Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát (Quốc Oai-Hà Nội) có đáp án

Tìm giao và hợp của các tập hợp:

\(A \cap B = \left[ {0;3} \right] \cap \left( {1;5} \right) = \left( {1;3} \right]\)

\(\left( {A \cap B} \right) \setminus C = \left( {1;3} \right] \setminus \left( {0;1} \right) = \left( {1;3} \right]\)

(Do đó khẳng định A đúng).

Tìm \(A \cap B \cap C\):

\(A \cap B \cap C = \left( {1;3} \right] \cap \left( {0;1} \right) = \emptyset \)

(Do đó khẳng định B đúng).

Tìm \(A \cup B \cup C\):

\(A \cup B \cup C = \left[ {0;3} \right] \cup \left( {1;5} \right) \cup \left( {0;1} \right) = \left[ {0;5} \right)\)

(Do đó khẳng định C đúng).

Tìm \(\left( {A \cup C} \right) \setminus C\):

\(A \cup C = \left[ {0;3} \right] \cup \left( {0;1} \right) = \left[ {0;3} \right]\)

\(\left( {A \cup C} \right) \setminus C = \left[ {0;3} \right] \setminus \left( {0;1} \right) = \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;3} \right]\)

(Do đó khẳng định D sai).

Chọn đáp án: D

Số học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi (giỏi Văn hoặc giỏi Toán hoặc cả hai) là: \(40 - 14 = 26\).

Gọi \(X\) là tập hợp học sinh giỏi Văn, \(Y\) là tập hợp học sinh giỏi Toán. Theo công thức lực lượng của hai tập hợp, ta có:

\(n\left( {X \cup Y} \right) = n\left( X \right) + n\left( Y \right) - n\left( {X \cap Y} \right)\)

Thay số vào công thức:

\(26 = 15 + 22 - n\left( {X \cap Y} \right)\)

\(n\left( {X \cap Y} \right) = 37 - 26 = 11\)

Chọn đáp án: D

Tìm giao của hai tập hợp (các phần tử chung):

\(A \cap B = \left\{ {1;5} \right\}\)

Tìm hợp của hai tập hợp (tất cả các phần tử của cả hai tập hợp):

\(A \cup B = \left\{ { - 1;0;1;3;5} \right\}\)

Đối chiếu các phương án, khẳng định C là khẳng định đúng.

Chọn đáp án: C

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng.

Các câu A, B, D đều là những câu khẳng định có tính đúng sai rõ ràng (A sai, B sai, D đúng).

Câu C: "\({x^2} > 0\)" là một mệnh đề chứa biến, tính đúng sai của nó phụ thuộc vào giá trị của \(x\), do đó bản thân nó chưa phải là một mệnh đề.

Chọn đáp án: C

Xét A: Với \(x = 2 \in \mathbb{N}\) thì \({2^2} = 4 > 2\) (Sai).

Xét B: Phương trình \({x^2} + x - 1 = 0\) có nghiệm \(x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \notin \mathbb{Q}\) (Sai).

Xét C: Ta có khai triển:

\({\left( {3x + 2} \right)^2} - 4 = 9{x^2} + 12x + 4 - 4 = 9{x^2} + 12x = 3\left( {3{x^2} + 4x} \right)\)

Vì \(3\left( {3{x^2} + 4x} \right) \vdots 3\) với mọi \(x \in \mathbb{N}\) nên mệnh đề này đúng.

Xét D: Phương trình \({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0\) vô nghiệm trên \(\mathbb{R}\) (Sai).

Chọn đáp án: C

Phủ định của mệnh đề "Có" (hoặc \(\exists \)) là "Không" (hoặc \(\forall \)).

Do đó, phủ định của mệnh đề "Phương trình \(A = 0\) có nghiệm hữu tỉ" là "Phương trình \(A = 0\) không có nghiệm hữu tỉ".

Chọn đáp án: A

Theo định nghĩa về đoạn trong tập số thực:

\(\{ x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\} = \left[ {a;b} \right]\)

Do đó: \(A = \left[ {4;9} \right]\).

