Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 21
49 câu hỏi
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AB \bot \left( {ABC} \right)\).
\(AC \bot BD\).
\(CD \bot \left( {ABD} \right)\).
\(BC \bot AD\).
Cho tập hợp \(M = \left\{ {a;b;c;d;e} \right\}\). Số tập hợp con có đúng 2 phần tử của tập \(M\) đã cho là
12.
8.
6.
10.
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\), độ dài cạnh bằng \(a\). Tính độ dài véctơ \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AO} \).
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(a\sqrt 5 \).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(a\sqrt 2 \).
Một nhóm học sinh có 5 bạn nữ, 4 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường (nhập đáp án vào ô trống)?
__
9
Cho \(S = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\). Khi đó \(S\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
\({\left( {2x - 1} \right)^5}\).
\({\left( {x - 2} \right)^5}\).
\({\left( {2x + 1} \right)^5}\).
\({\left( {1 - 2x} \right)^5}\).
Từ các chữ số \(1,2,3,4,5\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
60.
125.
5.
10.
Hàm số \(y = {3^{2 - x}}\) có đạo hàm là
\(y' = \left( {2 - x} \right){3^{2 - x}}\).
\(y' = \frac{{{3^{2 - x}}}}{{{\rm{ln}}3}}\).
\(y' = - {3^{2 - x}}\).
\(y' = - {3^{2 - x}} \cdot {\rm{ln}}3\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 3y \ge 5}\\{3 - 4x + 3y > 0}\end{array}} \right.\) có tập nghiệm \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\left( { - 4; - 2} \right) \in S\).
\(\left( {1; - 2} \right) \in S\).
\(\left( {0;3} \right) \in S\).
\(S = \emptyset \).
Cho một tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 4} \right)\). Biết số tập con gồm 4 phần tử của \(A\) gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của \(A\). Giá trị của \(n\) là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
___
18
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,\Delta ABC\) vuông cân tại \(A,\,\,SA = BC = a\). Tính theo \(a\) thể tích V của khối chóp \(S.ABC\)
\(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
\(V = 2{a^3}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8,\widehat A = 30^\circ ,\widehat B = 48^\circ \), độ dài cạnh \(AC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
5,88.
6,2.
6,08.
5,9.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 21 35 17 43 8 59 72 119 bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
_____
46,5
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) với mặt phẳng đáy, mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) lần lượt là \(45^\circ \) và \(30^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Nghiệm phương trình \(\left( {1 - {\rm{tan}}x} \right)\left( {1 + {\rm{sin}}2x} \right) = 1 + {\rm{tan}}x\) là
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + {2^x}} \right)\). Tính giá trị \(S = f'\left( 0 \right) + f'\left( 1 \right)\).
\(S = \frac{6}{5}\).
\(S = \frac{7}{8}\).
\(S = \frac{7}{6}\).
\(S = \frac{7}{5}\).
Rút lần lượt 4 lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được 2 lá màu đen và 2 lá màu đỏ là
\(\frac{1}{{13}}\).
\(\frac{{705}}{{4998}}\).
\(\frac{{325}}{{4998}}\).
\(\frac{{25}}{{102}}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\widehat {ABC} = 30^\circ \), mặt bên \(SBC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là:
\(\frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}\).
\(\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các em học sinh khối 12 của trường \(X\) đã tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai nhựa của các em học sinh theo bảng số liệu sau:
Số vỏ chai nhựa | \(\left[ {1;6} \right)\) | \(\left[ {6;11} \right)\) | \(\left[ {11;16} \right)\) | \(\left[ {16;21} \right)\) | \(\left[ {21;26} \right)\) | \(\left[ {26;31} \right)\) |
Số học sinh | 12 | 24 | 30 | 57 | 36 | 21 |
Tính số vỏ chai nhựa trung bình mà mỗi học sinh khối 12 của trường \(X\) đã thu nhặt được.
13,5.
18,5.
17,5.
19, 5.
Tổng \(S = - 1 + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{{{10}^2}}} + \ldots + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} + \ldots = - \frac{k}{{11}}\). Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
___
10
Biết ∫08fxdx=4, giá trị \(\int\limits_0^4 {f\left( {2x} \right)dx} \) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
2
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = - f\left( {2x - 1} \right) + 2x\) trên đoạn [0; 2] bằng
\( - f\left( 1 \right) + 2\).
\( - f\left( { - 1} \right)\).
\( - f\left( 2 \right) + 3\).
\( - f\left( 3 \right) + 4\).
Một người làm một cái cổng cổ xưa có dạng Parabol như hình vẽ. Hãy tính diện tích của cái cổng?
\(\frac{{28}}{3}\).
\(\frac{{16}}{3}\).
16.
\(\frac{{32}}{3}\).
Khối chỏm cầu có bán kính \(R = 3\) và chiều cao \(h = \frac{3}{2}\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {9 - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = \frac{3}{2},x = 3\) xung quanh trục \(Ox\). Thể tích khối chỏm cầu này bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
_____
17,7
Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và hai đường thẳng\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2},\)\({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{4}\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\), cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) là
\(\frac{x}{{ - \frac{9}{2}}} = \frac{{y + 1}}{{\frac{9}{2}}} = \frac{{z + 3}}{8}\).
