Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 THCS-THPT Nguyễn Khuyến (TP.HCM) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. (3,0 điểm, mỗi câu 0,25 điểm) Trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. (Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án).
Cho góc \(\alpha \) (\({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\)). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({\rm{sin}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) cùng dấu.
\({\rm{cot}}\alpha \) và \({\rm{tan}}\alpha \) trái dấu.
\({\rm{tan}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) trái dấu.
\({\rm{cot}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) cùng dấu.
Chọn D
Với \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) ta có \({\rm{sin}}\alpha > 0\), \({\rm{cos}}\alpha < 0\), \({\rm{tan}}\alpha < 0\), \({\rm{cot}}\alpha < 0\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x - {y^2} < 0}\\{y \le 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x + 3y < 1}\\{2x - y \le 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \ge y}\\{x + y < 0}\\{y < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 0}\\{{x^2} + y = 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).
Chọn B
Phương án A, C, D: hệ bất phương trình hoặc phương trình chứa ẩn bậc 2 \( \to \) Loại.
\(AB = 2\sqrt 2 \).
\(AB = \sqrt 2 \).
\(AB = 1\).
\(AB = 2\).
Chọn A
Xét tam giác \(ABC\):
\(\hat C = {180^ \circ } - {30^ \circ } - {105^ \circ } = {45^ \circ }\)
Theo định lý sin: \(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} = 2R \Rightarrow AB = 2R{\rm{sin}}C = 2 \cdot 2 \cdot {\rm{sin}}{45^ \circ } = 2\sqrt 2 \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ.
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture7-1780665560.png)
Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2;3} \right)\).
Chọn C
Dựa vào đồ thị, trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)
\(13\).
\(12\).
\(7\).
\( - 5\).
Chọn A
Ta có:
Với \(x = 0 < 1 \Rightarrow f\left( 0 \right) = {0^2} + 4 = 4\)
Với \(x = 3 \ge 1 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 2 \cdot 3 + 3 = 9\)
Vậy \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = 4 + 9 = 13\).
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn C
Dựa trên hình vẽ lưới ô vuông, có 2 vectơ cùng phương với vectơ \(\vec v\) (đó là các vectơ \(\vec a\) và \(\vec d\)).
\(47\).
\(40\).
\(37\).
\(32\).
Chọn D
Sử dụng biểu đồ Ven ta có:
Số bạn chỉ chơi cầu lông là: \(25 - 15 = 10\)
Số bạn chỉ chơi bóng đá là: \(22 - 15 = 7\)
Vậy số học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông là: \(7 + 10 + 15 = 32\).
\(\left( {2;8} \right)\).
\(\left( {3;3} \right)\).
\(\left( { - 10; - 3} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
Chọn B
Thay \(x = 3\), \(y = 3\) vào bất phương trình: \( - 3\left( 3 \right) + 5\left( 3 \right) - 6 = - 9 + 15 - 6 = 0 \le 0\) (thỏa mãn).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{7x + 15y > 200}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{7x + 15y \le 200}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{15x + 7y > 200}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{15x + 7y < 200}\end{array}} \right.\).
Chọn B
Vì \(x\) và \(y\) là số chậu cây, nên chúng phải là các số tự nhiên không âm: \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).
Chi phí mua cây phải không vượt quá ngân sách \(2.000.000\) đồng:
\(70.000x + 150.000y \le 2.000.000 \Leftrightarrow 7x + 15y \le 200\).
\( - 3\).
\(2\).
\( - 2\).
\(3\).
Chọn D
Xác định giao: \(A \cap B = \left[ { - 2;2} \right] \cap \left( { - 1; + \infty } \right) = \left( { - 1;2} \right]\)
Suy ra: \(\left( {A \cap B} \right) \cap \mathbb{Z} = \left( { - 1;2} \right] \cap \mathbb{Z} = \left\{ {0;1;2} \right\}\)
Tổng các phần tử là: \(0 + 1 + 2 = 3\).
\(381\).
\(380\).
\(382\).
\(383\).
Chọn C
Mô hình hóa bài toán bằng tam giác \(ABC\) với \(A\) là vị trí máy bay, \(B\) và \(C\) là vị trí hai người điều khiển, \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\).
Ta có: \(\hat A = {180^ \circ } - \left( {{{40}^ \circ } + {{35}^ \circ }} \right) = {105^ \circ }\)
Sử dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \Leftrightarrow AC = \frac{{1000 \times {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \approx 665,46{\rm{\;ft}}\)
Trong tam giác vuông \(AIC\), độ cao \(h\) bằng:
\(h = AI = AC \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 665,46 \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 382{\rm{\;ft}}\).
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\\{x + y \ge 0}\\{x + y - 4 \le 0}\end{array}} \right.\) có miền nghiệm được biểu diễn là miền đa giác \(OABC\) (tham khảo hình vẽ):
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(L = 2x + y\) bằng bao nhiêu?
\(6\).
\(8\).
\(7\).
\(5\).