Chọn đáp án: D

Giải phương trình tích:

\(\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{x^2} - 3 = 0}\\{}&{2{x^2} - 5x + 3 = 0}\end{array}\)

Trường hợp 1: \({x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \). Vì \( \pm \sqrt 3 \notin \mathbb{Q}\) nên loại.

Trường hợp 2: \(2{x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\). Vì \(1;\frac{3}{2} \in \mathbb{Q}\) nên thỏa mãn.

Vậy tập hợp viết dưới dạng liệt kê là: \(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).

Chọn đáp án: B

Thay các giá trị đáp án vào để kiểm tra:

Với \(n = 7\): \({7^2} - 1 = 48\) (không phải số nguyên tố).

Với \(n = 5\): \({5^2} - 1 = 24\) (không phải số nguyên tố).

Với \(n = 2\): \({2^2} - 1 = 3\) (là số nguyên tố).

Với \(n = 8\): \({8^2} - 1 = 63\) (không phải số nguyên tố).

Chọn đáp án: C

Vì \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \le 4\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

Tính giá trị \({x^2} + 1\) tương ứng với từng \(x\):

\(x = 0 \Rightarrow {0^2} + 1 = 1\)

\(x = 1 \Rightarrow {1^2} + 1 = 2\)

\(x = 2 \Rightarrow {2^2} + 1 = 5\)

\(x = 3 \Rightarrow {3^2} + 1 = 10\)

\(x = 4 \Rightarrow {4^2} + 1 = 17\)

Vậy \(A = \left\{ {1;2;5;10;17} \right\}\).

Chọn đáp án: B

Trục hoành \(y = 0\) chia mặt phẳng thành hai nửa. Phần không gạch chéo nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, không kể bờ (đường nét đứt trên trục \(Ox\)), suy ra ta có bất phương trình đầu tiên là \(y > 0\). Do đó, loại phương án A và D.

Đường thẳng ranh giới còn lại đi qua hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\). Phương trình đường thẳng này theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y = 6\).

Điểm gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền không gạch chéo (miền nghiệm). Thay tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức đường thẳng: \(3.0 + 2.0 = 0 < 6\).

Do đó bất phương trình biểu diễn miền nghiệm chứa gốc tọa độ là \(3x + 2y < 6\).

Kết hợp lại, ta được hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 0}\\{3x + 2y < 6}\end{array}} \right.\).

Chọn đáp án: B

Từ điều kiện bài toán, ta lập hệ bất phương trình ràng buộc với \(x\) (kg thịt gà) và \(y\) (kg thịt cá):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 8}\\{0,25x + 0,20y \ge 2,3}\\{0,20x + 0,10y \ge 1,2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 8}\\{5x + 4y \ge 46}\\{2x + y \ge 12}\end{array}} \right.\)

Hàm chi phí cần tối thiểu hóa là: \(T\left( {x,y} \right) = 80.000x + 110.000y\).

Xác định các đỉnh của miền nghiệm tạo bởi hệ bất phương trình trên:

Giao điểm của hai đường thẳng \(5x + 4y = 46\) và \(2x + y = 12\):

Giải hệ phương trình ta được \(x = 2\), \(y = 8\). Điểm này thỏa mãn các điều kiện còn lại.

Giao điểm của \(2x + y = 12\) và trục hoành \(y = 0 \Rightarrow x = 6\). Nhưng tại \(x = 6\), biểu thức \(5\left( 6 \right) + 4\left( 0 \right) = 30 < 46\) (Không thỏa mãn).

Giao điểm của \(5x + 4y = 46\) với \(y = 0 \Rightarrow x = 9,2\). Khi đó \(2\left( {9,2} \right) + 0 = 18,4 \ge 12\) (Thỏa mãn). Điểm này là \(\left( {9,2;0} \right)\).

Điểm giới hạn trên với \(x = 10\): nếu \(x = 10,y = 0 \Rightarrow 5\left( {10} \right) \ge 46\) và \(2\left( {10} \right) \ge 12\) (Thỏa mãn). Điểm này là \(\left( {10;0} \right)\).

