{{49 + 64 - 169}}{{112}} = \frac{{ - 56}}{{112}} = - \frac{1}{2} = - 0,5\)

Đáp số: -0,5

Bước 1: Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lý hàm số cos để tính khoảng cách thẳng từ \(A\) đến \(C\):

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot {\rm{cos}}B\)

\(A{C^2} = {\left( {3,6} \right)^2} + {\left( {4,2} \right)^2} - 2 \cdot 3,6 \cdot 4,2 \cdot {\rm{cos}}{140^ \circ }\)

\(A{C^2} = 12,96 + 17,64 - 30,24 \cdot \left( { - 0,766044} \right) \approx 30,6 + 23,1652 = 53,7652\)

\( \Rightarrow AC = \sqrt {53,7652} \approx 7,3325{\rm{\;km}}\)

Bước 2: Theo hình học sơ đồ thẳng hàng, đoạn thẳng \(AC\) được tạo thành từ: \(AM + MN + CN\). Do đó:

\(MN = AC - AM - CN\)

Thay số với \(AM = CN = 1{\rm{\;km}}\):

\(MN \approx 7,3325 - 1 - 1 = 5,3325{\rm{\;km}}\)

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: \(5,33{\rm{\;km}}\).

Đáp số: 5,33

Từ dữ kiện bài toán, lập hệ bất phương trình ràng buộc với điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\):

1. Nguyên liệu: \(2x + 3y \le 160\)

2. Thời gian: \(30x + 15y \le 1200 \Rightarrow 2x + y \le 80\)

Hàm mục tiêu tính lợi nhuận là: \(L\left( {x;y} \right) = 40000x + 30000y\). Miền nghiệm của hệ là đa giác có các đỉnh: \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{160}}{3}} \right)\) và giao điểm \(C\left( {20;40} \right)\) của hai đường ranh giới.

Tính giá trị lợi nhuận tại các đỉnh:

\(L\left( O \right) = 0\) đồng

\(L\left( A \right) = 40000 \cdot 40 = 1.600.000\) đồng

\(L\left( B \right) = 30000 \cdot \frac{{160}}{3} = 1.600.000\) đồng

\(L\left( C \right) = 40000 \cdot 20 + 30000 \cdot 40 = 2.000.000\) đồng

Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại điểm \(C\left( {20;40} \right)\). Tổng khối lượng sản phẩm cần sản xuất là:

\(x + y = 20 + 40 = 60{\rm{\;kg}}\)

Đáp số: 60

Xét phương trình của tập \(A\):

\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (1) được hai nghiệm: \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\). Khi giao với tập số dương \(B = \left( {0; + \infty } \right)\), nghiệm \(x = - 2\) bị loại, ta giữ lại được nghiệm \(x = 2\).

Để tập hợp \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là \({x_1},{x_2}\)). Khi đó tập giao là \(A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}\).

Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:

\(2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12\)

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = m - 3\). Từ đó ta có:

\(m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15\)

Kiểm tra lại: Thay \(m = 15\) vào phương trình (2) được \({x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\) (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).

Đáp số: 15