Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 25

Miền không gạch chéo là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Cho hai tập hợp \(A = \left[ {2;\;4} \right]\), \(B = \left[ {m - 5;\;m + 5} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa điều kiện\(A\backslash B = \emptyset \)?

Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {x + 2} \) có bao nhiêu nghiệm?

Để chuẩn bị đồ dùng học tập cho năm học mới, mẹ cho Hoa 100000 đồng để đi mua dụng cụ học tập. Sau khi lên danh sách đồ dùng còn thiếu, Hoa quyết định đi mua ít nhất 2 chiếc bút bi và một số vở để ghi chép. Biết giá tiền của một chiếc bút bi là 5000 đồng và giá tiền một quyển vở là 7000 đồng. Hỏi bạn Hoa có thể mua tối đa bao nhiêu quyển vở mà vẫn đảm bảo đủ đồ dùng học tập (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng \({\rm{2}}\sqrt 6 {\rm{ m}}\), độ dài trục nhỏ bằng \({\rm{2 m}}\). Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân \(OAB\) với điểm \(O\) là tâm của Elip, các điểm \(A\) và \(B\) thuộc đường Elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng

Bạn An cần xếp \(15\) cột đồng xu theo thứ tự cột thứ nhất có 2 đồng xu, các cột tiếp theo cứ tăng ba đồng một cột so với cột đứng trước. Hỏi bạn An cần bao nhiêu đồng xu để xếp?

Tìm giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1 - \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)\).    

Sau một tháng thi công, công trình xây dựng lớp học từ thiện cho học sinh vùng cao đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, đơn vị xây dựng quyết định từ tháng thứ hai tăng khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho tứ diện đều \(SABC\). Gọi \(I\)là trung điểm của \(AB\), \(M\) là một điểm di động trên đoạn \(AI\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\)và song song \((SIC)\). Thiết diện tạo bởi \((P)\) và tứ diện \(SABC\)là

Xét \(a\) và \(b\) là hai số thực dương tùy ý. Đặt \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}},{\rm{ }}y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}}.\)

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Gieo hai con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất. Gọi \(X\) là biến cố: “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc xắc là một số lẻ”. Xác suất của \(X\) bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(SA = 2a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\), \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(SG\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Biết \(\sin \alpha  = \frac{{a\sqrt {105} }}{b}\), với \(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(a + b\)(nhập đáp án vào ô trống).

___

Cân nặng của một người trưởng thành được lựa chọn ngẫu nhiên trong 30 người được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Cắt một miếng giấy hình vuông như hình bên và xếp thành hình một hình chóp tứ giác đều. Biết các cạnh hình vuông bằng \(20\) cm, \(OM = x\) . Tìm \(x\) để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho các số thực dương \(x,\,y,\,z\)thỏa mãn đồng thời \(\frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}y}} + \frac{1}{{{{\log }_2}z}} = \frac{1}{{2020}}\)và \({\log _2}(xyz) = 2020\). Tính \({\log _2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) - xy - yz - zx + 1} \right)\)

Bác Tâm mới mua một chiếc xe ô tô trị giá \(900\) triệu đồng. Bác muốn mua gói bảo hiểm thân vỏ cho chiếc xe của mình. Biết rằng giá bán \(T\) của gói bảo hiểm với thời hạn một năm được tính theo công thức: \(T = 1,3\%  \cdot A\)(\(A\)là giá trị của chiếc xe ô tô tại thời điểm mua bảo hiểm) . Giả sử cứ sau một năm, giá trị của chiếc xe lại bị giảm đi \(10\% \) so với năm trước đó. Nếu trong \(5\) năm liên tục kể từ khi mua xe, bác Tâm đều mua gói bảo hiểm trên, thì tổng số tiền bác phải trả cho công ty bảo hiểm bằng bao nhiêu triệu đồng (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

___

Một vật nặng treo bởi chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng như hình vẽ. Khoảng cách \[h\] từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \[t\] được tính bởi công thức \[h = \left| d \right|\], trong đó \[d = 4\sin 5t - 3\cos 5t\] , với quy ước \[d > 0\] khi vật ở phía trên vị trí cân bằng và \[d < 0\] khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Trong một giây đầu tiên, có bao nhiêu lần vật đi qua vị trí cân bằng?

