Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 19

Cô giáo có 12 phần quà gồm 4 phần loại I và 8 phần loại II được đựng trong 12 hộp kín giống nhau. Cô chia đều cho 3 bạn, mỗi bạn 4 phần quà. Xác suất để mỗi bạn đều nhận được cả hai loại quà là (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\Delta ABC\) có điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1;2} \right),C\left( { - 1;0; - 1} \right)\). Gọi \(BD\) là đường phân giác trong của \(\Delta ABC\). Xác định tọa độ điểm \(D\)?    

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 1000 m được đặt ở vị trí \(I\left( {100;50;550} \right)\). Gọi \(a,b\) lần lượt là giá trị nguyên lớn nhất và giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\) để một người dùng điện thoại ở vị trí \(M\left( {m - 120;m + 80;m} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên. Tính \(P = a + 2b\).    

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Giá nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y\) có dạng \( - \frac{a}{b}\). Tính \(a + b\).

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{63}} = 1\). Tổng khoảng cách từ 1 điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) tới 2 tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m >  - 50\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 7} }}{{{x^2} + 2x + 2m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\) đi qua điểm nào sau đây?    

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) có dạng \(y = ax + b\) trong đó \(a < 0\). Giá trị biểu thức \(P = {a^2} + b\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2;0} \right)\). Gọi \(A'\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\). Tính \(S = 5a + 10b\)?

Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau trong các năm từ 2002 đến 2021 được thống kê như sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Biết ∫15f'xdx=5. Tính giá trị \(f\left( 5 \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Ba số tự nhiên lập thành một cấp số cộng có tổng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Có bao nhiêu cấp số cộng thỏa mãn (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần \(0,4{\rm{\;kg}}\) gạo nếp, \(0,05{\rm{\;kg}}\) thịt và \(0,1{\rm{\;kg}}\) đậu xanh; để gói một cái bánh ống cần \(0,6{\rm{\;kg}}\) gạo nếp; \(0,075{\rm{\;kg}}\) thịt và \(0,15{\rm{\;kg}}\) đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?

Một kiến trúc sư muốn thiết kế một khung cửa sổ hình chữ nhật lắp vào một ô tròn trên tường có bán kính 4 mét. Kiến trúc sư muốn cửa sổ có kích thước lớn nhất để đón ánh sáng vào căn phòng. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ có thể đạt được là bao nhiêu?

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - \frac{{{x^2}}}{{324}} - 77} \right)} \right)} \right)\) chứa bao nhiêu phầntử nguyên?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 2025;2025} \right)\) để hàm số: \(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - 1\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)(nhập đáp án vào ô trống)?

_____

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2 + 3{\rm{ln}}x}}{{1 + 2x}}\) tại điểm \(\left( {1;\frac{2}{3}} \right)\) là    

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} ;n \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính tổng\(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\):

Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là \(125{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\) và diện tích toàn phần là \(175{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = 2AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng\(\left( {SBD} \right)\).

Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức: \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) có tất cả bao nhiêu số hạng:

Dựa vào thông tin sau đây và trả lời các câu hỏi từ câu 26 đến câu 27:

Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy \(90{\rm{\% }}\) thí sinh, vòng 2 lấy \(80{\rm{\% }}\) thí sinh đã qua vòng 1, vòng 3 lấy \(90{\rm{\% }}\) thí sinh của vòng 2. Biết rằng khả năng của các thí sinh là như nhau.

Xác suất để một thí sinh lọt qua cả ba vòng là

Xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại là

Nghiệm của phương trình \(2{\rm{sin}}x - \sqrt 2 = 0\) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).    

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng?    

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\). Giá trị nào sau đây là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)?

Tìm số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;4\pi } \right]\) biết rằng \(f'\left( x \right) = \left( {{e^x} - 3} \right)\left( {{\rm{sin}}2x - 1} \right)\)(nhập đáp án vào ô trống).