Tính chi phí \(T\) tại các đỉnh khả thi:

Tại \(M\left( {2;8} \right)\): \(T = 80.000\left( 2 \right) + 110.000\left( 8 \right) = 1.040.000\) đồng. Tổng khối lượng: \(x + y = 2 + 8 = 10\) kg.

Tại \(N\left( {9,2;0} \right)\): \(T = 80.000\left( {9,2} \right) + 110.000\left( 0 \right) = 736.000\) đồng. Tổng khối lượng: \(x + y = 9,2 + 0 = 9,2\) kg.

Tại \(P\left( {10;0} \right)\): Chi phí chắc chắn cao hơn tại \(N\).

Chi phí thấp nhất đạt được tại đỉnh \(N\left( {9,2;0} \right)\) với tổng khối lượng \(x + y = 9,2\) kg.

Chọn đáp án: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}A\)

Thay số vào công thức:

\(B{C^2} = {4^2} + {3^2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\(B{C^2} = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13\)

\(BC = \sqrt {13} \)

Chọn đáp án: D

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\):

\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{{BC \cdot {\rm{sin}}B}}{{AC}} = \frac{{30 \cdot {\rm{sin}}{{75}^ \circ }}}{{50}} \approx 0,57955\)

\( \Rightarrow \hat A \approx 35,{417^ \circ }\)

Tính góc \(\hat C\):

\(\hat C = {180^ \circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) \approx {180^ \circ } - \left( {35,{{417}^ \circ } + {{75}^ \circ }} \right) = 69,{583^ \circ }\)

Tính diện tích tam giác \(ABC\):

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot {\rm{sin}}C = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 30 \cdot {\rm{sin}}69,{583^ \circ } \approx 750 \cdot 0,93719 \approx 702,89\)

Làm tròn đến hàng phần mười, giá trị gần nhất là 702,9.

Chọn đáp án: C

Rút gọn bất phương trình:

\( - x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x \Leftrightarrow x + 2y - 4 < 0\)

Thay tọa độ các điểm vào vế trái \(f\left( {x,y} \right) = x + 2y - 4\):

Với \(\left( {0;0} \right)\): \(0 + 2\left( 0 \right) - 4 = - 4 < 0\) (Thuộc miền nghiệm).

Với \(\left( {4;2} \right)\): \(4 + 2\left( 2 \right) - 4 = 4 > 0\) (Không thuộc miền nghiệm).

Với \(\left( {1; - 1} \right)\): \(1 + 2\left( { - 1} \right) - 4 = - 5 < 0\) (Thuộc miền nghiệm).

Với \(\left( {1;1} \right)\): \(1 + 2\left( 1 \right) - 4 = - 1 < 0\) (Thuộc miền nghiệm).

Vậy miền nghiệm không chứa điểm \(\left( {4;2} \right)\).

Chọn đáp án: B

Thay tọa độ các điểm vào biểu thức \(f\left( {x,y} \right) = x - 2y + 5\):

Với \(\left( { - 2;4} \right)\): \( - 2 - 2\left( 4 \right) + 5 = - 5 \not > 0\) (Sai).

Với \(\left( {2;2} \right)\): \(2 - 2\left( 2 \right) + 5 = 3 > 0\) (Đúng).

Với \(\left( { - 2;2} \right)\): \( - 2 - 2\left( 2 \right) + 5 = - 1 \not > 0\) (Sai).

Với \(\left( {1;3} \right)\): \(1 - 2\left( 3 \right) + 5 = 0 \not > 0\) (Sai).

Chọn đáp án: B

Công thức đúng của định lí côsin là \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A\) (Phương án A đúng).

Phương án B sai vì công thức Heron đúng phải là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).

Phương án C sai vì theo định lí sin: \(\frac{b}{{{\rm{sin}}B}} = 2R \Rightarrow b = 2R{\rm{sin}}B\).

Phương án D sai vì diện tích đúng là \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A\).

Chọn đáp án: A

Thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( 0 \right) + 3\left( 0 \right) - 1 = - 1 \not > 0}\\{5\left( 0 \right) - 0 + 4 = 4 \not < 0}\end{array}} \right.\).

Cả hai bất phương trình đều không thỏa mãn, do đó điểm \(\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ.