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau được lấy từ tập hợp \(\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp \(S\). Tính xác suất \(P\) để tích 2 số được chọn là số chẵn.    

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\)có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AB'\)và \(B C'\)bằng \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({9^{\sqrt {4x - {x^2}} }} - 4 \cdot {3^{\sqrt {4x - {x^2}} }} + 2m - 1 = 0\) có nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{{\rm{x}}^2} + c{\rm{x}} + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng

Cho hàm số \(y = 2{x^2} - 3x - 5\;\;\;\left( 1 \right)\) . Giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[\left( 1 \right)\] cắt đường thẳng \[y = 4x + m\] tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x_1}\,;\,\,{y_1}} \right)\], \[B\left( {{x_2}\,;\,\,{x_2}} \right)\] thỏa mãn \[2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\] là (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{2^{3{x^4} - 4{x^2} + 2}}} \right) + 1 = 0\) là

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \cdot g\left( x \right) + 2018\) trong đó \(g\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f(1 - x) + 2018x + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào?    

Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận lít và lít xăng trong một tháng. Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tính tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^{x + 1}} - {5^{x - 1}}}}{{{{10}^x}}}\]. Khi đó:    

Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\)ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6{\rm{ }}m\), chiều dài \(CD = 12{\rm{ }}m\) . Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có\[MN = 4{\rm{ }}m\]; cung \(EIF\)có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, \[D.\]Kinh phí làm bức tranh là 900000 đồng/\({m^2}\). Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc \(15\;{\rm{m/s}}\) thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 3t + 15\;{\rm{m/s}}\), trong đó \(t\)(giây). Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\),\(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;3} \right]\), đồng thời \[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\] và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = a\ln 3 + b\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).

Xác định \(a,\)\(b,\)\(c\)để \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){{\rm{e}}^{ - x}}\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right){{\rm{e}}^{ - x}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\,.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 2 \right) = {e^6},\,\)tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x\) bằng

Người ta vẽ trang trí lên tường một hình lục giác đều có cạnh bằng \(2\,dm.\) Trên mỗi cạnh hình lục giác đều, vẽ một cánh hoa hình parbol, đỉnh của parabol cách đều hai đầu mút của cạnh đó đồng thời cách cạnh đó bằng \(3\,dm\) và nằm phía ngoài của hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của parabol đó. Tính tổng diện tích của hình lục giác đều và\(6\)cánh hoa.

Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

Hãy xác định độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) trong căn phòng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có kích thước \[AB = 50\left( m \right),AD = 35\,\left( m \right),AA' = 10\,\left( m \right)\]. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\). Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) .

_____

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {0;1;1} \right)\], \(B\left( {1;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) đồng thời đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( Q \right)\) tại \(C\) sao cho \(CA = 2CB\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( { - 1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( { - 3; - 2;2} \right)\). Tính \(\cos \widehat {ABC}\)(nhập đáp án vào ô trống).

______

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\) và đường kính bằng 10 có phương trình là

Hai bạn Tuấn và Dũng cùng tham gia thi đấu cuộc thi chọn đội tuyển bóng rổ của câu lạc bộ bóng rổ của trường một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ ném bóng vào rổ 1 lần. Xác suất để bạn Tuấn và Dũng ném bóng trúng rổ lần lượt là \(0,7\) và \(0,8\). Tính xác suất của biến cố \(C:\) “Cả hai bạn đều ném trúng bóng vào rổ”

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\] có tâm \[I\]nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]cố định. Biết rằng \[4{\rm{a}} + b - 2c = 4\]. Tìm khoảng cách từ điểm \[D\left( {1;\,2;\, - 2} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].

Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Tính xác xuất để lấy được một bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)\) và cắt các tia \[Ox,\,Oy\,,\,Oz\] lần lượt tại \(A,\,B,\,C\) sao cho độ dài \(OA,\,OB,\,OC\) theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).    

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {3;4;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 46 = 0\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt bằng \(6\) và \(3\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng