Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2024-2025 TH-THCS-THPT Lê Thánh Tông (TP.HCM) có đáp án
19 câu hỏi
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 1\)?
\(\left( {0;0} \right)\)
\(\left( {3; - 7} \right)\)
\(\left( { - 2;1} \right)\)
\(\left( {0;1} \right)\)
\(M\left( {0;1} \right)\)
\(N\left( { - 1;1} \right)\)
\(P\left( {1;3} \right)\)
\(Q\left( { - 1;0} \right)\)
Đáp án đúng là B
Ta kiểm tra \(N\left( { - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3 - 2 \ge 0\\ - 2 + 1 + 1 \le 0\end{array} \right.\) (đúng) \( \Rightarrow N\left( { - 1;1} \right)\) là nghiệm của \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\)
\(165\)
\(150\)
\(180\)
\(140\)
Ta có: \(AC:y = x + 2\), \(BC:x = 2\)
Các tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\) là \(A\left( { - 2;0} \right)\), \(B\left( {2;0} \right)\), \(C\left( {2;4} \right)\)
Với \(F\left( { - 2;0} \right) = - 40\); \(F\left( {2;0} \right) = 40\); \(F\left( {2;4} \right) = 220\)
Giá trị nhỏ nhất là \( - 40\) ; giá trị lớn nhất là \(220\)
Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là: \( - 40 + 220 = 180\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2x - y > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right) + 3y - {x^2} + 2 \ge 0\\y + 1 < 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x\left( {x - y} \right) + y\left( {1 + x} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 2 > 0\\y + x \ge 0\end{array} \right.\)
Xét \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x\left( {x - y} \right) + y\left( {1 + x} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\{x^2} - xy + y + xy \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\{x^2} + y \le 0\end{array} \right.\) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\[46\].
\[45\].
\[44\].
\[43\].
Sau 2 giờ ca nô \[B\] đi được quãng đường có độ dài \[AB = 2.20 = 40\] (hải lý) và ca nô \[C\] đi được quãng đường có độ dài \[AC = 5.25 = 50\] (hải lý).
Khoảng cách của hai ca nô sau 2 giờ bằng độ dài đoạn \[BC\].
Áp dụng định lý cô - sin trong tam giác \[ABC\] có
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\]
\[ \Leftrightarrow B{C^2} = {40^2} + {50^2} - 2.40.50.\cos 60^\circ \]
\[ \Leftrightarrow B{C^2} = 2100 \Leftrightarrow BC = \sqrt {2100} \approx 46\].
Vậy sau 2 giờ hai ca nô cách nhau một khoảng xấp xỉ 46 hải lý.
\[5\].
\[2\].
\[3\].
\[4\].
\[1\].
\[0\].
\[ - 1\].
\[ - 2\].
Vì điểm \[A\left( {1;1} \right)\] thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left( * \right)\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 - m \ge 0\\3.1 + 1 + 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\].
Hay \[m \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2 + 2 = 0\].
\(\overrightarrow {MN} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {NM} \).
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {DN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y > - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y < - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y < 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y < 6\end{array} \right.\).
Từ hình vẽ ta có điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ phương trình.
\( - 1 > 0\) vô lý nên loại câu \(A,C\).
\(3.\left( { - 1} \right) + 2.1 < - 6\) vô lý nên loại câu \(B\).
\(868\).
\(870\).
\(865\).
\(872\).
\(\widehat {AOB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {OBC} = 120^\circ \).
Trong tam giác,
\(OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2} - 2.OB.BC.\cos \widehat {OBC}} = \sqrt {{{400}^2} + {{600}^2} - 2.400.600.\cos 120^\circ } \approx 872\).
\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC \approx 872N\).
Cho tam giác \(ABC\) đều có đường cao \(AH\) và có trọng tâm \(G\). Biết rằng \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\).
\(AB = BC = AC = 2\)
\(\left| {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 3 \)
\(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
Nếu điểm \(M\)thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} } \right|\) thì giá trị nhỏ nhất của \(GM\)bằng \(\frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}\).
Vì tam giác \(ABC\) đều nên có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến.
a) Đúng.
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 2\).
Mà tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = BC = AC = 2\).
b) Sai.
Ta có \(AH = AC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)
Mà \(\left| {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BH} } \right| = \frac{1}{2}BC = 1\)
c) Sai
Vì G là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {GA} } \right| = GA\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \frac{2}{3}AH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
d) Sai
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 2\)(1)
\(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM\) (2)
Từ \((1)\)và \(\left( 2 \right) \Rightarrow AM = 2\).
Tập hợp điểm M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính bằng 2.
Độ dài đoạn \(GM\)nhỏ nhất khi \(A,G,M\)thẳng hàng \( \Rightarrow GM = AM - AG = 2 - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}\).
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\)thuộc miền nghiệm của bất phưởng trình \[ax + by + 4 \ge 0\].
Miền nghiệm của bất phương trình la nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\)( kể cả \(d\)) và không chứa điểm \(A\left( {1;2} \right)\).
\(a + b = - 1\).