__

Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái Đất nóng lên. Theo \(OECD\) (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ Trái Đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng, khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm \(2^\circ {\rm{C}}\) thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(3{\rm{\% }}\), còn khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm\(5^\circ C\) thì tồng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(10{\rm{\% }}\). Biết rằng nếu nhiệt độ Trái Đất tăng thêm \(t^\circ C\), tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(f\left( t \right){\rm{\% }}\) thì \(f\left( t \right) = k.{a^t}\), trong đó: \(k,a\) là các hằng số dương. Khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm bao nhiêu \(^\circ {\rm{C}}\) thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến \(20{\rm{\% }}\)?

Trong mặt phẳng, cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn phân biệt. Có tối đa bao nhiêu giao điểm có thể được tạo thành từ các đường thẳng và đường tròn nói trên?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}}}&{{\rm{\;khi\;}}x \ne 2}\\{2m + 1}&{{\rm{\;khi\;}}x = 2}\end{array}} \right.\). Tìm \(m\) để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).    

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó  bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

__

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = a,SA \bot \left( {ABC} \right)\), và \(SA = a\sqrt 3 \). Số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng bao nhiêu độ (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương, biết rằng \({a^{{{\log }_2}5}} = 32,{b^{{{\log }_3}7}} = 9,{c^{{{\log }_5}9}} = \sqrt 5 \). Tính giá trị biểu thức: \(T = {a^{{\rm{log}}_2^25}} + \frac{1}{7}{b^{{\rm{log}}_3^27}} + {a^{{\rm{log}}_5^29}}\).

Một trụ điện cao thế cao 30 m được dựng thẳng đứng trên một sườn núi \(25^\circ \) so với phương nằm ngang. Từ đỉnh trụ điện, người ta nối một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn núi, điểm này cách chân tháp 10m về hướng đỉnh núi. Coi sườn núi là bề mặt phẳng, chiều dài của sợi dây cáp đó theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị) là (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t'}\\{y = 4 - t'}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\).Vị trí tương đối của \({\rm{\Delta }}\) và \({\rm{\Delta '}}\) là    

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành. Tính thể tích \(V\) vật thể tròn xoay sinh ra khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh \(Ox\).    

Phương trình \({(x - 3)^{3{x^2} - 5x + 2}} = {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)^{{x^2} + x - 4}}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?    

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 1;3} \right)\) và \(H\left( {0;1} \right)\). Biết \(C\) là điểm sao cho \(H\) là trực tâm. Tìm hoành độ điểm \(C\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(AB'C'\) cân tại \(A\), mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) và \(AA' = a\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là    

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = \sqrt {2x} \) và \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\) (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và và mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) là \(I\left( {a;b;c} \right)\).

Tính \(S = a + b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26\). Tìm công sai \(d\).    

Tìm tích ba số khác nhau biết chúng tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6. Nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai, giữ nguyên số hạng thứ ba, ta được cấp số nhân (nhập đáp án vào ô trống).

____

Xác suất để một học sinh thắng một ván cờ vua là \(40{\rm{\% }}\). Học sinh đó cần đấu ít nhất bao nhiêu ván cờ vua để xác suất thắng ít nhất một ván lớn hơn \(95{\rm{\% }}\)?    

Cảnh sát đã bắt giữ bốn nghi phạm trong một vụ trộm đồng hồ, cả bốn nghi phạm đều biết nhau. Cảnh sát biết chắc chắn trong bốn nghi phạm có tên trộm thực sự nhưng họ không thể tìm thấy được tang vật trên người cả bốn tên. Sau đây là lời khai của chúng:

Ánh: Tôi không trộm đồng hồ.

Bình: Ánh nói dối.

Cường: Chính Bình là kẻ ăn cắp.

Dũng: Bình là kẻ dối trá.

Nếu chỉ một trong số bốn nghi phạm nói sự thật, vậy ai là người đã ăn cấp chiếc đồng hồ.