Chọn C
Xác định các giao điểm để tìm tọa độ đỉnh của tứ giác \(OABC\):
Giao điểm của \(x - y = 0\) và \(x + y = 0\) là điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Giao điểm của \(x - y = 0\) và \(x + y - 4 = 0\) là điểm \(A\left( {2;2} \right)\).
Giao điểm của \(x - y - 2 = 0\) và \(x + y - 4 = 0\) là điểm \(B\left( {3;1} \right)\).
Giao điểm của \(x - y - 2 = 0\) và \(x + y = 0\) là điểm \(C\left( {1; - 1} \right)\).
Tính giá trị của biểu thức \(L = 2x + y\) tại các đỉnh:
Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(L = 2 \times 0 + 0 = 0\)
Tại \(A\left( {2;2} \right)\): \(L = 2 \times 2 + 2 = 6\)
Tại \(B\left( {3;1} \right)\): \(L = 2 \times 3 + 1 = 7\)
Tại \(C\left( {1; - 1} \right)\): \(L = 2 \times 1 + \left( { - 1} \right) = 1\)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(L = 2x + y\) là \(7\) tại đỉnh \(B\left( {3;1} \right)\).
PHẦN II. (4,0 điểm, mỗi câu 1 điểm) Trắc nghiệm đúng – sai. (Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai).
Cho tập \(A = \left( { - 2;4} \right]\), \(B = \left( {0;5} \right]\) và tập số nguyên \(\mathbb{Z}\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
\(A \cup B = \left[ { - 2;5} \right]\).
\(B \setminus A = \left[ {4;5} \right]\).
\(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
\({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
a) Sai. Ta có \(A \cup B = \left( { - 2;5} \right]\).
b) Sai. Ta có \(B \setminus A = \left( {4;5} \right]\).
c) Sai. Ta có \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
d) Sai. Ta có \(A \cap B = \left( {0;4} \right] \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R} \setminus \left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Các phát biểu sau đúng hay sai?
Hàm số đã cho xác định trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).
Tập giá trị hàm số đã cho là đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).
\(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\).
a) Đúng. Hàm số xác định trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).
b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).
c) Sai. Vì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\).
Giá trị lượng giác \({\rm{cos}}A = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Độ dài cạnh \(BC = 3\sqrt 3 \).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(9\sqrt 3 \).
Độ dài đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) bằng \(3\).
a) Sai. Vì \({\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{1}{2}\).
b) Đúng. Áp dụng định lý cosin:
\(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot {\rm{cos}}A} = \sqrt {{6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot {\rm{cos}}{{60}^ \circ }} = \sqrt {36 + 9 - 18} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \).
c) Sai. Diện tích \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).
d) Đúng.\(AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2 \cdot \frac{{9\sqrt 3 }}{2}}}{{3\sqrt 3 }} = 3\).
\(30x + 6y \le 900\).
Hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với \(x,y\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 10}\\{5x + y \le 150}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).
Tổng số lần phát quảng cáo là \(T = x + y\).
Để phát được số lần quảng cáo nhiều nhất thì số lần quảng cáo vào khung giờ 20h30 là \(20\) lần và vào khung giờ 16h00-17h00 là \(50\) lần.
a) Đúng. Chi phí không quá \(900\) triệu: \(30x + 6y \le 900\).
b) Sai. Hệ đầy đủ phải bao gồm cả điều kiện ràng buộc của \(y\) không quá \(50\): \(\{ \begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 10}\\{5x + y \le 150}\\{0 \le y \le 50}\end{array}\).
c) Đúng. Tổng số lần phát quảng cáo là \(T = x + y\).
d) Đúng.
Các đỉnh của miền nghiệm:
\(D\left( {10;0} \right) \Rightarrow T = 10\)
\(A\left( {10;50} \right) \Rightarrow T = 60\)
\(B\left( {20;50} \right) \Rightarrow T = 70\)
\(C\left( {30;0} \right) \Rightarrow T = 30\)
Vậy \(T\) lớn nhất bằng \(70\) khi \(x = 20,y = 50\).
PHẦN III. (3,0 điểm, mỗi câu 0,5 điểm) Tự luận trả lời ngắn. (học sinh trình bày tự luận vào giấy làm).
Cho hai tập hợp con, khác rỗng của \(\mathbb{R}\) là \(S = \left[ { - 6;24} \right)\) và \(T = \left( {a - 2;20} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để \(T \subset S\).
Đáp số: 4
Điều kiện tập \(T\) khác rỗng: \(a - 2 < 20 \Leftrightarrow a < 22\).
Để \(T \subset S\) thì: \(a - 2 \ge - 6 \Leftrightarrow a \ge - 4\).
Kết hợp điều kiện suy ra \( - 4 \le a < 22\).
Do \(a\) là số nguyên âm nên \(a \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\).
Vậy có \(4\) giá trị thỏa mãn đề bài.
Đáp số: 9
Điều kiện xác định của hàm số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 4 > 0}\\{5 - x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 < x \le 5\).
Tập xác định \(D = \left( {2;5} \right]\). Suy ra \(m = 2,n = 5\).