Nếu \(x;y\)thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\ax + by + 4 \ge 0\end{array} \right.\)thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 10x + 12y - 1\)bằng 20.
a) Đúng.
b) Sai.
c) Đúng.
Xét đường thẳng \(d:ax + by + 4 = 0\). Vì \(d\)đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - 4;0} \right)\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 1\)
d) Sai.
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y + 4 \ge 0\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ là tam giác \(AOB\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right);B\left( { - 4;0} \right)\).
\({T_{\left( O \right)}} = - 1;{T_{\left( A \right)}} = 23;{T_{\left( B \right)}} = - 41\). Vậy \({T_{{\rm{max}}}} = 23\).
Cặp số \(\left( {2\,;\,2} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Việc sản xuất được \(4\) tấn sản phẩm loại I và \(2\) tấn sản phẩm loại II trong tháng phù hợp với bài toán kinh tế của doanh nghiệp.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không được tô đậm trong hình sau (kể cả biên).
Cho biết lợi nhuận của doanh nghiệp khi làm ra một tấn sản phẩm loại I là 650 (triệu đồng) và một tấn sản phẩm loại II là 415 (triệu đồng). Vậy lợi nhuận tối đa trong tháng của doanh nghiệp bằng 2075 (triệu đồng).
a) Đúng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\2 \ge 0\\2 - 2 = 0 \le 3\\2 + 2 = 4 \le 5\end{array} \right.\) suy ra cặp số \(\left( {2\,;\,2} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Sai.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 \ge 0\\2 \ge 0\\4 - 2 = 2 \le 3\\4 + 2 = 6 \ge 5\end{array} \right.\) suy ra cặp số \(\left( {4\,;\,2} \right)\) không phải là nghiệm của hệ bất phương trình.
Vậy việc sản xuất được \(4\) tấn sản phẩm loại I và \(2\) tấn sản phẩm loại II trong tháng không phù hợp với bài toán kinh tế của doanh nghiệp.
c) Sai.
Ta thấy cặp số \(\left( {3\,;\,0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trong khi điểm \(M\left( {3\,;\,0} \right)\) không nằm trong phần không được tô đậm trong hình biểu diễn.
d) Sai.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được:
Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức \(L = 650x + 415y\).
Ta có lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp đạt được tại các đỉnh của hình tứ giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Ta có các đỉnh là: \(O\left( {0\,;\,0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {4;1} \right),C\left( {0;5} \right)\).
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp đạt được là: \(4.650 + 1.415 = 3015\) (triệu đồng).
Đáp số: 10.
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2.4.5}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{1}{8}\) suy ra\(a = 1,b = 8\).
Vậy: \(2a + b = 2.1 + 8 = 10\).
Đáp số:\[ - 1\].
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {ay + 1} \right) + y\left( {x - 1} \right) - 3 > 0\\2x + y\left( {by + 2} \right) + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}axy + x + xy - 3 > 0\\2x + b{y^2} + 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)xy + x - 3 > 0\\2x + b{y^2} + 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Suy ra: là \(a + b = - 1\).
![Đáp số:\[ - 1\]. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\l (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture11-1780645306.png)
Đáp số: 60.
Để giữ cho vật không trượt xuống, lực \(\overrightarrow F \) phải cân bằng với thành phần của trọng lực \(\overrightarrow P \) theo hướng song song với mặt phẳng dốc.
Ta có: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|.\sin 30^\circ = 120.\sin 30^\circ = 60N\).
(1.5 điểm) Cho hình bình hành \[ABCD\] có tâm O.
a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].
b) Tìm điểm M thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OM} \].
a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \]
Ta có : \[VT = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = VP\]
b) Tìm điểm M thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OM} \]
Ta có: \[\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB} \]
Gọi G là trọng tâm của tam giác DCO, khi đó
\[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BO} = 2\overrightarrow {BK} \] với K là trung điểm của OC.
Vậy \[3\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {BK} \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \], \[M\] là điểm thỏa mãn đẳng thức \[\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].
Gọi \[x,y\] (tấn) theo thứ tự là khối lượng sản phẩm loại X và loại Y sản xuất được trong ngày.
a) Viết hệ bất phương trình theo x, y dựa vào tất cả giả thiết đã cho.
b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
a) Viết hệ bất phương trình theo \[x,y\].
Gọi:
Từ đề bài, ta có các thông tin sau:
1.Máy M1:
Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 3 giờ làm việc của máy M1.
Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M1.
Máy M1 không làm việc quá 6 giờ mỗi ngày.
Do đó, thời gian sử dụng máy M1 được biểu diễn bằng phương trình: \[3x + 1y \le 6\]
2.Máy M2:
Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 1 giờ làm việc của máy M2.
Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M2.
Máy M2 không làm việc quá 4 giờ mỗi ngày.
Thời gian sử dụng máy M2 được biểu diễn bằng phương trình: \[1x + 1y \le 4\]
Ngoài ra, \[x \ge 0\] và \[y \ge 0\] (khối lượng sản phẩm không thể âm).
Hệ bất phương trình là:
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 1y \le 6\\1x + 1y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\]
b) Biểu diễn miền nghiệm
Miền nghiệm là phần tô đậm trong hình vẽ