Chọn đáp án: C

Đường thẳng ranh giới đi qua \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\) có phương trình là \(3x + 2y = 6\). Vì miền nghiệm không tính bờ nên dấu bất đẳng thức phải là dấu nghiêm ngặt (\( > \) hoặc \( < \)). Loại A và D.

Điểm gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nằm trong phần tô đậm (miền nghiệm). Thay tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức \(3x + 2y\): \(3.0 + 2.0 = 0 < 6\).

Do đó, bất phương trình biểu diễn miền nghiệm là \(3x + 2y < 6\).

Chọn đáp án: C

Thử lần lượt tọa độ các điểm vào hệ:

Với \(B\left( {0;1} \right)\):

Điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Chọn đáp án: B

Theo quy tắc phủ định của mệnh đề chứa ký hiệu tồn tại (\(\exists \)), ta chuyển \(\exists \) thành \(\forall \) và phủ định mệnh đề phía sau (\( \le \) thành \( > \)).

Vậy mệnh đề phủ định là $\overline{P}:"\forall x\in ℝ,x^2+1>0"$.

a) Xác định tập hợp \(A\) và biểu diễn:

Ta thấy hai khoảng \(\left[ {0;2} \right]\) và \(\left( {4;6} \right)\) không có phần tử chung nào vì \(2 < 4\).

Do đó:

\(A = \left[ {0;2} \right] \cap \left( {4;6} \right) = \emptyset \)

Biểu diễn trên trục số: Vẽ một trục số và gạch chéo toàn bộ trục số (hoặc vẽ trục số trống không có phần tử nào được chọn).

b) Xác định phần bù của tập hợp \(B\):

Tập hợp \(B\) được viết dưới dạng khoảng nửa khoảng là: \(B = \left[ { - 3;5} \right)\).

Phần bù của \(B\) trong \(\mathbb{R}\) (ký hiệu là \({C_\mathbb{R}}B\)) là tập hợp các phần tử thuộc \(\mathbb{R}\) nhưng không thuộc \(B\):

\({C_\mathbb{R}}B = \mathbb{R} \setminus \left[ { - 3;5} \right) = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y + 4 = 0\)

Đi qua hai điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\).

Xét điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có: \(2\left( 0 \right) - 0 + 4 = 4 \ge 0\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y + 4 \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\) (tính cả bờ \({d_1}\)).

Bước 2: Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y - 1 = 0\)

Đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).

Xét điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có: \(0 + 0 - 1 = - 1 \le 0\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x + y - 1 \le 0\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) chứa gốc tọa độ \(O\) (tính cả bờ \({d_2}\)).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ là phần giao của hai miền nghiệm trên (phần không bị gạch chứa gốc tọa độ \(O\), kể cả các đoạn đường thẳng ranh giới).

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) (vì \(AH \bot HB\) theo mô hình mặt đất phẳng), ta tính độ dài cạnh \(AB\) và góc \(\widehat {HAB}\):

\(AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{4^2} + {{20}^2}} = \sqrt {416} = 4\sqrt {26} {\rm{\;(m)}}\)

\({\rm{tan}}\widehat {HAB} = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{20}}{4} = 5 \Rightarrow \widehat {HAB} \approx 78,{69^ \circ }\)

Ta có góc \(\widehat {BAC} = {45^ \circ }\). Do đó góc \(\widehat {HAC}\) là:

\(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} - \widehat {BAC} \approx 78,{69^ \circ } - {45^ \circ } = 33,{69^ \circ }\)

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta tính độ dài đoạn \(HC\):

\(HC = AH \cdot {\rm{tan}}\widehat {HAC} = 4 \cdot {\rm{tan}}\left( {33,{{69}^ \circ }} \right) \approx 4 \cdot \frac{2}{3} \approx 2,67{\rm{\;(m)}}\)

Chiều cao của cây là đoạn \(BC\), được tính bằng:

\(BC = HB - HC \approx 20 - 2,67 = 17,33{\rm{\;(m)}}\)

Làm tròn đến hàng phần chục (hàng phần mười), ta được chiều cao của cây là:

\(BC \approx 17,3{\rm{\;(m)}}\)