Vậy \(2m + n = 2 \cdot 2 + 5 = 9\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(b = 7,c = 5\) và \({\rm{cos}}A = \frac{3}{5}\). Biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) có dạng \(r = a - \sqrt b \), trong đó \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị biểu thức \(a - 2b\) bằng bao nhiêu?
Đáp số: -1
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).
Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \({0^ \circ } < A\left\langle {{{180}^ \circ } \Rightarrow {\rm{sin}}A} \right\rangle 0 \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \).
Mà \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{36 - 8}} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{28}} = \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} = 3 - \sqrt 2 \).
Do đó \(a = 3,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 3 - 2 \cdot 2 = - 1\).
Giá cước của một hãng taxi được tính theo bảng giá như sau:
BẢNG GIÁ CƯỚC | |||||
Quãng đường \(x\) (km) | \(0 < x \le 0,3\) | \(0,3 < x \le 2\) | \(2 < x \le 10\) | \(10 < x \le 25\) | \(x > 25\) |
Giá cước | \(5.000\) đồng | \(20.600\) đồng/\({\rm{km}}\) | \(16.000\) đồng/\({\rm{km}}\) | \(17.600\) đồng/\({\rm{km}}\) | \(15.100\) đồng/\({\rm{km}}\) |
Theo bảng giá trên, nếu hành khách đi quãng đường \(1{\rm{\;km}}\) thì cách tính sẽ là \(5.000 + \left( {1 - 0,3} \right) \times 20.600 = 19.420\) đồng. Bạn Bình đặt xe của hãng taxi trên để đi từ trường Nguyễn Khuyến về nhà ở Bình Dương với quãng đường là \(20{\rm{\;km}}\). Hỏi số tiền bạn Bình phải trả là bao nhiêu?
Đáp số: 344020
Gọi \(y\) (đồng) là số tiền bạn Bình phải trả cho chuyến đi ứng với quãng đường \(x\) (\({\rm{km}}\)).
Khi đó ta có hàm số biểu thị số tiền phải trả cho quãng đường mà bạn Bình cần di chuyển là:
\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0,3}\\{5000 + \left( {x - 0,3} \right) \cdot 20600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0,3 < x \le 2}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + \left( {x - 2} \right) \cdot 16000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + 8 \cdot 16000 + \left( {x - 10} \right) \cdot 17600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + 8 \cdot 16000 + 15 \cdot 17600 + \left( {x - 25} \right) \cdot 15100\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.\).
Rút gọn ta được:
\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0,3}\\{20600x - 1180\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0,3 < x \le 2}\\{16000x + 8020\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{17600x - 7980\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{15100x + 54520\,\,\,{\rm{khi}}\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.\).
Vậy số tiền bạn Bình phải trả cho quãng đường \(20{\rm{\;km}}\) từ trường về nhà là:
\(17600 \cdot 20 - 7980 = 344020\) đồng.
Hai tàu du lịch xuất phát cùng lúc từ hai thành phố cảng \(A\) và \(B\) cách nhau \(200\left( {{\rm{km}}} \right)\) đến đảo \(C\) (được mô hình hóa như hình vẽ).
Biết \(\widehat {CAB} = {30^ \circ }\), \(\widehat {CBA} = {45^ \circ }\). Tàu 1 ở thành phố \(A\) chuyển động đều với vận tốc \(80\left( {{\rm{km/h}}} \right)\), Tàu 2 ở thành phố \(B\) muốn đến đảo \(C\) cùng lúc với tàu 1 thì tàu 2 cần chuyển động đều với vận tốc bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: 57
Do hai tàu cùng đến đảo một lúc nên ta đặt thời gian đi của hai tàu là \(t\left( {\rm{h}} \right)\) và vận tốc của tàu từ \(B\) là \(v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Áp dụng định lý sin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\hat B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\hat A}} \Leftrightarrow \frac{{80 \cdot t}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{v \cdot t}}{{{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}} \Leftrightarrow v = \frac{{80 \cdot {\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{80 \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{40}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 40\sqrt 2 \approx {\rm{\;}}57\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Vậy tàu 2 cần chuyển động với vận tốc làm tròn đến hàng đơn vị là \(57\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác \(ABC\) (kể cả bờ) trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( { - 4;0} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\), và tam giác \(ABC\) có diện tích là \(16\).
Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) phải cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là \(0 < y = \frac{a}{b} < 4\).
Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang \(BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}\) (với \(B{\rm{'}},C{\rm{'}}\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) với \(AB\) và \(AC\)).
Đặt \(k\) là tỉ số đồng dạng giữa tam giác \(AB{\rm{'}}C{\rm{'}}\) và tam giác \(ABC\).
Khi đó: \({S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) là \(AH\), và khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) là \(AO = 4\).
Ta có: \(\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}\).
Vì đường thẳng \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) có phương trình \(y = \frac{a}{b}\) nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là \(OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).
Do \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{4}{3}\) là phân số tối giản nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy \(a + b = 4 + 3 = 7\).