\(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{4}\).
\(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).
\(\frac{x}{{ - 9}} = \frac{{y + 1}}{9} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}\).
\(I = \left( {2;10} \right)\).
\(I = \left( {10;2} \right)\).
\(I = \left( {2;1} \right)\).
\(I = \left( {1;2} \right)\).
Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
____
0,5
Trong không gian Oxyz, điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) thuộc mặt phẳng có phương trình nào dưới đây?
\(x - 2y + z = 0\).
\(x + 2y + 3z = 0\).
\(x - 2y + 3z = 0\).
\(x + 2y + 3z = 1\).
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
1.
3.
2.
4.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) để phương trình \(\left| {f\left( x \right) - m} \right| = 2n\) có đúng 5 nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?
__
6
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 2;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 11\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\).
Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi hỏi từ 32 đến 34.
Có hai lô sản phẩm. Mỗi lô đều có 30 sản phẩm. Lô thứ nhất có 20 sản phẩm tốt, 10 sản phẩm lỗi. Lô thứ hai có 15 sản phẩm tốt, 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ra một sản phẩm.
Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?
\(\frac{7}{{12}}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{{12}}\).
\(\frac{5}{{12}}\).
Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất để sản phẩm lấy được đó là của lô thứ hai?
\(\frac{6}{7}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{3}{7}\).
Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất để sản phẩm đó của lô I là bao nhiêu?
\(\frac{5}{7}\).
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{2}{5}\).
Cho \(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x + \frac{2}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}},F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị \(F\left( \pi \right)\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
3
Bốn học sinh A, B, C, D thi kéo co xem ai khỏe nhất, thứ hai, thứ ba và yếu nhất. Bạn hãy xác định điều đó qua kết quả 3 lần kéo co sau đây:
Lần 1: Dù khó khăn nhưng B vẫn thắng A và C gộp lại.
Lần 2: Khi một đầu là A và B, đầu kia là C và D thì kết quả không phân thắng bại.
Lần 3: Từ lần hai nếu A và C đổi chỗ cho nhau thì cặp \({\rm{D}} - {\rm{A}}\) thắng 1 cách dễ dàng.
Hỏi ai là người khỏe nhất
Bạn A.
Bạn B.
Bạn C.
Bạn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - 2x\) có bao nhiêu điểm cực trị?
3.
2.
1.
4.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua 3 điểm \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( {3; - 1} \right),P\left( { - 1; - 3} \right)\) có bán kính bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
5
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( { - 1;3} \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( {3;5} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 3;5} \right)\). Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 1;1} \right)\) là:
\(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{1}\).
\(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{5}\).
Cho \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {2{\rm{tan}}x + {\rm{cot}}x} \right)}^2}} {\rm{d}}x = a + b\sqrt 3 + c\pi \) (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ \(a,b,c\) thỏa mãn (*). Tổng \(a + 3b + 12c\) có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
1
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2025;2025} \right)\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) là
4045.
4043.
4047.
4046.
Tích phân ∫ab5xdx bằng:
\({5^b} - {5^a}\).
\(\frac{{{5^b} - {5^a}}}{{{\rm{ln}}5}}\).
\({\rm{ln}}5 \cdot \left( {{5^b} - {5^a}} \right)\).
\({5^{{\rm{ln}}a}} - {5^{{\rm{ln}}b}}\).
Cho điểm \(M\left( {10;0;0} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x + y - z - 3 = 0\). Cho mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) đi qua \(M\), vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) đồng thời vuông góc với \(\left( \beta \right)\). Biết rằng điểm \(I\left( {2{m^2};m;0} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\). Tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
____
1,5
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\). Đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc với \(d\) và cắt trục \(Ox\) có phương trình là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 2t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + 3t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) và điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\). Gọi \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y - m}}{a} = \frac{{z + n}}{b}\) là đường thẳng đi qua \(A\), tiếp xúc với \(\left( S \right)\) và cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(T = a + b + m + n\) là
\(\frac{{15}}{2}\).
3.
7.
\(\frac{{19}}{6}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}}\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\), tính \(f\left( 0 \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).
__
1
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^5}{\left( {x - 4} \right)^3}\). Tổng giá trị các điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
4.
3.
5.
1.
Một chiếc tàu ngầm có dạng hình cầu có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 60x - 30y - 100z + 3600 = 0\) trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên trục: \(m\)) đang ở độ sâu \(45m\) so với mặt nước biển (tính đến tâm của tàu). Trên tàu có gắn một thiết bị do thám ở vị trí cách xa mặt nước nhất có thể. Khoảng cách từ thiết bị do thám đến bề mặt nước biển là bao nhiêu(nhập đáp án vào ô trống)?
___
50
Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{{ - 1}}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{48}}{t^2}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 giây sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng tại thời điểm ban đầu vận động viên ở tại vị trí xuất phát
\(v = 5,61{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(v = 6,51{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(v = 7,61{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(v = 7,51{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
